Das Modell von Ising , genannt nach dem Physiker Ernst Ising, ist ein mathematisches Modell des Ferromagnetismus in der statistischen Mechanik. Das Modell besteht aus getrennten Variablen genannt Drehungen, die in einem von zwei Staaten (+1 oder −1) sein können. Die Drehungen werden in einem Graphen (gewöhnlich, ein Gitter) eingeordnet, und jede Drehung wirkt mit seinen nächsten Nachbarn aufeinander. Die Absicht ist, Phase-Übergänge im Modell von Ising als ein vereinfachtes Modell von Phase-Übergängen in echten Substanzen zu finden. Das zweidimensionale Quadratgitter Modell von Ising ist eines der einfachsten statistischen Modelle, um einen Phase-Übergang zu zeigen.

Das Modell von Ising wurde vom Physiker erfunden, der es als ein Problem seinem Studenten Ernst Ising gegeben hat. Das eindimensionale Modell von Ising hat keinen Phase-Übergang und wurde allein in seiner 1924-These gelöst. Das zweidimensionale Quadratgitter ist Modell von Ising viel härter, und wurde eine analytische Beschreibung viel später, dadurch gegeben. Es wird gewöhnlich durch eine mit der Übertragungmatrixmethode gelöst, obwohl dort verschiedene Annäherungen bestehen Sie, die mit der Quant-Feldtheorie mehr zusammenhängend sind.

In Dimensionen, die größer sind als vier, wird der Phase-Übergang des Modells von Ising durch die Mittelfeldtheorie beschrieben.

Definition

In Anbetracht eines Graphen Λ (zum Beispiel, ein d-dimensional Gitter), pro jede Gitter-Seite j ∈ Λ es gibt eine getrennte Variable σ das kann +1 oder −1 sein. Eine Drehungskonfiguration, σ = (σ) ist eine Anweisung des Drehungswerts zu jeder Gitter-Seite.

Für irgendwelche zwei angrenzenden Seiten i, j ∈Λ man hat eine Wechselwirkung J, und für irgendwelchen ich ∈ Λ man hat ein Außenfeld h. Die Energie einer Konfiguration σ wird durch gegeben

:

H (\sigma) = - \sum_ {i~j} J_ {ij} \sigma_i \sigma_j-\sum_ {j} h_j\sigma_j

</Mathematik>

wo die erste Summe über Paare von angrenzenden Drehungen ist (jedes Paar wird einmal aufgezählt). Die Konfigurationswahrscheinlichkeit wird durch den Vertrieb von Boltzmann mit der umgekehrten Temperatur &beta gegeben;

&ge;0: :

P_\beta (\sigma) = {e^ {-\beta H (\sigma)} \over Z_\beta},

\</Mathematik>

wo die Normalisierung unveränderlicher

:

Z_\beta = \sum_\sigma e^ {-\beta H (\sigma)} \,

</Mathematik>

ist die Teilungsfunktion. Für eine Funktion f der ("erkennbaren") Drehungen zeigt man durch an

:

die Erwartung (bedeuten Wert), f.

Diskussion

Modelle von Ising können gemäß dem Signum der Wechselwirkung klassifiziert werden: wenn, für alle Paare i, j

:: J> 0, die Wechselwirkung wird eisenmagnetischen genannt

:: J=0, die Drehungen wirken aufeinander nicht

sonst wird das System nonferromagnetic genannt.

In einem eisenmagnetischen Modell von Ising neigen Drehungen dazu, ausgerichtet zu werden: Die Konfigurationen, in denen angrenzende Drehungen desselben Zeichens sind, haben höhere Wahrscheinlichkeit. In einem antimagnetischen Modell neigen angrenzende Drehungen dazu, entgegengesetzte Zeichen zu haben.

Wenn das Außenfeld überall Null, h = 0 ist, ist das Modell von Ising unter der Schaltung des Werts der Drehung in allen Gitter-Seiten symmetrisch; ein nicht Nullfeld bricht diese Symmetrie.

Die interessanten statistischen Fragen zu fragen sind alle in der Grenze der großen Anzahl von Drehungen:

1. In einer typischen Konfiguration, sind die meisten Drehungen +1 oder 1, oder werden sie ebenso gespalten?
2. Wenn eine Drehung an einer gegebener Position ich bin 1 Jahr alt, wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Drehung an der Position j auch 1 ist?
3. Wenn β geändert wird, ist dort ein Phase-Übergang?
4. Auf einem Gitter, wie ist die fractal Dimension der Gestalt einer großen Traube von +1 Drehungen?

