In der mathematischen Analyse ist eine differentiability Klasse eine Klassifikation von Funktionen gemäß den Eigenschaften ihrer Ableitungen. Höhere Ordnung differentiability Klassen entspricht der Existenz von mehr Ableitungen. Funktionen, die Ableitungen aller Ordnungen haben, werden glatt genannt.

Der grösste Teil dieses Artikels ist über reellwertige Funktionen einer echter Variable. Eine Diskussion des mehrvariablen Falls wird zum Ende präsentiert.

Klassen von Differentiability

Betrachten Sie einen offenen Satz auf der echten Linie und einer Funktion f als definiert auf diesem Satz mit echten Werten. Lassen Sie k eine natürliche Zahl sein. Wie man sagt, ist die Funktion f der Klasse C wenn die Ableitungen f, f

Um es verschieden zu stellen, besteht die Klasse C aus allen dauernden Funktionen. Die Klasse C besteht aus allen Differentiable-Funktionen, deren Ableitung dauernd ist; solche Funktionen werden unaufhörlich differentiable genannt. So ist eine C-Funktion genau eine Funktion, deren Ableitung besteht und der Klasse C ist. Im Allgemeinen können die Klassen C rekursiv definiert werden, indem sie C erklärt wird, der Satz aller dauernden Funktionen zu sein, und C für jede positive ganze Zahl k erklärt wird, der Satz aller Differentiable-Funktionen zu sein, deren Ableitung in C ist. Insbesondere C wird in C für jeden k enthalten, und es gibt Beispiele, um zu zeigen, dass diese Eindämmung streng ist. C ist die Kreuzung der Sätze C, weil sich k über die natürlichen Zahlen ändert. C wird in C ausschließlich enthalten; für ein Beispiel davon, sieh Beule fungieren oder auch unten.

Beispiele

Die Funktion

:

ist

aber nicht differentiable daran dauernd, so ist es von der Klasse C, aber nicht von der Klasse C.

Die Funktion

:

ist differentiable, mit der Ableitung

:

Weil, weil (1/x) schwingt, weil sich x Null nähert, f' (x) ist an der Null nicht dauernd. Deshalb ist diese Funktion differentiable, aber nicht der Klasse C. Außerdem, wenn man f (x) = x Sünde (1/x) (x  0) in diesem Beispiel nimmt, kann es verwendet werden, um zu zeigen, dass die abgeleitete Funktion einer Differentiable-Funktion auf einem Kompaktsatz und deshalb unbegrenzt sein kann, dass eine Differentiable-Funktion auf einem Kompaktsatz lokal dauernder Lipschitz nicht sein kann.

Die Funktionen

:

wo k sogar ist, sind dauernde und k Zeiten differentiable am ganzen x. Aber an sind ihnen nicht (k+1) Zeiten differentiable, so sind sie der Klasse C, aber nicht der Klasse C wo j> k.

Die Exponentialfunktion, ist so von der Klasse C analytisch. Die trigonometrischen Funktionen sind auch analytisch, wo auch immer sie definiert werden.

Die Funktion:ist

so von der Klasse C glatt, aber es ist daran nicht analytisch, so ist es nicht von der Klasse C. Die Funktion f ist ein Beispiel einer glatten Funktion mit

Kompaktunterstützung.

Klassen von Multivariate differentiability

Lassen Sie n und M einige positive ganze Zahlen sein. Wenn f eine Funktion von einer offenen Teilmenge von R mit Werten in R ist, dann hat f Teilfunktionen f..., f. Jeder von diesen kann oder kann partielle Ableitungen nicht haben. Wir sagen, dass f der Klasse C ist, wenn alle partiellen Ableitungen bestehen und dauernd sind, wo jeder dessen eine ganze Zahl zwischen 1 und n ist, ist jeder dessen eine ganze Zahl zwischen 0 und k. Die Klassen C und C werden wie zuvor definiert.

Diese Kriterien von differentiability können auf die Übergang-Funktionen einer Differenzialstruktur angewandt werden. Der resultierende Raum wird eine C-Sammelleitung genannt.

