:This-Artikel bespricht Wurzelsysteme in der Mathematik. Für Wurzelsysteme von Werken, sieh Wurzel.

In der Mathematik ist ein Wurzelsystem eine Konfiguration von Vektoren in einem Euklidischen Raum, der bestimmte geometrische Eigenschaften befriedigt. Das Konzept ist in der Theorie von Lüge-Gruppen grundsätzlich, und Lügen Sie Algebra. Seitdem Liegen Gruppen (und einige Entsprechungen wie algebraische Gruppen) und Liegen Algebra sind wichtig in vielen Teilen der Mathematik während des zwanzigsten Jahrhunderts geworden, die anscheinend spezielle Natur von Wurzelsystemen stellt die Zahl von Gebieten falsch dar, in denen sie angewandt werden. Weiter kommt das Klassifikationsschema für Wurzelsysteme, durch Diagramme von Dynkin, in Teilen der Mathematik ohne offene Verbindung vor, um Theorie (wie Eigenartigkeitstheorie) Zu liegen. Schließlich sind Wurzelsysteme um ihretwillen, als in der Graph-Theorie in der Studie von eigenvalues wichtig.

Definitionen

Lassen Sie V ein endlich-dimensionaler Euklidischer Vektorraum mit dem Euklidischen Standardskalarprodukt sein, das dadurch angezeigt ist. Ein Wurzelsystem in V ist ein begrenzter Satz Φ Nichtnullvektoren (genannt Wurzeln), die die folgenden Eigenschaften befriedigen:

1. Die Wurzeln messen V ab.
2. Die einzigen Skalarvielfachen einer Wurzel α  Φ, die Φ gehören, sind α selbst und-α.
3. Für jede Wurzel α  Φ wird der Satz Φ unter dem Nachdenken durch die Hyperflugzeug-Senkrechte zu α geschlossen. D. h. für irgendwelche zwei Wurzeln α und β enthält der Satz Φ das Nachdenken von β,

:

1. (Bedingung von Integrality), Wenn α und β Wurzeln in Φ sind, dann ist der Vorsprung von β auf die Linie durch α ein halbintegriertes Vielfache von α. Das, ist

:

Einige Autoren schließen nur Bedingungen 1-3 in die Definition eines Wurzelsystems ein. In diesem Zusammenhang ist ein Wurzelsystem, das auch die integrality Bedingung befriedigt, als ein Crystallographic-Wurzelsystem bekannt. Andere Autoren lassen Bedingung 2 weg; dann nennen sie Wurzelsysteme, die Bedingung 2 reduzierte befriedigen. In diesem Artikel, wie man annimmt, werden alle Wurzelsysteme reduziert und crystallographic.

Im Hinblick auf das Eigentum 3 ist die integrality Bedingung zum Angeben gleichwertig, dass β und sein Nachdenken σ (β) unterscheiden sich durch eine von α vielfache ganze Zahl. Bemerken Sie dass der Maschinenbediener

:

definiert durch das Eigentum 4 ist nicht ein Skalarprodukt. Es ist nicht notwendigerweise symmetrisch und ist nur im ersten Argument geradlinig.

Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Wurzeln wird beschränkt, ein halbintegriertes Vielfache einer Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu sein:

:

Seitdem sind die einzigen möglichen Werte dafür, entsprechend Winkeln von 90 °, 60 ° oder 120 °, 45 ° oder 135 °, 30 ° oder 150 ° und 0 oder 180 °. Bedingung 2 sagt, dass keine Skalarvielfachen von α außer 1 und-1 Wurzeln sein können, so sind 0 oder 180 °, die 2α oder-2α entsprechen würden, aus.

Die Reihe eines Wurzelsystems Φ ist die Dimension von V.

Zwei Wurzelsysteme können durch die Bewertung der Euklidischen Räume verbunden werden, die sie als gegenseitig orthogonale Subräume eines allgemeinen Euklidischen Raums abmessen. Wie man sagt, ist ein Wurzelsystem, das aus solch einer Kombination, wie die Systeme A, B, und G nicht entsteht, der unten geschildert ist, nicht zu vereinfachend.

Wie man

betrachtet, sind zwei nicht zu vereinfachende Wurzelsysteme (E, Φ) und (E, Φ) dasselbe, wenn es eine invertible geradlinige Transformation E  E gibt, der Φ an Φ sendet.