Grundlegende Eigenschaften und Geschichte

Der am meisten studierte Fall des Modells von Ising ist die Übersetzung-invariant eisenmagnetisches Nullfeldmodell auf einem d-dimensional Gitter, nämlich, &Lambda; = Z, J = 1, h = 0.

In seiner 1924-Doktorarbeit hat Ising das Modell für 1D Fall gelöst. In einer Dimension lässt die Lösung keinen Phase-Übergang zu. Nämlich, für irgendwelchen positiv &beta; die Korrelationen &sigma;> verfallen exponential in

|i&minus;j: :

und das System ist unordentlich. Auf der Grundlage von diesem Ergebnis hat er falsch beschlossen, dass dieses Modell Phase-Verhalten in keiner Dimension ausstellt.

Das Ising Modell erlebt einen Phase-Übergang zwischen einem bestellten und einer unordentlichen Phase in 2 Dimensionen oder mehr. Nämlich ist das System für den kleinen &beta unordentlich; wohingegen für den großen &beta; das System stellt eisenmagnetische Ordnung aus:

:

Das wurde zuerst von Rudolph Peierls 1933, damit bewiesen, was jetzt ein Argument von Peierls genannt wird.

Das Ising Modell auf einem zwei dimensionalen Quadratgitter ohne magnetisches Feld wurde dadurch analytisch gelöst. Onsager hat gezeigt, dass die Korrelationsfunktionen und freie Energie des Modells von Ising durch ein aufeinander nichtwirkendes Gitter fermion bestimmt werden. Onsager hat die Formel für die spontane Magnetisierung für das 2-dimensionale Modell 1949 bekannt gegeben, aber hat keine Abstammung gegeben. hat den ersten veröffentlichten Beweis dieser Formel, mit einer Grenze-Formel für Determinanten von Fredholm, bewiesen 1951 durch Szegő in der direkten Antwort auf die Arbeit von Onsager gegeben.

Historische Bedeutung

Eines der Argumente von Democritus zur Unterstutzung des Atomismus war, dass Atome natürlich die scharfen Phase-Grenzen erklären, die in Materialien, als beobachtet sind, wenn Eis zu Wasser schmilzt oder sich Wasser Dampf zuwendet. Seine Idee bestand darin, dass kleine Änderungen in Atomskala-Eigenschaften zu großen Änderungen im gesamten Verhalten führen würden. Andere haben geglaubt, dass Sache von Natur aus dauernd, nicht atomar ist, und dass die groß angelegten Eigenschaften der Sache auf grundlegende Atomeigenschaften nicht reduzierbar sind.

Während die Gesetze der chemischen Schwergängigkeit Chemikern des neunzehnten Jahrhunderts verständlich gemacht haben, dass Atome unter Physikern echt waren, hat die Debatte gut in den Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts weitergegangen. Atomists, namentlich James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann, hat die Formulierung von Hamilton von Newtonschen Gesetzen zu großen Systemen angewandt und hat gefunden, dass das statistische Verhalten der Atome richtig Raumtemperaturbenzin beschreibt. Aber klassische statistische Mechanik ist für alle Eigenschaften von Flüssigkeiten und Festkörpern, noch Benzins bei der niedrigen Temperatur nicht verantwortlich gewesen.

Sobald moderne Quant-Mechanik formuliert wurde, war Atomismus nicht mehr im Konflikt mit dem Experiment, aber das hat zu keiner universalen Annahme der statistischen Mechanik geführt, die Atomismus übertroffen hat. Josiah Willard Gibbs hatte einen ganzen Formalismus gegeben, um die Gesetze der Thermodynamik aus den Gesetzen der Mechanik wieder hervorzubringen. Aber viele fehlerhafte Argumente haben aus dem 19. Jahrhundert überlebt, als statistische Mechanik zweifelhaft betrachtet wurde. Die Versehen in der Intuition haben größtenteils von der Tatsache gestammt, dass die Grenze eines unendlichen statistischen Systems viele Null Gesetze hat, die in begrenzten Systemen fehlen: Eine unendlich kleine Änderung in einem Parameter kann zu großen Unterschieden im gesamten, gesamten Verhalten führen, wie Democritus erwartet hat.

