In der Mathematik ist ein Vektor-Bündel ein topologischer Aufbau, der genau die Idee von einer Familie von Vektorräumen parametrisiert durch einen anderen Raum X macht (zum Beispiel X, konnte ein topologischer Raum, eine Sammelleitung oder eine algebraische Vielfalt sein): Zu jedem Punkt x des Raums X verkehren wir (oder "haften an") ein Vektorraum V (x) auf solche Art und Weise, den diese Vektorräume zusammen passen, um einen anderen Raum derselben Art wie X zu bilden (z.B ein topologischer Raum, Sammelleitung oder algebraische Vielfalt), der dann ein Vektor-Bündel mehr als X genannt wird.

Das einfachste Beispiel ist der Fall, dass die Familie von Vektorräumen unveränderlich ist, d. h. es gibt einen festen Vektorraum V solch dass V (x) = V für den ganzen x in X: In diesem Fall gibt es eine Kopie V für jeden x in X, und diese Kopien passend zusammen, um den Vektoren zu bilden, machen sich X &times davon; V mehr als X. Wie man sagt, sind solche Vektor-Bündel trivial. Ein mehr komplizierter (und archetypisch) Klasse von Beispielen ist die Tangente-Bündel von glatten (oder differentiable) Sammelleitungen: Zu jedem Punkt solch einer Sammelleitung fügen wir den Tangente-Raum der Sammelleitung an diesem Punkt bei. Tangente-Bündel sind nicht, im Allgemeinen, triviale Bündel: Zum Beispiel ist das Tangente-Bündel (zwei dimensionale) Bereich durch den haarigen Ball-Lehrsatz nichttrivial. Im Allgemeinen, wie man sagt, ist eine Sammelleitung parallelizable, wenn, und nur wenn sein Tangente-Bündel trivial ist.

Vektor-Bündel sind fast immer erforderlich, jedoch lokal trivial zu sein, was bedeutet, dass sie Beispiele von Faser-Bündeln sind. Außerdem sind die Vektorräume gewöhnlich erforderlich, über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen zu sein, in welchem Fall, wie man sagt, das Vektor-Bündel ein echtes oder kompliziertes Vektor-Bündel (beziehungsweise) ist. Komplizierte Vektor-Bündel können als echte Vektor-Bündel mit der zusätzlichen Struktur angesehen werden. Im folgenden konzentrieren wir uns auf echte Vektor-Bündel in der Kategorie von topologischen Räumen.

Definition und die ersten Folgen

Ein echtes Vektor-Bündel besteht aus:

1. topologische Räume X (stützen Raum), und E (Gesamtraum)
2. eine dauernde Surjektion π: E  X (stopfen Vorsprung)
3. für jeden x in X, die Struktur eines endlich-dimensionalen echten Vektorraums auf der Faser π ({x})

wo die folgende Vereinbarkeitsbedingung zufrieden ist: Für jeden Punkt in X gibt es eine offene Nachbarschaft U, eine natürliche Zahl k und ein homeomorphism

:

solch das für den ganzen x  U,

• (π φ) (x, v) = x für alle Vektoren v in R und
• die Karte v φ (x, v) ist ein Isomorphismus zwischen den Vektorräumen R und dem π ({x}).

Die offene Nachbarschaft U zusammen mit dem homeomorphism φ wird einen lokalen trivialization des Vektor-Bündels genannt. Der lokale trivialization zeigt, dass lokal die Karte π wie der Vorsprung von U &times "aussieht"; R auf U.

Jede Faser π ({x}) ist ein endlich-dimensionaler echter Vektorraum und hat folglich eine Dimension k. Die lokalen trivializations zeigen, dass die Funktion x k lokal unveränderlich ist, und deshalb auf jedem verbundenen Bestandteil X unveränderlich ist. Wenn k einem unveränderlichen k auf allen X gleich ist, dann wird k die Reihe des Vektor-Bündels genannt, und, wie man sagt, ist E ein Vektor-Bündel der Reihe k. Häufig schließt die Definition eines Vektor-Bündels das ein die Reihe wird gut definiert, so dass k unveränderlich ist. Vektor-Bündel der Reihe 1 werden Linienbündel genannt, während diejenigen der Reihe 2 Flugzeug-Bündel weniger allgemein genannt werden.