Die Gruppe von Isometrien V erzeugt durch das Nachdenken durch zu den Wurzeln von Φ vereinigte Hyperflugzeuge wird die Gruppe von Weyl von Φ genannt. Da es treu auf dem begrenzten Satz Φ handelt, ist die Gruppe von Weyl immer begrenzt.

Eines Wurzelsystems ist Φ das Z-Untermodul V erzeugt durch Φ. Es ist ein Gitter in V.

Reihen Sie 1 auf und reihen Sie 2 Beispiele auf

Es gibt nur ein Wurzelsystem der Reihe 1, aus zwei Nichtnullvektoren bestehend. Dieses Wurzelsystem wird genannt.

In der Reihe 2 gibt es vier Möglichkeiten, entsprechend, wo. Bemerken Sie, dass das durch ein Wurzelsystem erzeugte Gitter nicht einzigartig ist: Und erzeugen Sie ein Quadratgitter, während und ein sechseckiges Gitter, nur zwei der fünf möglichen Typen dessen erzeugen.

Wann auch immer Φ ein Wurzelsystem in V ist, und W ein Subraum V abgemessen durch Ψ = Φ  W ist, dann ist Ψ ein Wurzelsystem in W. So, die erschöpfende Liste von vier Wurzelsystemen der Reihe 2 Shows die geometrischen Möglichkeiten für irgendwelche zwei aus einem Wurzelsystem der willkürlichen Reihe gewählten Wurzeln. Insbesondere zwei solche Wurzeln müssen sich in einem Winkel 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, oder 180 Grade treffen.

Positive Wurzeln und einfache Wurzeln

In Anbetracht eines Wurzelsystems Φ können wir immer (auf viele Weisen) eine Reihe positiver Wurzeln wählen. Das ist eine Teilmenge

solchen Φ dass

• Für jede Wurzel genau wird eine der Wurzeln, - darin enthalten.
• Für irgendwelche zwei verschieden solch, der eine Wurzel ist.

Wenn eine Reihe positiver Wurzeln gewählt wird, werden Elemente - negative Wurzeln genannt.

Ein Element dessen wird eine einfache Wurzel genannt, wenn es als die Summe von zwei Elementen dessen nicht geschrieben werden kann. Der Satz von einfachen Wurzeln ist eine Basis mit dem Eigentum, dass jeder Vektor darin eine geradlinige Kombination von Elementen mit allen Koeffizienten nichtnegativ, oder allen nichtpositiven Koeffizienten ist. Für jede Wahl von positiven Wurzeln ist der entsprechende Satz von einfachen Wurzeln der einzigartige Satz von solchen Wurzeln, dass die positiven Wurzeln genau diejenigen sind, die als eine Kombination von ihnen mit nichtnegativen Koeffizienten, und solche ausgedrückt werden können, dass diese Kombinationen einzigartig sind.

Doppelwurzelsystem und coroots

Wenn Φ ein Wurzelsystem in V ist, wird der coroot α einer Wurzel α durch definiert

:

Der Satz von coroots bildet auch ein Wurzelsystem Φ in V, genannt das Doppelwurzelsystem (oder manchmal umgekehrte Wurzelsystem).

Definitionsgemäß, α = α, so dass Φ das Doppelwurzelsystem von Φ ist. Das Gitter in V abgemessen durch Φ wird das coroot Gitter genannt. Sowohl Φ als auch Φ haben dieselbe Gruppe von Weyl W und, für s in W,

:

Wenn Δ eine Reihe einfacher Wurzeln für Φ ist, dann ist Δ eine Reihe einfacher Wurzeln für Φ.

Klassifikation von Wurzelsystemen durch Diagramme von Dynkin

Nicht zu vereinfachende Wurzelsysteme entsprechen bestimmten Graphen, die nach Eugene Dynkin genannten Diagramme von Dynkin. Die Klassifikation dieser Graphen ist eine einfache Sache von combinatorics, und veranlasst eine Klassifikation von nicht zu vereinfachenden Wurzelsystemen.

In Anbetracht eines Wurzelsystems, wählen Sie einen Satz Δ von einfachen Wurzeln als in der vorhergehenden Abteilung aus. Die Scheitelpunkte des verbundenen Diagramms von Dynkin entsprechen Vektoren in Δ. Ein Rand wird zwischen jedem nichtorthogonalen Paar von Vektoren gezogen; es ist ein ungeleiteter einzelner Rand, wenn sie einen Winkel von radians, ein geleiteter doppelter Rand machen, wenn sie einen Winkel von radians und einen geleiteten dreifachen Rand machen, wenn sie einen Winkel von radians machen. Der Begriff "geleiteter Rand" bedeutet, dass doppelte und dreifache Ränder mit einem Winkelzeichen gekennzeichnet werden, das zum kürzeren Vektoren hinweist.

