In der Mathematik ist die Formel von Baker-Campbell-Hausdorff die Lösung von

:::

für den nichtauswechselbaren X und Y. Diese Formel Verbindungen Liegen Gruppen, um Algebra durch das Ausdrücken des Logarithmus des Produktes zwei Zu liegen, Liegt Gruppenelemente als ein Lüge-Algebra-Element in

kanonische Koordinaten, eine bedeutende führende Verbindung geschätzt (Hausdorff 1906) vor der vollen Entwicklung der Theorie.

Es wird für Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff genannt. Es wurde zuerst im Druck von Campbell (1897) bemerkt; sorgfältig ausgearbeitet von Henri Poincaré (1899) und Baker (1902); und systematisiert geometrisch und verbunden mit der Identität von Jacobi durch Hausdorff (1906).

Die Formel von Baker-Campbell-Hausdorff: Existenz

Die Formel von Baker-Campbell-Hausdorff deutet an, dass, wenn X und Y in einigen sind, über jedes Feld der Eigenschaft 0 definierte Algebra, dann Liegen

:: Klotz (exp (X) exp (Y)),

kann als eine formelle unendliche Summe von Elementen dessen geschrieben werden. Für viele Anwendungen braucht man keinen ausführlichen Ausdruck für diese unendliche Summe, aber bloß Versicherung seiner Existenz, und das kann wie folgt gesehen werden. Der Ring

::S = R

der ganzen nichtpendelnden formellen Macht-Reihe in nichtpendelnden Variablen X und Y hat einen Ringhomomorphismus Δ von S bis die Vollziehung von

::S⊗S,

genannt den coproduct, solch dass

::Δ (X) = X⊗1 +

1⊗X

und ähnlich für Y. (Wird die Definition des coproduct rekursiv durch die Regel erweitert). Das hat

die folgenden Eigenschaften:

• exp ist ein Isomorphismus (von Sätzen) von den Elementen von S mit dem unveränderlichen Begriff 0 zu den Elementen mit dem unveränderlichen Begriff 1, mit dem umgekehrten Klotz
• r=exp (s) ist gruppemäßig (das bedeutet Δ (r) =rr), wenn, und nur wenn s primitiv ist (bedeutet das Δ (s) =s1+1s).
• Die Gruppenmäßigelemente bilden eine Gruppe unter der Multiplikation.
• Die primitiven Elemente sind genau die formellen unendlichen Summen von Elementen der Lüge-Algebra, die durch X und Y. (der Lehrsatz von Friedrichs) erzeugt ist

Die Existenz der Formel von Baker-Campbell-Hausdorff kann jetzt wie folgt gesehen werden:

Die Elemente X und Y sind primitiv, so sind exp (X) und exp (Y) gruppemäßig, so ihr Produkt exp (X) ist exp (Y) auch gruppemäßig, so ist sein Logarithmus-Klotz (exp (X) exp (Y)) primitiv, und kann folglich als eine unendliche Summe von Elementen der Lüge-Algebra geschrieben werden, die durch X und Y erzeugt ist.

Die universale Einschlagen-Algebra der freien Lüge-Algebra, die durch X und Y erzeugt ist, ist zur Algebra aller nichtpendelnden Polynome in X und Y isomorph. Genau wie alle universalen Einschlagen-Algebra hat es eine natürliche Struktur einer Algebra von Hopf, mit einem coproduct Δ. Der Ring S verwendet ist oben gerade eine Vollziehung dieser Algebra von Hopf.

Eine ausführliche Formel von Baker-Campbell-Hausdorff

Lassen Sie spezifisch G eine einfach verbundene Lüge-Gruppe mit der Lüge-Algebra sein. Lassen Sie

:::

seien Sie die Exponentialkarte.