Das Kartesianische Produkt X × R, ausgestattet mit dem Vorsprung X × R  X, wird das triviale Bündel der Reihe k mehr als X genannt.

Übergang-Funktionen

In Anbetracht eines Vektor-Bündel-E  X der Reihe k und ein Paar der Nachbarschaft U und V, über den das Bündel über bagatellisiert

:

die zerlegbare Funktion

:ist

auf dem Übergreifen bestimmt, und befriedigt

:

für einen GL (k) - hat Funktion geschätzt

:

Diese werden die Übergang-Funktionen (oder die Koordinatentransformationen) vom Vektor-Bündel genannt.

Der Satz von Übergang-Funktionen bildet einen Čech cocycle im Sinn das

:

für den ganzen U, V, W, über den das Bündel bagatellisiert. So definieren die Daten (E, X, π, R) ein Faser-Bündel; die zusätzlichen Daten des g geben einen GL (k) Struktur-Gruppe an, in der die Handlung auf der Faser die Standardhandlung von GL (k) ist.

Umgekehrt, in Anbetracht eines Faser-Bündels (E, X, π, R) mit einem GL (k) cocycle, auf die Standardweise auf der Faser R handelnd, dort wird ein Vektor-Bündel vereinigt. Das wird manchmal als die Definition eines Vektor-Bündels genommen.

Vektor-Bündel morphisms

Ein morphism vom Vektoren stopft π: E  X zum Vektoren stopfen π: E  X wird von einem Paar von dauernden Karten f gegeben: E  E und g: X  X solch dass

• g  π = π  f
• für jeden x in X ist die Karte π ({x})  π ({g (x)}) veranlasst durch f eine geradlinige Karte zwischen Vektorräumen.

Bemerken Sie, dass g durch f bestimmt wird (weil π surjective ist), und, wie man dann sagt, f g bedeckt.

Die Klasse des ganzen Vektoren schließt im Bündel mit dem Bündel morphisms zusammen bildet eine Kategorie. Das Einschränken auf den Vektoren macht sich davon, für den die Räume Sammelleitungen sind (und die Bündel-Vorsprünge glatte Karten sind) und glätten Sie Bündel morphisms, erhalten wir die Kategorie von glatten Vektor-Bündeln. Vektor-Bündel morphisms ist ein spezieller Fall des Begriffs einer Bündel-Karte zwischen Faser-Bündeln, und wird auch häufig (Vektor) Bündel-Homomorphismus genannt.

Ein Bündel-Homomorphismus von E bis E mit einem Gegenteil, das auch ein Bündel-Homomorphismus ist (von E bis E) wird (Vektor) genannt, wie man sagt, ist Bündel-Isomorphismus, und dann E und E isomorphe Vektor-Bündel. Ein Isomorphismus (reihen k auf), wird Vektor-Bündel E mehr als X mit dem trivialen Bündel (der Reihe k mehr als X) einen trivialization von E genannt, und, wie man dann sagt, ist E (oder trivializable) trivial. Die Definition eines Vektor-Bündels zeigt, dass jedes Vektor-Bündel lokal trivial ist.

Wir können auch die Kategorie aller Vektor-Bündel über einen festen Grundraum X denken. Als morphisms in dieser Kategorie nehmen wir jene morphisms von Vektor-Bündeln, deren Karte auf dem Grundraum die Identitätskarte auf X ist. D. h. Bündel morphisms, für den das folgende Diagramm pendelt:

(Bemerken Sie, dass diese Kategorie nicht abelian ist; der Kern eines morphism von Vektor-Bündeln ist im Allgemeinen nicht ein Vektor-Bündel auf jede natürliche Weise.)

Ein Vektor-Bündel morphism zwischen dem Vektoren stopft π: E  X und π: E  X Bedeckung einer Karte g von X bis X kann auch als ein Vektor-Bündel-morphism angesehen werden mehr als X von E bis das Hemmnis stopfen g*E.

Abteilungen und lokal freie Bündel

In Anbetracht eines Vektoren stopfen π: E  X und eine offene Teilmenge U X, wir können Abteilungen von π auf U, d. h. dauernde Funktionen s denken: U  E, wo die Zusammensetzung π  s das für den ganzen u in U solch ist. Im Wesentlichen teilt eine Abteilung jedem Punkt von U einen Vektoren vom beigefügten Vektorraum auf eine dauernde Weise zu.

