Feldtheorie ist der Zweig der Mathematik, in der Felder studiert werden. Das ist ein Wörterverzeichnis von einigen Begriffen des Themas. (Sieh Feldtheorie (Physik) für die Feldtheorien ohne Beziehung in der Physik.)

Definition eines Feldes

Ein Feld ist ein Ersatzring (F, +, *), in dem 01 und jedes Nichtnullelement ein multiplicative Gegenteil hat. In einem Feld können wir so die Operationshinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung durchführen.

Die Nichtnullelemente Feldes F bilden eine abelian Gruppe unter der Multiplikation; diese Gruppe wird normalerweise durch F angezeigt;

Der Ring von Polynomen in der Variable x mit Koeffizienten in F wird durch F [x] angezeigt.

Grundlegende Definitionen

Eigenschaft: Die Eigenschaft Feldes F ist die kleinste positive ganze Zahl n solch dass n · 1 = 0; hier n · 1 tritt für n summands 1 + 1 + 1 +... + 1 ein. Wenn kein solcher n besteht, sagen wir, dass die Eigenschaft Null ist. Jede Nichtnulleigenschaft ist eine Primzahl. Zum Beispiel haben die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die p-adic Zahlen Eigenschaft 0, während das begrenzte Feld Z Eigenschaft p hat.

Teilfeld: Ein Teilfeld Feldes F ist eine Teilmenge von F, der unter der Feldoperation + und * F und der, mit diesen Operationen, Formen sich ein Feld geschlossen wird.

Hauptfeld: Das Hauptfeld Feldes F ist das einzigartige kleinste Teilfeld von F.

Erweiterungsfeld: Wenn F ein Teilfeld von E dann E ist, ist ein Erweiterungsfeld von F. Wir sagen dann auch, dass E/F eine Felderweiterung ist.

Grad einer Erweiterung: In Anbetracht einer Erweiterung E/F kann Feld E als ein Vektorraum über Feld F betrachtet werden, und die Dimension dieses Vektorraums ist der Grad der Erweiterung, die durch [E angezeigt ist: F].

Begrenzte Erweiterung: Eine begrenzte Erweiterung ist eine Felderweiterung, deren Grad begrenzt ist.

Algebraische Erweiterung: Wenn ein Element α einer Erweiterung Feld E über F ist die Wurzel eines Nichtnullpolynoms in F [x], dann ist α über F algebraisch. Wenn jedes Element von E über F algebraisch ist, dann ist E/F eine algebraische Erweiterung.

Das Erzeugen des Satzes: In Anbetracht einer Felderweiterung E/F und eine Teilmenge S E schreiben wir F (S) für das kleinste Teilfeld von E, der sowohl F als auch S enthält. Es besteht aus allen Elementen von E, der durch das wiederholte Verwenden der Operationen +, - *, / auf den Elementen von F und S erhalten werden kann. Wenn E = F (S) wir sagen, dass E durch S über F erzeugt wird.

Primitives Element: Ein Element α einer Erweiterung Feld E über Feld F wird ein primitives Element wenn E=F (α), das kleinste Erweiterungsfeld genannt, das α enthält. Solch eine Erweiterung wird eine einfache Erweiterung genannt.

Das Aufspalten des Feldes: Eine Felderweiterung durch den ganzen factorisation eines Polynoms erzeugt.

Normale Erweiterung: Eine Felderweiterung durch den ganzen factorisation von einer Reihe von Polynomen erzeugt.

Trennbare Erweiterung: Eine Erweiterung durch Wurzeln von trennbaren Polynomen erzeugt.

Vollkommenes Feld: Ein solches Feld, dass jede begrenzte Erweiterung trennbar ist. Alle Felder der charakteristischen Null und alle begrenzten Felder, sind vollkommen.

Unvollständiger Grad: Lassen Sie F ein Feld der Eigenschaft p> 0 sein; dann ist F ein Teilfeld. Der Grad [F:F] wird den unvollständigen Grad von F genannt. Feld F ist vollkommen, wenn, und nur wenn sein unvollständiger Grad 1 ist. Zum Beispiel, wenn F ein Funktionsfeld von n Variablen über ein begrenztes Feld der Eigenschaft p> 0 ist, dann ist sein unvollständiger Grad p.

Algebraisch geschlossenes Feld: Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn jedes Polynom in F [x] eine Wurzel in F hat; gleichwertig: Jedes Polynom in F [x] ist ein Produkt von geradlinigen Faktoren.

Algebraischer Verschluss: Ein algebraischer Verschluss Feldes F ist eine algebraische Erweiterung von F, der algebraisch geschlossen wird. Jedes Feld hat einen algebraischen Verschluss, und es ist bis zu einem Isomorphismus einzigartig, der F befestigt.

Transzendental: Jene Elemente eines Erweiterungsfeldes von F, die über F nicht algebraisch sind, sind über F transzendental.