Obwohl ein gegebenes Wurzelsystem mehr als einen möglichen Satz von einfachen Wurzeln hat, handelt die Gruppe von Weyl transitiv auf solchen Wahlen. Folglich ist das Diagramm von Dynkin der Wahl von einfachen Wurzeln unabhängig; es wird durch das Wurzelsystem selbst bestimmt. Umgekehrt, in Anbetracht zwei Wurzelsysteme mit demselben Diagramm von Dynkin, kann man Wurzeln vergleichen, mit den Wurzeln in der Basis anfangend, und zeigen, dass die Systeme tatsächlich dasselbe sind.

So nimmt das Problem, Wurzelsysteme zu klassifizieren, zum Problem ab, mögliche Diagramme von Dynkin zu klassifizieren. Wurzelsysteme sind nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn ihre Diagramme von Dynkin verbunden werden. Diagramme von Dynkin verschlüsseln das Skalarprodukt auf E in Bezug auf die Basis Δ, und die Bedingung, dass dieses Skalarprodukt positive bestimmte Umdrehungen sein muss, um alles zu sein, was erforderlich ist, um die gewünschte Klassifikation zu bekommen.

Die wirklichen verbundenen Diagramme sind wie folgt. Die Subschriften zeigen die Zahl von Scheitelpunkten im Diagramm (und folglich die Reihe des entsprechenden nicht zu vereinfachenden Wurzelsystems) an.

Eigenschaften der nicht zu vereinfachenden Wurzelsysteme

Nicht zu vereinfachende Wurzelsysteme werden gemäß ihren entsprechenden verbundenen Diagrammen von Dynkin genannt. Es gibt vier unendliche Familien (A, B, C, und D, genannt die klassischen Wurzelsysteme) und fünf Ausnahmefälle (die außergewöhnlichen Wurzelsysteme). Die Subschrift zeigt die Reihe des Wurzelsystems an.

In einem nicht zu vereinfachenden Wurzelsystem kann es höchstens zwei Werte für die Länge (α, α) entsprechend kurzen und langen Wurzeln geben. Wenn alle Wurzeln dieselbe Länge haben, werden sie genommen, um definitionsgemäß lang zu sein, und, wie man sagt, ist das Wurzelsystem einfach laced; das kommt in den Fällen A, D und E vor. Irgendwelche zwei Wurzeln derselben Länge liegen in derselben Bahn der Gruppe von Weyl. In nichteinfach laced Fälle B, C, G und F, wird das Wurzelgitter durch die kurzen Wurzeln abgemessen, und die langen Wurzeln messen ein Subgitter, invariant unter der Gruppe von Weyl ab, die r/2 Zeiten das coroot Gitter gleich ist, wo r die Länge einer langen Wurzel ist.

Im Tisch nach rechts, | Φ

Ausführlicher Aufbau der nicht zu vereinfachenden Wurzelsysteme

A

Lassen Sie V der Subraum von R sein, für den die Koordinatensumme zu 0, und Φ der Satz von Vektoren in V der Länge 2 sein lassen, und die Vektoren der ganzen Zahl sind, d. h. Koordinaten der ganzen Zahl in R haben. Solch ein Vektor muss alle außer zwei Koordinaten haben, die 0, eine Koordinate gleich sind, die 1, und ein gleicher-1 gleich ist, also gibt es n + n Wurzeln insgesamt. Eine Wahl von einfachen in der Standardbasis ausgedrückten Wurzeln ist: α = e - e, für 1  i  n.

Das Nachdenken σ durch die Hyperflugzeug-Senkrechte zu α ist dasselbe als Versetzung des angrenzenden i-th und (ich + 1')-th Koordinaten. Solcher

Umstellungen erzeugen die volle Versetzungsgruppe.

Für angrenzende einfache Wurzeln,

σ (α) = α + α = σ (α) = α + α, d. h. ist Nachdenken zum Hinzufügen eines Vielfaches 1 gleichwertig; aber

das Nachdenken einer einfachen Wurzelsenkrechte zu einer nichtangrenzenden einfachen Wurzel verlässt es unverändert, sich durch ein Vielfache 0 unterscheidend.

Das Gitter, das durch Ein Wurzelsystem erzeugt ist, ist crystallographers als das flächenzentrierte kubische (fcc) (oder Kubikende gepackt) Gitter bekannt.

