In der Mathematik, dem cokernel, von Vektorräumen f geradlinig kartografisch darzustellen: X  Y sind der Quotient-Raum Y/im (f) des codomain von f durch das Image von f. Die Dimension des cokernel wird den corank von f genannt.

Cokernels sind zu den Kernen der Kategorie-Theorie, folglich der Name: Doppel-der Kern ist ein Subgegenstand des Gebiets (stellt es zum Gebiet kartografisch dar), während der cokernel ein Quotient-Gegenstand des codomain ist (stellt es vom codomain kartografisch dar).

Intuitiv, in Anbetracht einer Gleichung, die man sich bemüht, zu lösen

der cokernel misst die Einschränkungen, die y für diese Gleichung befriedigen muss, um eine Lösung - die Hindernisse für eine Lösung zu haben - während der Kern die Grade der Freiheit in einer Lösung misst, wenn man besteht. Das wird in der Intuition unten sorgfältig ausgearbeitet.

Mehr allgemein, der cokernel eines morphism f: X  Y in einer Kategorie (z.B ein Homomorphismus zwischen Gruppen oder ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener zwischen Räumen von Hilbert) sind ein Gegenstand Q und ein morphism q: Y  Q solch, dass die Komposition q f die Null morphism der Kategorie, und außerdem ist, ist q in Bezug auf dieses Eigentum universal. Häufig wird die Karte q verstanden, und Q selbst wird den cokernel von f genannt.

In vielen Situationen in der abstrakten Algebra, solcher bezüglich abelian Gruppen, Vektorräume oder Module, des cokernel des Homomorphismus f: X  Y sind der Quotient von Y durch das Image von f. In topologischen Einstellungen, solcher als mit begrenzten geradlinigen Maschinenbedienern zwischen Räumen von Hilbert, muss man normalerweise den Verschluss des Images vor dem Übergang zum Quotienten nehmen.

Formelle Definition

Man kann den cokernel im allgemeinen Fachwerk der Kategorie-Theorie definieren. In der Größenordnung von der Definition, um Sinn zu haben, muss die fragliche Kategorie Null morphisms haben. Der cokernel eines morphism f: X  Y werden als der coequalizer von f und der Null morphism 0 definiert: X  Y.

Ausführlich bedeutet das das folgende. Der cokernel von f: X  Y sind ein Gegenstand Q zusammen mit einem morphism q: Y  Q solch dass das Diagramm

pendelt. Außerdem muss der morphism q für dieses Diagramm, d. h. irgendwelchen ander solcher q&prime universal sein;: Y  Q′ kann durch das Bestehen q mit einem einzigartigen morphism u erhalten werden: Q 

Als mit allen universalen Aufbauten ist der cokernel, wenn es besteht, bis zu einem einzigartigen Isomorphismus, oder genauer einzigartig: wenn q: Y  Q und q': Y  Q' sind zwei cokernels von f: X  Y, dann dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus u: Q  Q' mit q' = u q.

Wie der ganze coequalizers, der cokernel q: Y  ist Q notwendigerweise ein epimorphism. Umgekehrt wird ein epimorphism normal genannt (oder conormal), wenn es der cokernel von einem morphism ist. Eine Kategorie wird conormal genannt, wenn jeder epimorphism normal ist (z.B, ist die Kategorie von Gruppen conormal).

Beispiele

In der Kategorie von Gruppen, dem cokernel eines Gruppenhomomorphismus f: G  ist H der Quotient von H durch den normalen Verschluss des Images von f. Im Fall von abelian Gruppen da ist jede Untergruppe normal, der cokernel ist gerade H modulo das Image von f:

:coker (f) = H / im (f).

Spezielle Fälle

In einer vorzusätzlichen Kategorie hat es Sinn, morphisms hinzuzufügen und abzuziehen. In solch einer Kategorie, dem coequalizer von zwei morphisms f und g (wenn es besteht) ist gerade der cokernel ihres Unterschieds:

:.

In einer abelian Kategorie (eine spezielle Art der vorzusätzlichen Kategorie) werden das Image und coimage eines morphism f durch gegeben

Insbesondere jede abelian Kategorie ist (und conormal ebenso) normal. D. h. jede monomorphism M kann als der Kern von einem morphism geschrieben werden. Spezifisch ist M der Kern seines eigenen cokernel:

Intuition

Vom cokernel kann als der Raum von Einschränkungen gedacht werden, die eine Gleichung als der Raum von Hindernissen befriedigen muss, gerade als der Kern der Raum von Lösungen ist.

Formell kann man den Kern und den cokernel durch die genaue Folge verbinden

Diese können so interpretiert werden: In Anbetracht einer geradlinigen Gleichung, um, zu lösen

• der Kern ist der Raum von Lösungen der homogenen Gleichung, und seine Dimension ist die Zahl von Graden der Freiheit in einer Lösung, wenn es besteht;
• der cokernel ist der Raum von Einschränkungen, die zufrieden sein müssen, ob die Gleichung eine Lösung haben soll, und seine Dimension die Zahl von Einschränkungen ist, die für die Gleichung zufrieden sein müssen, um eine Lösung zu haben.

Die Dimension des cokernel plus die Dimension des Images (die Reihe) beläuft sich auf die Dimension des Zielraums, weil die Dimension des Quotient-Raums einfach die Dimension des Raums minus die Dimension des Images ist.

Als ein einfaches Beispiel, betrachten Sie die Karte als gegeben durch

Dann für eine Gleichung, um eine Lösung zu haben, müssen wir (eine Einschränkung) haben, und in diesem Fall ist der Lösungsraum oder hat gleichwertig, (ein Grad der Freiheit) festgesetzt. Der Kern kann als der Subraum ausgedrückt werden

• Saunders Mac Lane: Kategorien für den Arbeitsmathematiker, die Zweite Ausgabe, 1998.
• Cokernels - Seite 64