In der klassischen Mechanik ist das Zwei-Körper-Problem, die Bewegung von zwei Punkt-Partikeln zu bestimmen, die nur mit einander aufeinander wirken. Allgemeine Beispiele schließen einen Satelliten ein, der einen Planeten, ein Planet umkreist, der einen Stern, zwei Sterne umkreist, die einander (ein binärer Stern), und ein klassisches Elektron umkreisen, das einen Atomkern umkreist (obwohl man dieses System richtig ein Quant löst, muss mechanische Annäherung verwendet werden).

Das Zwei-Körper-Problem kann als zwei unabhängige Ein-Körper-Probleme, ein triviales und dasjenige wiederformuliert werden, das das Lösen für die Bewegung einer Partikel in einem Außenpotenzial einschließt. Da viele Ein-Körper-Probleme genau behoben werden können, kann das entsprechende Zwei-Körper-Problem auch behoben werden. Im Vergleich können das Drei-Körper-Problem (und, mehr allgemein, das N-Körperproblem für n  3) nicht gelöst werden, außer in speziellen Fällen.

Die Verminderung zu zwei unabhängigen Ein-Körper-Problemen

Lassen Sie x und x die Positionen der zwei Körper, und M und M sein, ihre Massen sein. Die Absicht ist, die Schussbahnen x (t) und x (t) seit allen Zeiten t, in Anbetracht der anfänglichen Positionen x (t = 0) und x (t = 0) und die anfänglichen Geschwindigkeiten v (t = 0) und v (t = 0) zu bestimmen.

Wenn angewandt, auf die zwei Massen setzt das zweite Gesetz von Newton das fest

:

\mathbf {F} _ {12} (\mathbf {x} _ {1}, \mathbf {x} _ {2}) = m_ {1} \ddot {\\mathbf {x}} _ {1} \quad \quad \quad (\mathrm {Gleichung} \1)

</Mathematik>:

\mathbf {F} _ {21} (\mathbf {x} _ {1}, \mathbf {x} _ {2}) = m_ {2} \ddot {\\mathbf {x}} _ {2} \quad \quad \quad (\mathrm {Gleichung} \2)

</Mathematik>

wo F die Kraft auf der Masse 1 erwarteter zu seinen Wechselwirkungen mit der Masse 2 ist, und F die Kraft auf der Masse 2 erwartete zu seinen Wechselwirkungen mit der Masse 1 ist.

Beitragend und diese zwei Gleichungen decouples sie in zwei Ein-Körper-Probleme abziehend, die unabhängig gelöst werden können. Das Hinzufügen von Gleichungen (1) und (2) läuft auf eine Gleichung hinaus, die das Zentrum der Masse (barycenter) Bewegung beschreibt. Im Vergleich Gleichung (2) von der Gleichung (1) Abstriche zu machen, läuft auf eine Gleichung hinaus, die wie der Vektor r = x &minus beschreibt; x zwischen den Massen ändert sich mit der Zeit. Die Lösungen dieser unabhängigen Ein-Körper-Probleme können verbunden werden, um die Lösungen für die Schussbahnen x (t) und x (t) zu erhalten.

Zentrum der Massenbewegung (1. Ein-Körper-Problem)

Hinzufügung der Kraft-Gleichungen (1) und (2) Erträge

:

m_ {1 }\\ddot {\\mathbf {x}} _1 + m_2 \ddot {\\mathbf {x}} _2 = (m_1 + m_2) \ddot {\\mathbf {R}} = \mathbf {F} _ {12} + \mathbf {F} _ {21} = 0

</Mathematik>

wo wir das dritte Gesetz F von Newton = &minus;F und wo verwendet haben

:

\ddot {\\mathbf {R}} \equiv \frac {m_ {1 }\\ddot {\\mathbf {x}} _ {1} + m_ {2 }\\ddot {\\mathbf {x}} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2} }\

</Mathematik>:

\mathbf {R }\

</Mathematik> ist die Position des Zentrums der Masse (barycenter) vom System.

Die resultierende Gleichung:

:

\ddot {\\mathbf {R}} = 0

</Mathematik>

Shows, dass die Geschwindigkeit V = dR/dt des Zentrums der Masse unveränderlich ist, von dem dem der Gesamtschwung M v + M v folgt, sind auch (Bewahrung des Schwungs) unveränderlich. Folglich kann die Position R (t) des Zentrums der Masse zu jeder Zeit von den anfänglichen Positionen und Geschwindigkeiten bestimmt werden.