B

Lassen Sie V = R, und lassen Sie Φ aus allen Vektoren der ganzen Zahl in V der Länge 1 oder 2 bestehen. Die Gesamtzahl von Wurzeln ist 2n. Eine Wahl von einfachen Wurzeln ist: α = e - e, für 1  i  n - 1 (die obengenannte Wahl von einfachen Wurzeln für A) und der kürzeren Wurzel α = e.

Das Nachdenken σ durch die Hyperflugzeug-Senkrechte zur kurzen Wurzel α ist natürlich einfach Ablehnung der n-ten Koordinate.

Für die lange einfache Wurzel α, σ (α) = α + α, aber für die Nachdenken-Senkrechte zur kurzen Wurzel, σ (α) = α + 2α, ein Unterschied durch ein Vielfache 2 statt 1.

B ist zu über das Schuppen durch 2 isomorph, und ist deshalb nicht ein verschiedenes Wurzelsystem.

C

Lassen Sie V = R, und lassen Sie Φ aus allen Vektoren der ganzen Zahl in V der Länge 2 zusammen mit allen Vektoren der Form 2λ bestehen, wo λ ein Vektor der ganzen Zahl der Länge 1 ist. Die Gesamtzahl von Wurzeln ist 2n. Eine Wahl von einfachen Wurzeln ist: α = e - e, für 1  i  n - 1 (die obengenannte Wahl von einfachen Wurzeln für A) und der längeren Wurzel α = 2e.

Das Nachdenken σ (α) = α + α, aber σ (α) = α + 2α.

C ist zu B über das Schuppen durch 2 und eine 45 Grad-Folge isomorph, und ist deshalb nicht ein verschiedenes Wurzelsystem.

D

Lassen Sie V = R, und lassen Sie Φ aus allen Vektoren der ganzen Zahl in V der Länge 2 bestehen. Die Gesamtzahl von Wurzeln ist 2n (n - 1). Eine Wahl von einfachen Wurzeln ist: α = e - e, für 1  i < n (die obengenannte Wahl von einfachen Wurzeln für A) plus α = e + e.

Das Nachdenken durch die Hyperflugzeug-Senkrechte zu α ist dasselbe als das Umstellen und Verneinen des angrenzenden n-ten und (n - 1)-th Koordinaten. Jede einfache Wurzel und seine Nachdenken-Senkrechte zu einer anderen einfachen Wurzel unterscheiden sich durch ein Vielfache 0 oder 1 der zweiten Wurzel, nicht durch jedes größere Vielfache.

D nimmt zu A ab, und ist deshalb nicht ein verschiedenes Wurzelsystem.

D hat genannten triality der zusätzlichen Symmetrie.

E, E, E

E wird zuerst erklärt.

• Das E-Wurzelsystem ist jeder Satz von Vektoren in R, der zum folgenden Satz kongruent ist:

: D  {½ ( εe): ε = ±1, ε\··· ε = +1}.

Das Wurzelsystem hat 240 Wurzeln.

Der gerade verzeichnete Satz ist der Satz von Vektoren der Länge 2 im E8 Gitter Γ, der der Satz von Punkten in solchem R dass ist:

1. alle Koordinaten sind ganze Zahlen, oder alle Koordinaten sind halbganze Zahlen (eine Mischung von ganzen Zahlen, und halbganze Zahlen wird nicht erlaubt), und
2. die Summe der acht Koordinaten ist eine gleiche ganze Zahl.

So,

:E = {α  Z  (Z +½): | α =  α = 2,  α  2Z}.

• Das Wurzelsystem E ist der Satz von Vektoren in E, die auf einer festen Wurzel in E rechtwinklig sind. Das Wurzelsystem E hat 126 Wurzeln.
• Das Wurzelsystem E ist nicht der Satz von Vektoren in E, die auf einer festen Wurzel in E tatsächlich rechtwinklig sind, erhält man D dieser Weg. Jedoch ist E das Subsystem der E Senkrechte zu zwei angemessen gewählten Wurzeln von E. Das Wurzelsystem E hat 72 Wurzeln.

Eine alternative Beschreibung des E Gitters, das manchmal günstig ist, ist als der Satz Γ' von allen Punkten in solchem R dass

• alle Koordinaten sind ganze Zahlen, und die Summe der Koordinaten ist sogar, oder
• alle Koordinaten sind halbganze Zahlen, und die Summe der Koordinaten ist seltsam.