Keine Phase-Übergänge im begrenzten Volumen

Im frühen Teil des zwanzigsten Jahrhunderts haben einige geglaubt, dass die Teilungsfunktion einen Phase-Übergang nie beschreiben konnte, der auf dem folgenden Argument gestützt ist:

1. Die Teilungsfunktion ist eine Summe über alle Konfigurationen.
2. die Exponentialfunktion ist überall als eine Funktion analytisch.
3. die Summe von analytischen Dingen ist analytisch.

Aber der Logarithmus der Teilungsfunktion ist als eine Funktion der Temperatur in der Nähe von einem Phase-Übergang nicht analytisch, so arbeitet die Theorie nicht.

Diese Argument-Arbeiten für eine begrenzte Summe von exponentials, und stellen richtig fest, dass es keine Eigenartigkeiten in der freien Energie eines Systems einer begrenzten Größe gibt. Für Systeme, die in der thermodynamischen Grenze sind (d. h. für unendliche Systeme) kann die unendliche Summe zu Eigenartigkeiten führen. Die Konvergenz zur thermodynamischen Grenze ist schnell, so dass das Phase-Verhalten bereits auf einem relativ kleinen Gitter offenbar ist, wenn auch die Eigenartigkeiten durch die begrenzte Größe des Systems weggeräumt werden.

Das wurde zuerst von Rudolf Peierls im Modell von Ising gegründet.

Tröpfchen von Peierls

Kurz nachdem Lenz und Ising das Modell von Ising gebaut haben, ist Peierls im Stande gewesen ausführlich zu zeigen, dass ein Phase-Übergang in zwei Dimensionen vorkommt.

Um das zu tun, hat er die niedrigen und Hoch-Temperaturtemperaturgrenzen verglichen. Bei der unendlichen Temperatur, haben alle Konfigurationen gleiche Wahrscheinlichkeit. Jede Drehung ist von irgendwelchem anderer völlig unabhängig, und wenn typische Konfigurationen bei der unendlichen Temperatur geplant werden, so dass plus/minus vom Schwarzen und Weiß vertreten werden, sehen sie wie Fernsehschnee aus. Für die hohe aber ziemlich begrenzte Temperatur gibt es kleine Korrelationen zwischen benachbarten Positionen, der Schnee neigt dazu, ein kleines bisschen zu trampeln, aber der Schirm bleibt das zufällige Aussehen, und es gibt kein Nettoübermaß am Schwarzen oder Weiß.

Ein quantitatives Maß des Übermaßes ist die Magnetisierung, die der durchschnittliche Wert der Drehung ist:

::

M = {1\over N} \sum_ {i=0} ^ {n-1} S_i.

</Mathematik>

Ein gefälschtes Argument, das dem Argument in der letzten Abteilung jetzt analog ist, stellt fest, dass die Magnetisierung im Modell von Ising immer Null ist.

1. Jeder Konfigurationen der Drehung hat gleiche Energie zur Konfiguration mit allen geschnipsten Drehungen.
2. So für jede Konfiguration mit der Magnetisierung ist M dort eine Konfiguration mit der Magnetisierung-M mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
3. So ist die Magnetisierung Null.

Wie zuvor beweist das nur, dass die Magnetisierung Null an jedem begrenzten Volumen ist. Für ein unendliches System könnten Schwankungen nicht im Stande sein, das System von größtenteils - plus der Staat zu größtenteils minus mit jeder Nichtnullwahrscheinlichkeit zu stoßen.

Für sehr hohe Temperaturen ist die Magnetisierung Null, wie es bei der unendlichen Temperatur ist. Um das zu sehen, bemerken Sie, dass, wenn Drehung A nur eine kleine Korrelation mit der Drehung B hat, und B nur mit C schwach aufeinander bezogen wird, aber C ist von A sonst unabhängig, geht der Betrag der Korrelation von A und C wie. Für zwei Drehungen, die durch die Entfernung L getrennt sind, geht der Betrag der Korrelation als, aber wenn es mehr als einen Pfad gibt, durch den die Korrelationen reisen können, wird dieser Betrag durch die Zahl von Pfaden erhöht.

