Das Ultraprodukt ist ein mathematischer Aufbau, der hauptsächlich in der abstrakten Algebra und in der Mustertheorie, einem Zweig der mathematischen Logik erscheint. Ein Ultraprodukt ist ein Quotient des direkten Produktes einer Familie von Strukturen. Alle Faktoren müssen dieselbe Unterschrift haben. Die Ultramacht ist der spezielle Fall dieses Aufbaus, in dem alle Faktoren gleich sind.

Zum Beispiel können Ultramächte verwendet werden, um neue Felder von gegebenen zu bauen. Die hyperreellen Zahlen, eine Ultramacht der reellen Zahlen, sind ein spezieller Fall davon.

Einige bemerkenswerte Anwendungen von Ultraprodukten schließen sehr elegante Beweise des Kompaktheitslehrsatzes und des Vollständigkeitslehrsatzes, des Ultramacht-Lehrsatzes von Keisler ein, der eine algebraische Charakterisierung des semantischen Begriffs der elementaren Gleichwertigkeit und die Präsentation von Robinson-Zakon des Gebrauches von Oberbauten und ihrem monomorphisms gibt, um Sondermodelle der Analyse zu bauen, zum Wachstum des Gebiets der Sonderanalyse führend, für die (als eine Anwendung des Kompaktheitslehrsatzes) von Abraham Robinson den Weg gebahnt wurde.

Definition

Die allgemeine Methode, um Ultraprodukte zu bekommen, verwendet einen Index-Satz I, eine Struktur M für jedes Element i von mir (die ganze dieselbe Unterschrift), und ein Ultrafilter U auf mir. Die übliche Wahl besteht weil ich darin, um unendlich zu sein, und U, um alle cofinite Teilmengen von mir zu enthalten. Sonst ist der Ultrafilter hauptsächlich, und das Ultraprodukt ist zu einem der Faktoren isomorph.

Algebraische Operationen auf dem Kartesianischen Produkt

werden auf die übliche Weise definiert (zum Beispiel, für eine binäre Funktion +, (+ b) = + b), und eine Gleichwertigkeitsbeziehung wird durch einen ~ b wenn und nur wenn definiert

und das Ultraprodukt ist der Quotient-Satz in Bezug auf ~. Das Ultraprodukt wird deshalb manchmal durch angezeigt

Man kann ein begrenzt zusätzliches Maß definieren, das die M auf dem Index I durch den Ausspruch der M (A) = 1 wenn Ein  U und = 0 sonst gesetzt hat. Dann sind zwei Mitglieder des Kartesianischen Produktes genau gleichwertig, wenn sie fast überall auf dem Index-Satz gleich sind. Das Ultraprodukt ist der Satz von so erzeugten Gleichwertigkeitsklassen.

Andere Beziehungen können derselbe Weg erweitert werden:

wo [ein] Anzeigen der Gleichwertigkeitsklasse in Bezug auf ~.

Insbesondere wenn jede M ein bestelltes Feld ist, dann so ist das Ultraprodukt.

Eine Ultramacht ist ein Ultraprodukt, für das alle Faktoren M gleich sind:

:

Mehr allgemein kann der Aufbau oben ausgeführt werden, wann auch immer U ein Filter auf mir ist; das resultierende Modell wird dann ein reduziertes Produkt genannt.

Beispiele

Die hyperreellen Zahlen sind das Ultraprodukt einer Kopie der reellen Zahlen für jede natürliche Zahl hinsichtlich eines Ultrafilters über die natürlichen Zahlen, die alle Cofinite-Sätze enthalten. Ihre Ordnung ist die Erweiterung der Ordnung der reellen Zahlen. Zum Beispiel die Folge ω gegeben durch ω = definiere ich eine Gleichwertigkeitsklasse, die eine hyperreelle Zahl vertritt, die größer ist als jede reelle Zahl.

Analog kann man umgangssprachliche ganze Zahlen, umgangssprachliche komplexe Zahlen usw. definieren, indem man das Ultraprodukt von Kopien der entsprechenden Strukturen nimmt.