Die Gitter Γ und Γ' sind isomorph; man kann von einem bis anderen gehen, indem man die Zeichen jeder ungeraden Zahl von Koordinaten ändert. Das Gitter Γ wird manchmal das gleiche Koordinatensystem nach E genannt, während das Gitter Γ' das sonderbare Koordinatensystem genannt wird.

Eine Wahl von einfachen Wurzeln für E im gleichen Koordinatensystem ist

:α = e - e, für 1  i  6, und

:α = e + e

(die obengenannte Wahl von einfachen Wurzeln für D) zusammen mit

:α = β = = (-½,-½,-½,-½,-½,-½,-½,-½).

Eine Wahl von einfachen Wurzeln für E im sonderbaren Koordinatensystem ist

:α = e - e, für 1  i  7

(die obengenannte Wahl von einfachen Wurzeln für A) zusammen mit

:α = β, wo

:β =.

(β verwendend, würde ein isomorphes Ergebnis geben. Das Verwenden β oder β würde einfach A oder D geben. Bezüglich β, seiner Koordinatensumme zu 0, und dasselbe ist für α wahr, so messen sie nur den 7-dimensionalen Subraum ab, für den die Koordinaten zu 0 resümieren; tatsächlich hat-2β Koordinaten (1,2,3,4,3,2,1) in der Basis (α).)

Wenn er

α und dann löscht, gibt α Sätze von einfachen Wurzeln für E und E.

Seitdem perpendicularity zu α bedeutet, dass die ersten zwei Koordinaten gleich sind, ist E dann die Teilmenge von E, wo die ersten zwei Koordinaten gleich sind, und ähnlich E die Teilmenge von E ist, wo die ersten drei Koordinaten gleich sind. Das erleichtert ausführliche Definitionen von E und E als:

:E = {α  Z  (Z +½):  α + α = 2,  α + α  2Z},

:E = {α  Z  (Z +½):  α + 2α = 2,  α + 2α  2Z }\

F

Für F, lassen Sie V = R, und lassen Sie Φ den Satz von Vektoren α von der Länge 1 oder 2 solche anzeigen, dass die Koordinaten 2α alle ganzen Zahlen sind und entweder alle sogar oder alle seltsam sind. Es gibt 48 Wurzeln in diesem System. Eine Wahl von einfachen Wurzeln ist: Die Wahl von einfachen Wurzeln, die oben für B, plus α = gegeben sind-.

G

Das Wurzelsystem G hat 12 Wurzeln, die die Scheitelpunkte eines hexagram bilden. Sieh das Bild oben.

Eine Wahl von einfachen Wurzeln ist: (α,

β = α - α) wo

α = e - e, weil ich = 1, 2 die obengenannte Wahl von einfachen Wurzeln für A bin.

Wurzelsysteme und Liegen Theorie

Nicht zu vereinfachende Wurzelsysteme klassifizieren mehrere zusammenhängende Gegenstände in der Lüge-Theorie, namentlich der

• einfache Lüge-Gruppen (sieh die Liste von einfachen Lüge-Gruppen), einschließlich des
• einfache komplizierte Lüge-Gruppen;
• ihre verbundenen einfachen komplizierten Lüge-Algebra; und
• einfach verbundene komplizierte Lüge-Gruppen, die einfache modulo Zentren sind.

In jedem Fall sind die Wurzeln Nichtnullgewichte der adjoint Darstellung.

Im Fall von einer einfach verbundenen einfachen Kompaktlüge-Gruppe G mit dem maximalen Ring T kann das Wurzelgitter mit Hom (T, T) und das coroot Gitter mit Hom (T, T) natürlich identifiziert werden; sieh.

Für Verbindungen zwischen den außergewöhnlichen Wurzelsystemen und ihren Lüge-Gruppen und Liegen Algebra sehen E, E, E, F, und G.

Siehe auch

• ADE Klassifikation
• Affine lassen System einwurzeln
• Coxeter-Dynkin Diagramm
• Gruppe von Coxeter
• Matrix von Coxeter
• Diagramm von Dynkin
• Wurzelgegebenheit
• Wurzelsystem einer halbeinfachen Lüge-Algebra
• Gruppe von Weyl

Referenzen

• . Die klassische Verweisung für Wurzelsysteme.

.

Weiterführende Literatur

• Dynkin, E. B. Die Struktur von halbeinfachen Algebra. Uspehi Matem. Nauk (N.S). 2, (1947). Nr. 4 (20), 59-127.

Links