Die folgende allgemeine combinatoric Formel wurde von Eugene Dynkin (1947) eingeführt:

\sum_ {n> 0 }\\frac {(-1) ^ {n-1}} {n }\

\sum_ {\begin {smallmatrix} {r_i + s_i> 0} \\{1\le ich \le n} \end {smallmatrix} }\

\frac {(\sum_ {i=1} ^n (r_i+s_i)) ^ {-1}} {r_1! s_1! \cdots r_n! s_n! }\

[X^ {r_1} Y^ {s_1} X^ {r_2} Y^ {s_2} \ldots X^ {r_n} Y^ {s_n}],

</Mathematik>

der die Notation verwendet

Dieser Begriff ist Null wenn oder wenn und.

Die ersten paar Begriffe, sind mit dem ganzen höherwertigen Begriff-Beteiligen [X, Y] und Umschalter nestings davon (so in der Lüge-Algebra) wohl bekannt:

Z (X, Y) & {} = \log (\exp X\exp Y) \\

& {} = X + Y + \frac {1} {2} [X, Y] +

\frac {1} {12} [X, [X, Y]] - \frac {1} {12} [Y, [X, Y]] \\

& {}\\Viererkabel

- \frac {1} {24} [Y, [X, [X, Y]]] \\

& {}\\Viererkabel

- \frac {1} {720} (X, Y], Y], Y], Y] +Y, X], X], X], X])

\\

& {}\\Viererkabel + \frac {1} {360} (X, Y], Y], Y], X] +Y, X], X], X], Y]) \\

& {}\\Viererkabel

+ \frac {1} {120} (Y, X], Y], X], Y] +X, Y], X], Y], X])

+ \cdots

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Bemerken Sie den X-Y (anti-)/symmetry in Wechselordnungen der Vergrößerung, seitdem Z (Y, X) = &minus;Z (&minus;X, &minus;Y).

Ausgewählte lenksame Fälle

Es gibt keinen Ausdruck in der geschlossenen Form für eine willkürliche Lüge-Algebra, obwohl es außergewöhnliche lenksame Fälle, sowie effiziente Algorithmen gibt, um die Vergrößerung in Anwendungen auszuarbeiten.

Zum Beispiel, wenn [X, Y] verschwindet, dann nimmt die obengenannte Formel zu X + Y ab. Wenn der Umschalter [X, Y] ein Skalar ist (zentral, vgl die nilpotent Gruppe von Heisenberg), dann verschwinden alle außer den ersten drei Begriffen auf der rechten Seite des obengenannten. Das ist der degenerierte Fall verwertet alltäglich in der Quant-Mechanik, wie illustriert, unten.

Andere Formen der Formel von Campbell-Baker-Hausdorff, betonend

die Vergrößerung in Bezug auf das Element Y (und das Verwenden der geradlinigen Endomorphismus-Notation von Adjoint, adX Y  [X, Y]), könnte gut dienen:

:

wie von der integrierten Formel unten offensichtlich ist. (Die Koeffizienten der verschachtelten in Y geradlinigen Umschalter sind normalisierte Zahlen von Bernoulli, die unten entworfen sind.) So, wenn der Umschalter zufällig [X, Y] = sY für eine Nichtnull s ist, nimmt diese Formel zu gerade Z = X + sY / ab (1 &minus; exp (&minus;s)), der dann zu Litzen der Identität wie führt

:

Dort sind solche wohl bekannten Ausdrücke angewandt alltäglich in der Physik zahlreich. Eine populäre integrierte Formel ist

:

mit einem Erzeugen verbunden zu sein, fungiert für die Zahlen von Bernoulli,

:

{(1-x) ^n \over n (n+1)}, </Mathematik>

verwertet von Poincaré und Hausdorff. Rufen Sie zurück

:

für die Zahlen von Bernoulli, B = 1, B = 1/2, B = 1/6,

B =-1/30...