Wenn man mit einer koordinatenunabhängigen Definition der Klasse C anfangen möchte, kann man anfangen, indem man Karten zwischen Banachräumen denkt. Eine Karte von einem Banachraum bis einen anderen ist differentiable an einem Punkt, wenn es eine Affine-Karte gibt, die ihm an diesem Punkt näher kommt. Die Ableitung der Karte teilt dem Punkt x den geradlinigen Teil der affine Annäherung an die Karte an x zu. Da der Raum von geradlinigen Karten von einem Banachraum bis einen anderen wieder ein Banachraum ist, können wir dieses Verfahren fortsetzen, um höhere Ordnungsableitungen zu definieren. Eine Karte f ist der Klasse C, wenn es dauernde Ableitungen bis zum Auftrag k wie zuvor hat.

Bemerken Sie, dass R ein Banachraum für jeden Wert von n ist, so ist die koordinatenfreie Annäherung in diesem Beispiel anwendbar. Es kann gezeigt werden, dass die Definition in Bezug auf partielle Ableitungen und die koordinatenfreie Annäherung gleichwertig ist; d. h. eine Funktion f ist der Klasse C durch eine Definition iff es ist so durch die andere Definition.

Der Raum von C-Funktionen

Lassen Sie D eine offene Teilmenge der echten Linie sein. Der Satz aller C-Funktionen, die auf und Einnahme echter Werte definiert sind, ist ein Raum von Fréchet mit der zählbaren Familie von Halbnormen

:

wo sich K über eine zunehmende Folge von Kompaktsätzen ändert, deren Vereinigung D und M = 0, 1, …, k ist.

Der Satz von C-Funktionen bildet auch einen Raum von Fréchet. Man verwendet dieselben Halbnormen wie oben, außer dass erlaubt wird, sich über alle Werte der natürlichen Zahl zu erstrecken.

Die obengenannten Räume kommen natürlich in Anwendungen vor, wo Funktionen, die Ableitungen von bestimmten Ordnungen haben, notwendig sind; jedoch, besonders in der Studie von teilweisen Differenzialgleichungen, kann es manchmal fruchtbarer sein, um stattdessen mit den Räumen von Sobolev zu arbeiten.

Parametrische Kontinuität

Parametrische Kontinuität ist ein Konzept, das auf parametrische Kurven angewandt ist, die die Glätte des Werts des Parameters mit der Entfernung entlang der Kurve beschreiben.

Definition

Wie man

sagen kann, hat eine Kurve C Kontinuität wenn

:ist

vom Wert überall in der Kurve dauernd.

Weil ein Beispiel einer praktischen Anwendung dieses Konzepts, eine Kurve, die die Bewegung eines Gegenstands mit einem Parameter der Zeit beschreibt, C Kontinuität für den Gegenstand haben muss, begrenzte Beschleunigung zu haben. Für die glattere Bewegung, wie die eines Pfads einer Kamera, während man einen Film macht, sind höhere Niveaus der parametrischen Kontinuität erforderlich.

Ordnung der Kontinuität

Die verschiedene Ordnung der parametrischen Kontinuität kann wie folgt beschrieben werden:

• C: Kurven schließen Diskontinuitäten ein
• C: Kurven werden angeschlossen
• C: die ersten Ableitungen sind dauernder
• C: die ersten und zweiten Ableitungen sind dauernder
• C: zuerst durch n Ableitungen sind dauernder

Parametrische Kontinuität des Begriffes wurde eingeführt, um es von der geometrischen Kontinuität (G) zu unterscheiden, der Beschränkungen der Geschwindigkeit entfernt, mit der der Parameter die Kurve verfolgt.

Geometrische Kontinuität

Das Konzept der geometrischen oder geometrischen Kontinuität wurde in erster Linie auf die konischen Abteilungen angewandt und hat Gestalten durch Mathematiker wie Leibniz, Kepler und Poncelet verbunden. Das Konzept war ein früher Versuch des Beschreibens, durch die Geometrie aber nicht Algebra, das Konzept der Kontinuität, wie ausgedrückt, durch eine parametrische Funktion.