Als ein Beispiel sind Abteilungen des Tangente-Bündels einer Differenzialsammelleitung nichts als Vektorfelder auf dieser Sammelleitung.

Lassen Sie F (U) der Satz aller Abteilungen auf U sein. F (U) enthält immer mindestens ein Element, nämlich die Nullabteilung: Die Funktion s, der jedes Element x U zum Nullelement des Vektorraums π ({x}) kartografisch darstellt. Mit der pointwise Hinzufügung und Skalarmultiplikation von Abteilungen F wird (U) sich ein echter Vektorraum. Die Sammlung dieser Vektorräume ist ein Bündel von Vektorräumen auf X.

Wenn s ein Element von F (U) und α ist: U  ist R eine dauernde Karte, dann αs (pointwise Skalarmultiplikation) ist in F (U). Wir sehen, dass F (U) ein Modul über den Ring von dauernden reellwertigen Funktionen auf U ist. Außerdem, wenn O das Struktur-Bündel von dauernden reellwertigen Funktionen auf X anzeigt, dann wird F ein Bündel von O-Modulen.

Nicht jedes Bündel von O-Modulen entsteht auf diese Mode aus einem Vektor-Bündel: Nur die lokal freien tun. (Der Grund: Lokal suchen wir nach Abteilungen eines Vorsprungs U × R  U; das sind genau die dauernden Funktionen U  R, und solch eine Funktion ist ein K-Tupel von dauernden Funktionen U  R.)

Noch mehr: Die Kategorie von echten Vektor-Bündeln auf X ist zur Kategorie lokal freier und begrenzt erzeugter Bündel von O-Modulen gleichwertig.

So können wir an die Kategorie von echten Vektor-Bündeln auf X als sitzend innerhalb der Kategorie von Bündeln von O-Modulen denken; diese letzte Kategorie ist abelian, so ist das, wo wir Kerne und cokernels von morphisms von Vektor-Bündeln schätzen können.

Bemerken Sie, dass eine Reihe n Vektor-Bündel trivial ist, wenn, und nur wenn es n linear unabhängige globale Abteilungen hat.

Operationen auf Vektor-Bündeln

Die meisten Operationen auf Vektorräumen können zu Vektor-Bündeln durch das Durchführen der Vektorraum-Operation fiberwise erweitert werden.

Zum Beispiel, wenn E ein Vektor-Bündel mehr als X ist, dann gibt es ein Bündel E* mehr als X, genannt das Doppelbündel, dessen Faser an xX der Doppelvektorraum (E) * ist. Formally E* kann als der Satz von Paaren (x, φ), wo xX und φ  (E) * definiert werden. Das Doppelbündel ist lokal trivial, weil der Doppelraum des Gegenteils eines lokalen trivialization von E ein lokaler trivialization von E* ist: Der Stichpunkt hier ist, dass die Operation, den Doppelvektorraum zu nehmen, functorial ist.

Es gibt viele functorial Operationen, die auf Paaren von Vektorräumen (über dasselbe Feld) durchgeführt werden können, und sich diese aufrichtig bis zu Paare von Vektor-Bündel-E, F auf X (über das gegebene Feld) ausstrecken. Einige Beispiele folgen.

• Die Summe von Whitney (genannt für Hassler Whitney) oder Bündel der direkten Summe von E und F ist ein Vektor-Bündel mehr als X, deren Faser über x die direkte Summe der Vektorräume E und F ist.
• Das Tensor-Produktbündel wird auf eine ähnliche Weise, mit fiberwise Tensor-Produkt von Vektorräumen definiert.
• Der Hom-Bündel-Hom (E, F) ist ein Vektor-Bündel, dessen Faser an x der Raum von geradlinigen Karten von E bis F ist (der häufig angezeigter Hom (E, F) oder L (E, F)) ist. Das Hom-Bündel ist so genannt (und nützlich), weil es eine Bijektion zwischen dem Vektor-Bündel-Homomorphismus von E bis F mehr als X und Abteilungen von Hom (E, F) mehr als X gibt.
• Der Doppelvektor macht sich davon E ist das Bündel von Hom Hom (E,R×X) vom Bündel-Homomorphismus von E und dem trivialen Bündel R×X. Es gibt einen kanonischen Vektor-Bündel-Isomorphismus

