In der Mathematik, spezifisch unterschiedlichen Rechnung, gibt der umgekehrte Funktionslehrsatz genügend Bedingungen für eine Funktion, invertible in einer Nachbarschaft eines Punkts in seinem Gebiet zu sein. Der Lehrsatz gibt auch eine Formel für die Ableitung der umgekehrten Funktion.

In der mehrvariablen Rechnung kann dieser Lehrsatz zu jeder Vektor-geschätzten Funktion verallgemeinert werden, deren Determinante von Jacobian Nichtnull an einem Punkt in seinem Gebiet ist. In diesem Fall gibt der Lehrsatz eine Formel für die Matrix von Jacobian des Gegenteils. Es gibt auch Versionen des umgekehrten Funktionslehrsatzes für den Komplex holomorphic Funktionen für Differentiable-Karten zwischen Sammelleitungen für Differentiable-Funktionen zwischen Banachräumen und so weiter.

Behauptung des Lehrsatzes

Für Funktionen einer einzelnen Variable stellt der Lehrsatz fest, dass, wenn ƒ unaufhörlich differentiable Funktion mit der Nichtnullableitung am Punkt a ist, dann ist ƒ invertible in einer Nachbarschaft von a, das Gegenteil unaufhörlich differentiable, und ist

:

wo b = ƒ (a).

Für Funktionen von mehr als einer Variable stellt der Lehrsatz dass fest, wenn die Gesamtableitung unaufhörlich differentiable Funktion F definiert von einem offenen Satz U R in R invertible an einem Punkt p ist (d. h. ist die Determinante von Jacobian von F an p Nichtnull), dann ist F eine Invertible-Funktion nahe p. D. h. eine umgekehrte Funktion zu F besteht in einer Nachbarschaft von F (p). Außerdem ist die umgekehrte Funktion auch unaufhörlich differentiable. Im unendlichen dimensionalen Fall ist es erforderlich, dass die Ableitung von Fréchet ein begrenztes Gegenteil an p hat.

Schließlich sagt der Lehrsatz das

:

wo Matrixgegenteil anzeigt und die Matrix von Jacobian der Funktion G an ist

der Punkt q.

Diese Formel kann auch aus der Kettenregel abgeleitet werden. Die Kettenregel stellt fest, dass für Funktionen G und H, die Gesamtableitungen an H (p) und p beziehungsweise, haben

:Wenn man

G F und H sein lässt, F sein, ist die Identitätsfunktion, deren Matrix von Jacobian auch ist

die Identität. In diesem speziellen Fall kann die Formel oben dafür gelöst werden.

Bemerken Sie, dass die Kettenregel die Existenz der Gesamtableitung der Innenfunktion H, während annimmt

der umgekehrte Funktionslehrsatz beweist, dass F eine Gesamtableitung an p hat.

Die Existenz einer umgekehrten Funktion zu F ist zum Ausspruch gleichwertig, dass das System von n Gleichungen y = F (x..., x) für x..., x in Bezug auf y..., y gelöst werden kann, wenn wir x und y zur kleinen genug Nachbarschaft von p und F (p) beziehungsweise einschränken.

Beispiel

Betrachten Sie die Vektor-geschätzte Funktion F von R bis durch als definierten R

:

\mathbf {F} (x, y) =

\begin {bmatrix }\

{E^x \cos y }\\\

{E^x \sin y }\\\

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Dann ist die Matrix von Jacobian

:

J_F (x, y) =

\begin {bmatrix }\

{E^x \cos y} & {-e^x \sin y }\\\

{E^x \sin y} & {E^x \cos y }\\\

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

und die Determinante ist

:

\det J_F (x, y) =

e^ {2x} \cos^2 y + e^ {2x} \sin^2 y=

e^ {2x}.

\\! </Mathematik>

Die Determinante e ist Nichtnull überall. Durch den Lehrsatz, für jeden Punkt p in R, dort besteht eine Nachbarschaft über p, über den F invertible ist. Bemerken Sie, dass das verschieden ist, als Ausspruch F invertible über sein komplettes Image ist. In diesem Beispiel ist F nicht invertible, weil es nicht injective ist (weil.)