Die Grundidee hinter der geometrischen Kontinuität bestand darin, dass die fünf konischen Abteilungen wirklich fünf verschiedene Versionen derselben Gestalt waren. Eine Ellipse neigt zu einem Kreis, weil sich die Seltsamkeit Null, oder zu einer Parabel nähert, wie es sich demjenigen nähert; und eine Hyperbel neigt zu einer Parabel, als die Seltsamkeit zu einer fällt; es kann auch zu sich schneidenden Linien neigen. So gab es Kontinuität zwischen den konischen Abteilungen. Diese Ideen haben zu anderen Konzepten der Kontinuität geführt. Zum Beispiel, wenn ein Kreis und eine Gerade zwei Ausdrücke derselben Gestalt waren, vielleicht konnte von einer Linie als ein Kreis des unendlichen Radius gedacht werden. Für solchen, um der Fall zu sein, würde man die Linie geschlossen machen müssen, indem man dem Punkt x =  erlaubt, ein Punkt auf dem Kreis, und für x = +  und x =  zu sein, um identisch zu sein. Solche Ideen waren im Fertigen des modernen, algebraisch definiert, Idee von der Kontinuität einer Funktion und  nützlich.

Glätte von Kurven und Oberflächen

Eine Kurve oder Oberfläche können als habend G Kontinuität, n beschrieben werden das zunehmende Maß der Glätte zu sein. Betrachten Sie die Segmente als jede Seite eines Punkts auf einer Kurve:

• G: Die Kurven legen im Verbindungslinie-Punkt an.
• G: Die Kurven teilen auch eine allgemeine Tangente-Richtung am Verbindungslinie-Punkt.
• G: Die Kurven teilen auch ein allgemeines Zentrum der Krümmung am Verbindungslinie-Punkt.

Im Allgemeinen, G Kontinuität besteht, wenn die Kurven wiederparametrisiert werden können, um C (parametrische) Kontinuität zu haben. Ein reparametrization der Kurve ist zum Original geometrisch identisch; nur der Parameter wird betroffen.

Gleichwertig haben zwei Vektor-Funktionen und G Kontinuität, wenn und, für einen Skalar (d. h., wenn die Richtung, aber nicht notwendigerweise der Umfang, der zwei Vektoren gleich ist).

Während es offensichtlich sein kann, dass eine Kurve verlangen würde, dass G Kontinuität glatt, für die gute Ästhetik, wie diejenigen scheint, die nach in der Architektur und dem Sportwagen-Design gestrebt sind, sind höhere Niveaus der geometrischen Kontinuität erforderlich. Zum Beispiel wird das Nachdenken in einem Autokörper glatt nicht scheinen, wenn der Körper G Kontinuität nicht hat.

Ein rund gemachtes Rechteck (mit neunzig Grad-Rundschreiben-Kreisbogen an den vier Ecken) hat G Kontinuität, aber hat G Kontinuität nicht. Dasselbe ist für einen rund gemachten Würfel, mit Oktanten eines Bereichs an seinen Ecken und Viertel-Zylindern entlang seinen Rändern wahr. Wenn eine Editable-Kurve mit der G Kontinuität erforderlich ist, dann werden Kubikfugenbretter normalerweise gewählt; diese Kurven werden oft im Industriedesign verwendet.

Glätte

Beziehung zu analyticity

Während alle analytischen Funktionen auf dem Satz glatt sind, auf dem sie analytisch sind, zeigt das obengenannte Beispiel, dass das gegenteilige für Funktionen auf dem reals nicht wahr ist: Dort bestehen Sie glatte echte Funktionen, die nicht analytisch sind. Zum Beispiel ist die Funktion von Fabius glatt, aber an jedem Punkt nicht analytisch. Obwohl es scheinen könnte, dass solche Funktionen die Ausnahme aber nicht die Regel sind, stellt es sich heraus, dass die analytischen Funktionen sehr dünn unter den glatten gestreut werden; strenger bilden die analytischen Funktionen eine magere Teilmenge der glatten Funktionen. Außerdem, für jede offene Teilmenge der echten Linie, dort bestehen Sie glatte Funktionen, die auf A und nirgends sonst analytisch sind.