Jede dieser Operationen ist ein besonderes Beispiel einer allgemeinen Eigenschaft von Bündeln: Dass viele Operationen, die auf der Kategorie von Vektorräumen durchgeführt werden können, auch auf der Kategorie von Vektor-Bündeln auf eine functorial Weise durchgeführt werden können. Das wird genau auf der Sprache von glattem functors gemacht. Eine Operation einer verschiedenen Natur ist der Hemmnis-Bündel-Aufbau. In Anbetracht eines Vektoren stopfen E  Y und eine dauernde Karte f: X  Y man kann E zu einem Vektoren "zurückziehen", stopfen f*E mehr als X. Die Faser über einen Punkt x  X ist im Wesentlichen gerade die Faser über f (x)  Y. Folglich kann Whitney, der resümiert, als das Hemmnis-Bündel der diagonalen Karte von X bis X x X definiert werden, wo das Bündel mehr als X x X E x F ist.

Zusätzliche Strukturen und Generalisationen

Vektor-Bündel werden häufig mehr Struktur gegeben. Zum Beispiel können Vektor-Bündel mit einem metrischen Vektor-Bündel ausgestattet werden. Gewöhnlich ist das metrisch erforderlich, bestimmt zu sein positiv, in welchem Fall jede Faser von E ein Euklidischer Raum wird. Ein Vektor-Bündel mit einer komplizierten Struktur entspricht einem komplizierten Vektor-Bündel, das auch durch das Ersetzen echter Vektorräume in der Definition mit komplizierten und das Verlangen dass der ganze mappings erhalten werden kann, in den Fasern kompliziert-geradlinig sein. Mehr allgemein kann man normalerweise die zusätzliche Struktur verstehen, die einem Vektor-Bündel in Bezug auf die resultierende Verminderung der Struktur-Gruppe eines Bündels auferlegt ist. Vektor-Bündel über allgemeinere topologische Felder können auch verwendet werden.

Wenn statt eines endlich-dimensionalen Vektorraums, wenn die Faser F genommen wird, um ein Banachraum dann zu sein, ein Bündel von Banach erhalten wird. Spezifisch muss man verlangen, dass die lokalen trivializions Banachraum-Isomorphismus (aber nicht gerade geradliniger Isomorphismus) auf jeder der Fasern und dass, außerdem, die Übergänge sind

:

sind dauernder mappings von Sammelleitungen von Banach. In der entsprechenden Theorie für C-Bündel sind alle mappings erforderlich, C zu sein.

Vektor-Bündel sind spezielle Faser-Bündel, diejenigen, deren Fasern Vektorräume sind, und dessen cocycle die Vektorraum-Struktur respektiert. Allgemeinere Faser-Bündel können gebaut werden, in dem die Faser andere Strukturen haben kann; zum Beispiel sind Bereich-Bündel fibered durch Bereiche.

Glatte Vektor-Bündel

Ein Vektor-Bündel (E, p, M) ist glatt, wenn E und M glatte Sammelleitungen, p sind: E  M ist eine glatte Karte, und die lokalen trivializations sind diffeomorphisms. Abhängig vom erforderlichen Grad der Glätte gibt es verschiedene entsprechende Begriffe von C-Bündeln, ungeheuer differentiable C-Bündel und echte analytische C-Bündel. In dieser Abteilung werden wir uns auf C-Bündel konzentrieren. Das wichtigste Beispiel eines C-Vektor-Bündels ist das Tangente-Bündel (TM, π, M) einer C-Sammelleitung M.

Die C-Vektor-Bündel (E, p, M) haben ein sehr wichtiges durch allgemeinere C-Faser-Bündel nicht geteiltes Eigentum. Nämlich kann der Tangente-Raum T (E) an jedem vE mit der Faser E selbst natürlich identifiziert werden. Diese Identifizierung wird durch das vertikale Heben erhalten

vl:ET (E), definiert als

:

\operatorname {vl} _vw [f]: = \frac {d} {dt }\\Großer |_ {t=0} f (v+tw), \quad f\in C^\\infty (E_x).

