In der Mathematik ist eine Würfel-Wurzel einer Zahl, angezeigt oder x, eine solche Zahl a dass = x. Alle reellen Zahlen (außer der Null) haben genau eine echte Würfel-Wurzel und ein Paar von komplizierten verbundenen Wurzeln, und alle komplexen Nichtnullzahlen haben drei verschiedene komplizierte Würfel-Wurzeln. Zum Beispiel ist die echte Würfel-Wurzel 8 2, weil 2 = 8. Alle Würfel-Wurzeln von 27i sind

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Die Würfel-Wurzeloperation ist nicht assoziativ oder mit der Hinzufügung oder Subtraktion verteilend.

Die Würfel-Wurzeloperation ist mit exponentiation assoziativ und mit der Multiplikation und Abteilung verteilend, wenn sie nur reelle Zahlen, aber nicht immer denkt, wenn sie komplexe Zahlen zum Beispiel denkt:

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aber

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Formelle Definition

Die Würfel-Wurzeln einer Nummer x sind die Zahlen y, die die Gleichung befriedigen

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Reelle Zahlen

Wenn x und y echt sind, dann gibt es eine einzigartige Lösung, und so wird die Würfel-Wurzel einer reellen Zahl manchmal durch diese Gleichung definiert. Wenn diese Definition verwendet wird, ist die Würfel-Wurzel einer negativen Zahl eine negative Zahl.

Wenn x und y erlaubt wird, kompliziert zu sein, dann gibt es drei Lösungen (wenn x Nichtnull ist), und so hat x drei Würfel-Wurzeln. Eine reelle Zahl hat eine echte Würfel-Wurzel und zwei weitere Würfel-Wurzeln, die sich formen, ein Komplex konjugieren Paar. Das kann zu einigen interessanten Ergebnissen führen.

Zum Beispiel sind die Würfel-Wurzeln der Nummer ein:

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Letzte zwei dieser Wurzeln führen zu einer Beziehung zwischen allen Wurzeln jeder reellen Zahl oder komplexer Zahl. Wenn eine Zahl eine Würfel-Wurzel einer reeller Zahl oder komplexer Zahl ist, können die anderen zwei Würfel-Wurzeln durch das Multiplizieren dieser Zahl von einer oder den anderen der zwei komplizierten Würfel-Wurzeln von einer gefunden werden.

Komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen wird die Hauptwürfel-Wurzel gewöhnlich durch definiert

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wo ln (x) der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus ist. Wenn wir x als schreiben

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wo r eine nichtnegative reelle Zahl ist und θ in der Reihe liegt

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dann ist die komplizierte Hauptwürfel-Wurzel

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Das bedeutet, dass in Polarkoordinaten wir die Würfel-Wurzel des Radius nehmen und den polaren Winkel durch drei teilen, um eine Würfel-Wurzel zu definieren. Mit dieser Definition ist die Hauptwürfel-Wurzel einer negativen Zahl eine komplexe Zahl, und wird nicht zum Beispiel sein, aber eher

Diese Beschränkung kann leicht vermieden werden, wenn wir die ursprüngliche komplexe Zahl x in drei gleichwertigen Formen, nämlich schreiben

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Die komplizierten Hauptwürfel-Wurzeln dieser drei Formen sind dann beziehungsweise

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Im Allgemeinen sind diese drei komplexen Zahlen verschieden, wenn auch die drei Darstellungen von x dasselbe waren. Zum Beispiel, -8 kann dann berechnet werden, um-2, 1 + i3, oder 1 - i3 zu sein.

In Programmen, die des imaginären Flugzeugs bewusst sind, wird der Graph der Würfel-Wurzel von x auf dem echten Flugzeug keine Produktion für negative Werte von x zeigen. Um auch negative Wurzeln einzuschließen, müssen diese Programme ausführlich beauftragt werden, nur reelle Zahlen zu verwenden.

Würfel-Wurzel auf der Standardrechenmaschine

Von der Identität

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es gibt eine einfache Methode, Würfel-Wurzeln mit einer unwissenschaftlichen Rechenmaschine, mit nur die Multiplikation und Quadratwurzel-Knöpfe zu schätzen, nachdem die Zahl auf der Anzeige ist. Kein Gedächtnis ist erforderlich.

• Drücken Sie den Quadratwurzel-Knopf einmal. (Bemerken Sie, dass der letzte Schritt auf diesen fremden Anfang aufpassen wird.)
• Drücken Sie den Multiplikationsknopf.
• Drücken Sie den Quadratwurzel-Knopf zweimal.

Drücken Sie den Multiplikationsknopf.

• Drücken Sie den Quadratwurzel-Knopf viermal.

Drücken Sie den Multiplikationsknopf.

• Drücken Sie den Quadratwurzel-Knopf achtmal.
• Drücken Sie den Multiplikationsknopf...