Matrixlüge-Gruppenillustration

Weil sich eine Matrixlüge gruppiert, ist die Lüge-Algebra der Tangente-Raum der Identität I, und der Umschalter ist einfach [X, Y] = XY &minus; YX; die Exponentialkarte ist die Standardexponentialkarte von matrices,

:

Wenn man für Z in löst

:

man erhält eine einfachere Formel:

:

\sum_ {n> 0 }\

\frac {(-1) ^ {n-1}} {n }\

\sum_ {\\beginnen {smallmatrix} r_i+s_i> 0 \,

\\1\le i\le n\end {smallmatrix} }\

\frac {X^ {r_1} Y^ {s_1 }\\cdots X^ {r_n} Y^ {s_n}} {r_1! s_1! \cdots r_n! s_n!}. </Mathematik>

Das erste, zweite, drittens, und die vierten Ordnungsbegriffe sind:

Die Zassenhaus Formel

Eine zusammenhängende combinatoric Vergrößerung, die in Doppelanwendungen nützlich ist, ist

e^ {\\frac {t^3} {6} (2 [Y, [X, Y]] + [X, [X, Y]])} ~

e^ {\\frac {-t^4} {24} ([X, Y], X], X] + 3 [X, Y], X], Y] + 3 [X, Y], Y], Y])} \cdots </Mathematik>

wo Hochzahlen der höheren Ordnung in t ebenfalls verschachtelte Umschalter sind.

Das Hadamard Lemma

Lassen Sie L der Raum des ganzen Komplexes n×n matrices sein, und adX der geradlinige Maschinenbediener sein zu lassen, der durch adX Y = [X definiert ist, Y] für einige hat Y &isin befestigt; L. Ein kombinatorisches Standardlemma, das im Produzieren der obengenannten ausführlichen Vergrößerungen verwertet wird, ist

Diese Formel kann durch die parametrische Induktion bewiesen werden: Einschätzung der Ableitung in Bezug auf s von f (s) ; rekursiver Entschluss von den Ausdehnungskoeffizienten von Taylor um s=0, in Bezug auf verschachtelte Umschalter; und Einschätzung an s =1, nämlich f (1).

Anwendung in der Quant-Mechanik

Eine degenerierte Form der Formel von Campbell-Baker-Hausdorff ist in der Quant-Mechanik nützlich, wo X und Y Raummaschinenbediener von Hilbert sind.

Ein typisches Beispiel ist die Vernichtung und Entwicklungsmaschinenbediener, â und â. Ihr Umschalter [â, â] ist zentral, der er ist, pendelt sowohl mit â als auch mit â. Wie angezeigt, oben bricht die Vergrößerung dann zur halbtrivialen degenerierten Form zusammen:

:

wo v eine bloße komplexe Zahl ist.

Dieses Beispiel illustriert die Entschlossenheit des Versetzungsmaschinenbedieners in exponentials von

der Vernichtungsmaschinenbediener, der Entwicklungsmaschinenbediener und die C-Zahlen. Diese degenerierte Formel von Campbell-Baker-Hausdorff zeigt das Produkt von zwei Versetzungsmaschinenbedienern als ein anderer Versetzungsmaschinenbediener (bis zu einem Phase-Faktor) mit der resultierenden der Summe der zwei Versetzungen gleichen Versetzung, da die Gruppe von Heisenberg, deren sie eine Darstellung zur Verfügung stellen, nilpotent ist:

:

Siehe auch

• Reihe von Dyson
• Lehrsatz von Stone-Von Neumann
• Logarithmus einer Matrix
• Matrix-Exponential-
• Goldene-Thompson Ungleichheit

Bibliografie

• L. Corwin & F.P Greenleaf, die Darstellung von nilpotent Liegt Gruppen und ihre Anwendungen, Teil 1: Grundlegende Theorie und Beispiele, Universität von Cambridge Presse, New York, 1990, internationale Standardbuchnummer 0 521 36034 X.
• Brian C. Hall, Lie Groups, Lügt Algebra und Darstellungen: Eine Elementare Einführung, Springer, 2003. Internationale Standardbuchnummer 0-387-40122-9
• W. Rossmann, Lie Groups: Eine Einführung durch Linear Groups. Presse der Universität Oxford, 2002.
• J.-P. Serre, Lügen Sie Algebra und Lügen Sie Gruppen, Benjamin, 1965.

Links

• C.K. Zachos, Krippe-Zeichen auf CBH Vergrößerungen
• Seite von MathWorld