</Mathematik>

Das vertikale Heben kann auch als ein natürlicher C-Vektor-Bündel-Isomorphismus p*EVE, wo gesehen werden

(p*E, p*p, E) ist das Hemmnis-Bündel (E, p, M) über E durch p:EM und

VE: = Ker (p) TE

ist das vertikale Tangente-Bündel, ein natürliches Vektor-Subbündel des Tangente-Bündels (TE, π, E) vom Gesamtraum E.

Der Schlitz-Vektor-Bündel-E/0, der dabei erhalten ist (E, p, M) durch das Entfernen des Nullabschnitts 0E, trägt ein natürliches Vektorfeld V: = vlv, bekannt als das kanonische Vektorfeld.

Mehr formell, V ist eine glatte Abteilung (TE, π, E), und er kann auch als der unendlich kleine Generator der Liegen-Gruppe-Handlung definiert werden

:

\Phi_V:\mathbb R \times (E\setminus 0) \to (E\setminus 0) \quad; \quad (t, v) \mapsto \Phi_V^t (v): = e^tv.

</Mathematik>

Für jedes glatte Vektor-Bündel (E, p, M) hat der ganze Raum-TE seines Tangente-Bündels (TE, π, E) eine natürliche sekundäre Vektor-Bündel-Struktur (TE, p, TM), wo p der mit dem Stoß fortgeschrittene des kanonischen Vorsprungs p:EM ist. Die Vektor-Bündel-Operationen in dieser sekundären Vektor-Bündel-Struktur sind der Stoß vorwärts +: T (E×E) TE und λ:TETE der ursprünglichen Hinzufügung +:E×EE und Skalarmultiplikation λ:EE.

K-Theorie

Die K-Theorie-Gruppe

:K (X)

einer Sammelleitung wird definiert, weil die abelian Gruppe, die durch Isomorphismus-Klassen [E] (des komplizierten) Vektoren erzeugt ist, modulo die Beziehung das stopft, wann auch immer wir eine genaue Folge haben

:0 &rarr; &rarr; B &rarr; C &rarr; 0

dann

: [B] = + [C]

in der topologischen K-Theorie. KO-Theorie ist eine Version dieses Aufbaus, der echte Vektor-Bündel denkt. Die K-Theorie mit Kompaktunterstützungen kann auch, sowie höhere K-Theorie-Gruppen definiert werden.

Der berühmte Periodizitätslehrsatz von Raoul Bott behauptet, dass die K-Theorie jedes Raums X zu diesem des Kartesianischen Produktes isomorph

ist

:X &times; S,

wo S den 2-Bereiche-anzeigt.

In der algebraischen Geometrie denkt man die K-Theorie-Gruppen, die aus zusammenhängenden Bündeln auf einem Schema X, sowie den K-Theorie-Gruppen von Vektor-Bündeln auf dem Schema mit der obengenannten Gleichwertigkeitsbeziehung bestehen. Die zwei Konstruktionen sind dasselbe vorausgesetzt, dass das zu Grunde liegende Schema glatt ist.

Siehe auch

Allgemeine Begriffe

• Grassmannian: Das Klassifizieren von Räumen für das Vektor-Bündel, unter denen Projektiven Räumen für die Linie stopft
• Charakteristische Klasse
• Das Aufspalten des Grundsatzes

Topologie und Differenzialgeometrie

• Faser-Bündel: der allgemeine topologische Begriff, unter der Bedeckung von Räumen
• Verbindung (Vektor-Bündel): Der Begriff musste Abteilungen von Vektor-Bündeln unterscheiden.
• Bündel (Mathematik)
• Topologische K-Theorie

Algebraische und analytische Geometrie

• Zusammenhängendes Bündel, in der besonderen Gruppe von Picard
• Vektor von Holomorphic stopft

Referenzen

• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 978-0-8218-4815-9
• sieh Ch.5

• sieh Abschnitt 1.5.

• sieh Abschnitt 1.5

Links

• Warum ist es nützlich, Vektor-Bündel zu studieren? auf MathOverflow
• Warum ist es nützlich, die Vektor-Bündel eines Raums zu klassifizieren?