Die Zahl von Pfaden der Länge L auf einem Quadratgitter in d Dimensionen:

::

N (L) = (2.) ^L

\</Mathematik>

da es 2. Wahlen dafür gibt, wohin man an jedem Schritt geht.

Ein gebundener, der die Gesamtkorrelation durch den Beitrag zur Korrelation durch das Summieren über alle Pfade gegeben wird, die zwei Punkte verbinden, der oben durch die Summe über alle Länge-Pfade der Länge L geteilt durch begrenzt wird:

::

\sum_L (2.) ^L (\epsilon) ^L

\</Mathematik>

der zur Null geht, wenn klein ist.

Bei niedrigen Temperaturen, sind die Konfigurationen in der Nähe von der niedrigsten Energiekonfiguration, diejenige, wo alle Drehungen plus sind, oder alle Drehungen sind minus. Peierls hat gefragt, ob es bei der niedrigen Temperatur statistisch möglich ist, mit allen Drehungen minus anfangend, zu einem Staat zu schwanken, wo die meisten Drehungen plus sind. Dafür, um zu geschehen, müssen Tröpfchen plus die Drehung im Stande sein zu gefrieren, um plus der Staat zu machen.

Die Energie eines Tröpfchens plus Drehungen in minus der Hintergrund ist zum Umfang des Tröpfchens L proportional, wo plus Drehungen und minus Drehungen an einander grenzen. Für ein Tröpfchen mit dem Umfang L ist das Gebiet irgendwo zwischen (die Gerade) und (der Quadratkasten). Die Wahrscheinlichkeitskosten, für ein Tröpfchen einzuführen, sind der Faktor:

::

e^ {-\beta L}

\</Mathematik>

aber das trägt zur Teilungsfunktion bei, die mit der Gesamtzahl von Tröpfchen mit dem Umfang L multipliziert ist, der weniger ist als die Gesamtzahl von Pfaden der Länge L:

::

N (L)

So dass der Gesamtdrehungsbeitrag von Tröpfchen, sogar überzählend, indem er jeder Seite erlaubt wird, ein getrenntes Tröpfchen zu haben, oben begrenzt wird durch:

::

\sum_L L^2 4^ {-2l} e^ {-4\beta L }\

\</Mathematik>

der zur Null auf freiem Fuß geht. Für den genug großen unterdrückt das exponential lange Schleifen, so dass sie nicht vorkommen können, und die Magnetisierung nie zu weit von 1 schwankt.

So hat Peierls festgestellt, dass die Magnetisierung im Modell von Ising schließlich Superauswahl-Sektoren, getrennte Gebiete definiert, die durch begrenzte Schwankungen nicht verbunden werden.

Kramers-Wannier Dualität

Kramers und Wannier sind im Stande gewesen zu zeigen, dass die hohe Temperaturvergrößerung und die niedrige Temperaturvergrößerung des Modells bis zu einem gesamten Wiederschuppen der freien Energie gleich sind. Das hat dem Phase-Übergangspunkt im zweidimensionalen Modell erlaubt, genau bestimmt zu werden (unter der Annahme, dass es einen einzigartigen kritischen Punkt gibt).

Nullen von Yang-Lee

Nach der Lösung von Onsager haben Yang und Lee den Weg untersucht, auf den die Teilungsfunktion einzigartig wird, weil sich die Temperatur der kritischen Temperatur nähert.

Numerische Simulationen

Wirklich Konfigurationen mit diesem Wahrscheinlichkeitsvertrieb zu erzeugen, ist begrifflich

das leichteste Verwenden des Metropole-Algorithmus:

1. Picken Sie eine Drehung aufs Geratewohl auf und berechnen Sie den Beitrag zur Energie, die diese Drehung einschließt.
2. Schnipsen Sie den Wert der Drehung und berechnen Sie den neuen Beitrag.
3. Wenn die neue Energie weniger ist, behalten Sie den geschnipsten Wert.
4. Wenn die neue Energie mehr ist, bleiben Sie nur mit der Wahrscheinlichkeit
5. Sich wiederholen.

Die Änderung in der Energie hängt nur vom Wert der Drehung und seiner nächsten Graph-Nachbarn ab. So, wenn der Graph nicht zu verbunden wird, ist der Algorithmus schnell. Dieser Prozess wird schließlich eine Auswahl vom Vertrieb erzeugen.