Algebraisch unabhängige Elemente: Elemente eines Erweiterungsfeldes von F sind über F algebraisch unabhängig, wenn sie keine polynomische Nichtnullgleichung mit Koeffizienten in F befriedigen.

Überlegenheitsgrad: Die Zahl algebraisch unabhängiger transzendentaler Elemente in einer Felderweiterung. Es wird verwendet, um die Dimension einer algebraischen Vielfalt zu definieren.

Homomorphismus

Feldhomomorphismus: Ein Feldhomomorphismus zwischen zwei Feldern E und F ist eine Funktion

:: f: E → F

:such das

:: f (x + y) = f (x) + f (y)

:and

:: f (xy) = f (x) f (y)

:for der ganze x, y in E, sowie f (1) = 1. Diese Eigenschaften deuten dass f (0) = 0, f (x) = f (x) für x in E mit x &ne an; 0, und dass f injective ist. Felder, zusammen mit diesem Homomorphismus, bilden eine Kategorie. Zwei Felder E und F werden isomorph genannt, wenn dort ein bijektiver Homomorphismus besteht

:: f: E → F.

:The zwei Felder sind dann zu allen praktischen Zwecken identisch; jedoch, nicht notwendigerweise auf eine einzigartige Weise., Sieh zum Beispiel, komplizierte Konjugation.

Typen von Feldern

Begrenztes Feld: Ein Feld mit begrenzt vielen Elementen.

Bestelltes Feld: Ein Feld mit einem mit seinen Operationen vereinbaren Gesamtbezug.

Rationale Zahlen

Reelle Zahlen

Komplexe Zahlen

Numerisches Feld: Begrenzte Erweiterung des Feldes von rationalen Zahlen.

Algebraische Zahlen: Das Feld von algebraischen Zahlen ist die kleinste algebraisch geschlossene Erweiterung des Feldes von rationalen Zahlen. Ihre ausführlichen Eigenschaften werden in der Theorie der algebraischen Zahl studiert.

Quadratisches Feld: Ein Grad zwei Erweiterung der rationalen Zahlen.

Feld von Cyclotomic: Eine Erweiterung der rationalen Zahlen durch eine Wurzel der Einheit erzeugt.

Völlig echtes Feld: Ein durch eine Wurzel eines Polynoms erzeugtes numerisches Feld, alle seine reellen Wurzelzahlen habend.

Formell echtes Feld

Echtes geschlossenes Feld

Globales Feld: Ein numerisches Feld oder ein Funktionsfeld einer Variable über ein begrenztes Feld.

Lokales Feld: Eine Vollziehung von einem globalen Feld (w.r.t. eine Blüte des Rings der ganzen Zahl).

Ganzes Feld: Ein Feld vollendet w.r.t. zu einer Schätzung.

Algebraisch geschlossenes Pseudofeld: Ein Feld, in dem jede Vielfalt einen vernünftigen Punkt hat.

Feld von Henselian: Eine Feldzufriedenheit Lemma von Hensel w.r.t. eine Schätzung. Eine Generalisation von ganzen Feldern.

Theorie von Galois

Erweiterung von Galois: Eine normale, trennbare Felderweiterung.

Gruppe von Galois: Die automorphism Gruppe einer Erweiterung von Galois. Wenn es eine begrenzte Erweiterung ist, ist das eine begrenzte Gruppe der dem Grad der Erweiterung gleichen Ordnung. Gruppen von Galois für unendliche Erweiterungen sind pro-begrenzte Gruppen.

Theorie von Kummer: Die Galois Theorie, die n-ten Wurzeln in Anbetracht genug Wurzeln der Einheit zu nehmen. Es schließt die allgemeine Theorie von quadratischen Erweiterungen ein.

Artin-Schreier Theorie: Bedeckt einen Ausnahmefall der Theorie von Kummer in der Eigenschaft p.

Normale Basis: Eine Basis im Vektorraum-Sinn von L über K, auf dem die Gruppe von Galois von L über K transitiv handelt.

Tensor-Produkt von Feldern: Ein verschiedenes foundational Stück der Algebra, einschließlich der compositum Operation (schließen sich Felder an).

Erweiterungen der Theorie von Galois

Umgekehrtes Problem der Theorie von Galois: In Anbetracht einer Gruppe G, finden Sie eine Erweiterung der rationalen Zahl oder des anderen Feldes mit G als Gruppe von Galois.

Galois Differenzialtheorie: Das Thema, in dem Symmetrie-Gruppen von Differenzialgleichungen entlang den in der Theorie von Galois traditionellen Linien studiert werden. Das ist wirklich eine alte Idee, und eine der Motivationen, wenn Sophus Liegen, hat die Theorie von Lüge-Gruppen gegründet. Es hat wahrscheinlich endgültige Form nicht erreicht.

Die Galois Theorie von Grothendieck: Eine sehr abstrakte Annäherung von der algebraischen Geometrie, eingeführt, um die Entsprechung der grundsätzlichen Gruppe zu studieren.