Versetzungsvektor-Bewegung (2. Ein-Körper-Problem)

Teilen-sowohl Kraft-Gleichungen durch die jeweiligen Massen, die zweite Gleichung von Anfang an als auch Umordnen Abstriche zu machen, geben die Gleichung

:

\ddot {\\mathbf {r}} = \ddot {\\mathbf {x}} _ {1} - \ddot {\\mathbf {x}} _ {2} =

\left (\frac {\\mathbf {F} _ {12}} {m_ {1}} - \frac {\\mathbf {F} _ {21}} {m_ {2}} \right) =

\left (\frac {1} {m_ {1}} + \frac {1} {m_ {2}} \right) \mathbf {F} _ {12 }\

</Mathematik>

wo wir wieder das dritte Gesetz F von Newton = &minus;F verwendet haben, und wo r der Versetzungsvektor von der Masse 2 zur Masse 1, wie definiert, oben ist.

Die Kraft zwischen den zwei Gegenständen, die in den zwei Gegenständen entsteht, sollte nur eine Funktion ihrer Trennung r und nicht von ihren absoluten Positionen x und x sein; sonst würde es nicht Übersetzungssymmetrie geben, und die Gesetze der Physik würden sich von Ort zu Ort ändern müssen. Die abgezogene Gleichung kann deshalb geschrieben werden:

:

\mu \ddot {\\mathbf {r}} = \mathbf {F} _ {12} (\mathbf {x} _ {1}, \mathbf {x} _ {2}) = \mathbf {F} (\mathbf {r})

</Mathematik>

wo die reduzierte Masse ist

:

\mu = \frac {1} {\\frac {1} {m_1} + \frac {1} {m_ {2}}} = \frac {m_1 m_2} {m_1 + m_2 }\

</Mathematik>Wenn er

die Gleichung für r löst, ist (t) der Schlüssel zum Zwei-Körper-Problem; allgemeine Lösungsmethoden werden unten beschrieben.

Sobald R (t) und r (t) bestimmt worden sind, können die ursprünglichen Schussbahnen erhalten werden

:

\mathbf {x} _1 (t) =

\mathbf {R} (t) + \frac {m_2} {m_1 + m_2} \mathbf {r} (t)

</Mathematik>:

\mathbf {x} _2 (t) =

\mathbf {R} (t) - \frac {m_ {1}} {m_1 + m_2} \mathbf {r} (t)

</Mathematik>

wie durch das Ersetzen der Definitionen von R und r in die Rechten dieser zwei Gleichungen nachgeprüft werden kann.

Zwei-Körper-Bewegung ist planar

Die Bewegung von zwei Körpern in Bezug auf einander liegt immer in einem Flugzeug (im Zentrum des Massenrahmens). Das Definieren des geradlinigen Schwungs p und des winkeligen Schwungs L durch die Gleichungen

:

\mathbf {L} = \mathbf {r} \times \mathbf {p} = \mathbf {r} \times \mu \frac {d\mathbf {r}} {dt }\

</Mathematik>

die Rate der Änderung des winkeligen Schwungs L kommt dem Nettodrehmoment N gleich

:

\mathbf {N} = \frac {d\mathbf {L}} {dt} = \dot {\\mathbf {r}} \times \mu\dot {\\mathbf {r}} + \mathbf {r} \times \mu\ddot {\\mathbf {r}} \,

</Mathematik>

und das Verwenden des Eigentums des Vektor-Kreuzproduktes dass v × w = 0 für irgendwelche Vektoren v und w, der in derselben Richtung, hinweist

:

\mathbf {N} \= \\frac {d\mathbf {L}} {dt} = \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,

</Mathematik>

mit F = μ d r / dt.

Das Einführen der Annahme (wahr von den meisten physischen Kräften, weil sie dem starken dritten Gesetz von Newton der Bewegung folgen), dass die Kraft zwischen zwei Partikeln entlang der Linie zwischen ihren Positionen handelt, hieraus folgt dass r × F = 0 und der winkelige Schwung-Vektor L (erhalten) unveränderlich ist. Deshalb sind der Versetzungsvektor r und seine Geschwindigkeit v immer in der Flugzeug-Senkrechte zum unveränderlichen Vektoren L.

Hauptkräfte

Für viele physische Probleme die Kraft ist F(r) eine Hauptkraft, d. h. es ist von der Form

:

wo r = |r und r  = r/r der entsprechende Einheitsvektor sind. Wir haben jetzt:

:

\mu \ddot {\\mathbf {r}} = {F} (r) \hat {\\mathbf {r}} \,

</Mathematik>

wo F(r) im Fall von einer attraktiven Kraft negativ ist.

Arbeit

Die ganze geleistete Arbeit in einem gegebenen Zeitabstand durch die Kräfte, die durch zwei Körper auf einander ausgeübt sind, ist dasselbe als die geleistete Arbeit durch eine auf die Gesamtverhältnisversetzung angewandte Kraft.

Siehe auch

• Bahn von Kepler
• Energieantrieb
• Gleichung des Zentrums
• Das Drei-Körper-Problem von Euler
• Gravitationszwei-Körper-Problem
• Problem von Kepler
• N-Körperproblem
• Lehrsatz von Virial

Bibliografie

Links

• Zwei-Körper-Problem an der Welt von Eric Weisstein der Physik