Als ein Beispiel des Vortragens von Beziehungen ins Ultraprodukt, betrachten Sie die Folge ψ als definiert durch ψ = 2i. Weil ψ> ω = ich für alles ich, hieraus folgt dass die Gleichwertigkeitsklasse von ψ = 2i größer ist als die Gleichwertigkeitsklasse von ω = ich, so dass es als eine unendliche Zahl interpretiert werden kann, die größer ist als ursprünglich gebauter derjenige. Lassen Sie jedoch χ = ich weil ich nicht gleich 7, aber χ = 8. Der Satz von Indizes, auf denen ω und χ zustimmen, ist ein Mitglied jedes Ultrafilters (weil ω und χ fast überall zustimmen), so gehören ω und χ derselben Gleichwertigkeitsklasse.

In der Theorie von großen Kardinälen soll ein Standardaufbau das Ultraprodukt des ganzen mit dem Satz theoretischen Weltalls in Bezug auf einen sorgfältig gewählten Ultrafilter U nehmen. Eigenschaften dieses Ultrafilters U haben einen starken Einfluss (höhere Ordnung) Eigenschaften des Ultraproduktes an; zum Beispiel, wenn U σ-complete ist, dann wird das Ultraprodukt wieder wohl begründet sein. (Sieh den messbaren Kardinal für das archetypische Beispiel.)

Łoś's Lehrsatz

Łoś's Lehrsatz, auch genannt den Hauptsatz von Ultraprodukten, ist wegen Jerzys Łoś (der Nachname wird ausgesprochen, "waschen Sie" "sich" ungefähr). Es stellt fest, dass jede Formel der ersten Ordnung im Ultraprodukt wahr ist, wenn, und nur wenn der Satz von Indizes i solch, dass die Formel in der M wahr ist, ein Mitglied von U ist. Genauer:

Lassen Sie σ eine Unterschrift sein, ein Ultrafilter über einen Satz, und für jeden hat gelassen, ein σ-structure zu sein. Lassen Sie, das Ultraprodukt in Bezug auf, d. h. Dann, für jeden, wo, und für jeden σ-formula, zu sein

Der Lehrsatz wird durch die Induktion auf der Kompliziertheit der Formel bewiesen. Die Tatsache, die ein Ultrafilter ist (und nicht nur ein Filter) wird in der Ablehnungsklausel verwendet, und das Axiom der Wahl ist am existenziellen Quantifier-Schritt erforderlich. Als eine Anwendung erhält man den Übertragungslehrsatz für hyperechte Felder.

Beispiele

Lassen Sie R eine unäre Beziehung in der Struktur M sein, und die Ultramacht der M zu bilden. Dann hat der Satz ein Analogon S in der Ultramacht, und Formeln der ersten Ordnung, die S einschließen, sind auch für S gültig. Lassen Sie zum Beispiel M der reals sein, und Rx halten zu lassen, ob x eine rationale Zahl ist. Dann in der M können wir sagen, dass für jedes Paar von rationals x und y, dort eine andere solche Nummer z besteht, dass z nicht vernünftig ist, und x S dasselbe Eigentum hat. D. h. wir können einen Begriff der hypervernünftigen Zahlen definieren, die eine Teilmenge des hyperreals sind, und sie dieselben Eigenschaften der ersten Ordnung wie der rationals haben.

Denken Sie jedoch, das Eigentum von Archimedean des reals, der feststellt, dass es keine reelle Zahl x solch dass x> 1, x> 1 +1, x> 1 + 1 + 1... für jede Ungleichheit in der unendlichen Liste gibt. Łoś's Lehrsatz gilt für das Eigentum von Archimedean nicht, weil das Eigentum von Archimedean in der Logik der ersten Ordnung nicht festgesetzt werden kann. Tatsächlich ist das Eigentum von Archimedean für den hyperreals, wie gezeigt, durch den Aufbau der hyperechten Zahl ω oben falsch.

Ultragrenze

:For das Ultraprodukt einer Folge von metrischen Räumen, sieh Ultragrenze.

In der Mustertheorie und Mengenlehre, einer Ultragrenze oder Begrenzungsultramacht ist eine direkte Grenze einer Folge von Ultramächten.

Mit einer Struktur beginnend, bilden A, und ein Ultrafilter, D, eine Ultramacht, A. Dann wiederholen Sie den Prozess, um A und so weiter zu bilden. Für jeden n gibt es ein kanonisches diagonales Einbetten. In Grenze-Stufen, wie A, bilden die direkte Grenze von früheren Stufen. Man kann ins transfinite weitermachen.