Es ist nützlich, die Situation mit dieser der Allgegenwart von transzendenten Zahlen auf der echten Linie zu vergleichen. Sowohl auf der echten Linie als auch auf dem Satz von glatten Funktionen die Beispiele präsentieren wir am ersten Gedanken (algebraische / rationale Zahlen, und analytische Funktionen) sind viel besser erzogen als die Mehrheit von Fällen: Die transzendenten Zahlen und nirgends haben analytische Funktionen volles Maß (ihre Ergänzungen sind mager).

Die so beschriebene Situation ist in der gekennzeichneten Unähnlichkeit zum Komplex differentiable Funktionen. Wenn eine komplizierte Funktion differentiable gerade einmal auf einem offenen Satz ist, ist es sowohl ungeheuer differentiable als auch analytisch auf diesem Satz.

Glatte Teilungen der Einheit

Glatte Funktionen mit der gegebenen geschlossenen Unterstützung werden im Aufbau von glatten Teilungen der Einheit verwendet (sieh Teilung der Einheit und des Topologie-Wörterverzeichnisses); diese sind in der Studie von glatten Sammelleitungen notwendig, um zum Beispiel zu zeigen, dass Metrik von Riemannian allgemein Start-von ihrer lokalen Existenz definiert werden kann. Ein einfacher Fall ist der einer Beule-Funktion auf der echten Linie, d. h. eine glatte Funktion f, der den Wert 0 Außenseite ein Zwischenraum [a, b] und solch dass nimmt

:

In Anbetracht mehrerer überlappender Zwischenräume auf der Linie können Beule-Funktionen auf jedem von ihnen, und auf halbunendlichen Zwischenräumen (-, c] und [d, + ) gebaut werden, um die ganze Linie, solch zu bedecken, dass die Summe der Funktionen immer 1 ist.

Nach dem, was gerade gesagt worden ist, gelten Teilungen der Einheit für Holomorphic-Funktionen nicht; ihr verschiedenes Verhalten hinsichtlich der Existenz und analytischen Verlängerung ist eine der Wurzeln der Bündel-Theorie. Im Gegensatz neigen Bündel von glatten Funktionen dazu, viel topologische Information nicht zu tragen.

Glatte Funktionen zwischen Sammelleitungen

Glatte Karten zwischen glatten Sammelleitungen können mittels Karten definiert werden, da die Idee von der Glätte der Funktion der besonderen verwendeten Karte unabhängig ist. Wenn F eine Karte von einer M mannigfaltige M zu einer N-Sammelleitung N ist, dann ist F wenn, für jeden glatt, es gibt eine Karte in der M, die p und eine Karte in N enthält, der F (p) mit, solch enthält, der von zu als eine Funktion von dazu glatt ist.

Solch eine Karte ließ eine erste Ableitung auf Tangente-Vektoren definieren; es gibt auf dem Niveau von Tangente-Bündeln mit der Faser klug geradlinig kartografisch darzustellen.

Glatte Funktionen zwischen Teilmengen von Sammelleitungen

Es gibt einen entsprechenden Begriff der glatten Karte für willkürliche Teilmengen von Sammelleitungen. Wenn eine Funktion ist, deren Gebiet und Reihe Teilmengen von Sammelleitungen und beziehungsweise sind. wird gesagt, wenn für alle glatt zu sein, was es einen offenen Satz mit und eine glatte Funktion solch das für alle gibt.

Siehe auch

• Nichtanalytische glatte Funktion
• Quasianalytische Funktion
• Guillemin, Pollack. Differenzialtopologie. Prentice-Saal (1974).