Dieser Prozess geht weiter, bis sich die Zahl nach dem Drücken des Multiplikationsknopfs nicht ändert, weil die wiederholte Quadratwurzel 1 gibt (das bedeutet, dass die Lösung zu so vielen positiven Ziffern bemalt worden ist, wie die Rechenmaschine behandeln kann). Dann:

• Drücken Sie den Quadratwurzel-Knopf ein letztes Mal.

An diesem Punkt wird eine Annäherung der Würfel-Wurzel der ursprünglichen Zahl in der Anzeige gezeigt.

Wenn die erste Multiplikation von der Abteilung statt der Würfel-Wurzel ersetzt wird, wird die fünfte Wurzel auf der Anzeige gezeigt.

Warum diese Methode arbeitet

Nach der Aufhebung x zur Macht in beiden Seiten der obengenannten Identität herrscht man vor:

: (*)

Die linke Seite ist die Würfel-Wurzel von x.

Die in der Methode gezeigten Schritte geben:

Nach dem 2. Schritt:

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Nach dem 4. Schritt:

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Nach dem 6. Schritt:

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Nach dem 8. Schritt:

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usw.

Nach der Computerwissenschaft der notwendigen Begriffe gemäß der Rechenmaschine-Präzision findet die letzte Quadratwurzel die rechte Hand (*).

Alternative Methode

Die obengenannte Methode verlangt, dass die Rechenmaschine einen Quadratwurzel-Knopf hat. Wenn sie eine einfache Methode hat, die Quadratwurzel zu berechnen, läuft die folgende Funktion schnell zum Ergebnis zusammen:

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Wohin mit jeder Wiederholung das Ergebnis näher an der Würfel-Wurzel von a kommt.

Die Methode verlangt weniger Wiederholungen als die Methode von Halley, aber braucht mehr Berechnungen, die in der Bestimmung der Quadratwurzeln verborgen sind. Wegen des schnellen Zusammenlaufens genügt eine anfängliche Annäherung 1.

Numerische Methoden

Die Methode des Newtons ist eine Wiederholende Methode, die verwendet werden kann, um die Würfel-Wurzel zu berechnen.

Weil echte Schwimmpunkt-Zahlen diese Methode zum folgenden wiederholenden Algorithmus zu abnehmen

erzeugen Sie nacheinander bessere Annäherungen der Würfel-Wurzel:

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Die Methode beträgt einfach drei Faktoren gewählt solch das bei jeder Wiederholung im Durchschnitt.

Die Methode von Halley übertrifft das mit einem Algorithmus, der mehr zusammenläuft

schnell mit jedem Schritt, obgleich, mehr Multiplikationsoperationen verbrauchend:

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Mit jeder Methode kann eine schlechte anfängliche Annäherung dessen geben

sehr schlechte Algorithmus-Leistung, und eine gute Initiale präsentierend

Annäherung ist etwas einer Zauberei. Einige Durchführungen manipulieren

die Hochzahl-Bit der Schwimmpunkt-Zahl; d. h. sie erreichen einen

anfängliche Annäherung durch das Teilen der Hochzahl durch 3. Das hat den

Nachteil, Kenntnisse der inneren Darstellung zu verlangen

der Schwimmpunkt-Zahl, und deshalb ist eine einzelne Durchführung nicht

versichert, über alle Rechenplattformen zu arbeiten.

Auch nützlich ist dieser verallgemeinerte fortlaufende Bruchteil, der auf der n-ten Wurzelmethode gestützt ist:

Wenn x eine gute erste Annäherung an die Würfel-Wurzel von z und y = z  x, dann ist:

::

Die zweite Gleichung verbindet jedes Paar von Bruchteilen von Anfang an in einen einzelnen Bruchteil, so die Geschwindigkeit der Konvergenz verdoppelnd. Der Vorteil besteht darin, dass x und y nur einmal geschätzt werden.

Geschichte

In 499 CE Aryabhata, einem großen Mathematiker-Astronomen vom klassischen Alter der Indianermathematik und Indianerastronomie, hat eine Methode gegeben, für die Würfel-Wurzel von Zahlen zu finden, die viele Ziffern in Aryabhatiya (Abschnitt 2.5) haben.

Siehe auch

• Methoden, Quadratwurzeln zu schätzen
• Liste von polynomischen Themen
• Die n-te Wurzel
• Quadratwurzel
• Verschachtelter radikaler
• Wurzel der Einheit
• Die Verschiebung des Algorithmus der n-ten Wurzel

Links

• Würfel-Wurzelrechenmaschine vermindert jede Anzahl zur einfachsten radikalen Form
• Die Würfel-Wurzel, K. Turkowski, den Apple Technical Report #KT-32, 1998 schätzend. Schließt C Quellcode ein.