Zeichen auf Methoden des Beweises

Als ein wichtiges Ergebnis ist der umgekehrte Funktionslehrsatz zahlreiche Beweise gegeben worden. Der in Lehrbüchern meistens gesehene Beweis verlässt sich auf den Zusammenziehungsgrundsatz des kartografisch darstellenden, auch bekannt als Banach befestigter Punkt-Lehrsatz. (Dieser Lehrsatz kann auch als der Schlüsselschritt im Beweis der Existenz und der Einzigartigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen verwendet werden.)

Da dieser Lehrsatz im unendlich-dimensionalen (Banachraum) Einstellungen anwendet, ist es das Werkzeug, das im Beweis der unendlich-dimensionalen Version des umgekehrten Funktionslehrsatzes verwendet ist (sieh "Generalisationen", unten).

Ein abwechselnder Beweis (der nur in begrenzten Dimensionen arbeitet) verwendet stattdessen als das Schlüsselwerkzeug den äußersten Wertlehrsatz für Funktionen auf einem Kompaktsatz.

Und doch verwendet ein anderer Beweis die Methode von Newton, die im Vorteil ist, eine wirksame Version des Lehrsatzes zur Verfügung zu stellen. D. h. in Anbetracht spezifischer Grenzen auf der Ableitung der Funktion kann eine Schätzung der Größe der Nachbarschaft, auf der die Funktion invertible ist, erhalten werden.

Generalisationen

Sammelleitungen

Der umgekehrte Funktionslehrsatz kann zu Differentiable-Karten zwischen Differentiable-Sammelleitungen verallgemeinert werden. In diesem Zusammenhang stellt der Lehrsatz dass für eine differentiable Karte F fest: M  N, wenn die Ableitung von F,

: (dF): TM &rarr; TN

ist ein geradliniger Isomorphismus an einem Punkt p in der M dann dort besteht eine offene Nachbarschaft U von solchem p dass

:F: U &rarr; F (U)

ist ein diffeomorphism. Bemerken Sie, dass das andeutet, dass M und N dieselbe Dimension an p haben müssen.

Wenn die Ableitung von F ein Isomorphismus an allen Punkten p in der M dann ist, ist die Karte F ein lokaler diffeomorphism.

Banachräume

Der umgekehrte Funktionslehrsatz kann auch zu Differentiable-Karten zwischen Banachräumen verallgemeinert werden. Lassen Sie X und Y Banachräume und U eine offene Nachbarschaft des Ursprungs in X sein. Lässt F: U  Y, unaufhörlich differentiable sein und dass die Ableitung (dF) anzunehmen: X  Y F an 0 sind ein begrenzter geradliniger Isomorphismus X auf Y. Dann dort besteht eine offene Nachbarschaft V von F (0) in Y und unaufhörlich differentiable Karte G: V  X solch dass F (G (y)) = y für den ganzen y in V. Außerdem G ist (y) die einzige genug kleine Lösung x der Gleichung F (x) = y.

Sammelleitungen von Banach

Diese zwei Richtungen der Generalisation können im umgekehrten Funktionslehrsatz für Sammelleitungen von Banach verbunden werden.

Unveränderlicher Reihe-Lehrsatz

Der umgekehrte Funktionslehrsatz (und der implizite Funktionslehrsatz) können als ein spezieller Fall des unveränderlichen Reihe-Lehrsatzes gesehen werden, der feststellt, dass eine glatte Karte mit der lokal unveränderlichen Reihe in der Nähe von einem Punkt in einer besonderen normalen Form in der Nähe von diesem Punkt gestellt werden kann. Wenn die Ableitung von F invertible an einem Punkt p ist, ist es auch invertible in einer Nachbarschaft von p, und folglich ist die Reihe der Ableitung unveränderlich, so gilt der unveränderliche Reihe-Lehrsatz.

Siehe auch

• Impliziter Funktionslehrsatz

Referenzen