Eine Dimension

Die thermodynamische Grenze besteht, sobald der Wechselwirkungszerfall damit ist.

• Im Fall von der eisenmagnetischen Wechselwirkung damit

• Im Fall von der eisenmagnetischen Wechselwirkung haben Fröhlich und Spencer bewiesen, dass es Phase-Übergang bei der kleinen genug Temperatur (im Vergleich mit dem hierarchischen Fall) gibt.
• Im Fall von der Wechselwirkung mit (der den Fall von begrenzten Reihe-Wechselwirkungen einschließt) gibt es keinen Phase-Übergang bei jeder positiven Temperatur (d. h. begrenzt), da die freie Energie in den thermodynamischen Rahmen analytisch ist.
• Im Fall von nächsten Nachbarwechselwirkungen hat E. Ising eine genaue Lösung des Modells zur Verfügung gestellt. Bei jeder positiven Temperatur (d. h. begrenzt) ist die freie Energie in den Thermodynamik-Rahmen analytisch, und die gestutzte Zwei-Punkte-Drehungskorrelation verfällt exponential schnell. Bei der Nulltemperatur, (d. h. unendlich), gibt es einen zweiten Ordnungsphase-Übergang: Die freie Energie ist unendlich, und die gestutzte zwei Punkt-Drehungskorrelation verfällt nicht (bleibt unveränderlich). Deshalb ist die kritische Temperatur dieses Falls. Kletternde Formeln sind zufrieden.

Die genaue Lösung von Ising

Im nächsten Nachbarfall (mit periodischen oder freien Grenzbedingungen) ist eine genaue Lösung verfügbar.

Die Energie eines dimensionalen Modells von Ising auf einem Gitter von Seiten mit periodischen Grenzbedingungen ist

:

H (\sigma) =-j\sum_ {i=1, \ldots, L} \sigma_i \sigma_ {i+1} - h \sum_i \sigma_i

</Mathematik>

wo und jede Zahl sein kann. Dann der

freie Energie ist

:

- \frac {1} {\\Beta} \ln\left [e^ {\\Beta J} \cosh \beta h + \sqrt {e^ {2\beta J} (\sinh\beta h) ^2 +e^ {-2\beta J} }\\Recht]

</Mathematik>

und die Drehungsdrehungskorrelation ist

:

\langle \sigma_i \sigma_j\rangle -

\langle \sigma_i \rangle\langle\sigma_j\rangle

C (\beta) e^ {-c (\beta) i-j }\

</Mathematik>

wo und positive Funktionen dafür sind. Da, obwohl die umgekehrte Korrelationslänge verschwindet.

Beweis

Der Beweis dieses Ergebnisses ist eine einfache Berechnung.

Wenn es sehr leicht ist, die freie Energie im Fall von der freien Grenzbedingung, d. h. wenn zu erhalten

:

H (\sigma) =-J (\sigma_1\sigma_2 +\cdots +\sigma_ {l-1 }\\sigma_L).

</Mathematik>

Dann faktorisiert das Modell unter der Änderung von Variablen

:

\sigma_j =\sigma' _j\sigma_ {j-1 }\

\qquad j\ge 2.

</Mathematik>

Das gibt

:

Z (\beta)

&= \sum_ {\\sigma_1, \ldots, \sigma_L }\

e^ {\\Beta J\sigma_1\sigma_2 }\\;

e^ {\\Beta J\sigma_2\sigma_3 }\\;

\cdots

e^ {\\Beta J\sigma_ {l-1 }\\sigma_L} =

2\prod_ {j=2} ^L\sum_ {\\Sigma' _j}

e^ {\\Beta J\sigma' _j }\

2\left [e^ {\\Beta J} +e^ {-\beta J }\\Recht] ^ {l-1}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Deshalb ist die freie Energie

:

f (\beta, 0)

- \frac {1} {\\Beta} \ln\left [e^ {\\Beta J} + e^ {-\beta J }\\Recht].

</Mathematik>

Mit derselben Änderung von Variablen

:

\langle \sigma_ {j }\\sigma_ {j+N }\\rangle =\left [

\frac {e^ {\\Beta J} - e^ {-\beta J}} {e^ {\\Beta J} + e^ {-\beta J} }\\Recht] ^N

</Mathematik>

folglich verfällt es exponential sobald; aber für, d. h. in der Grenze gibt es keinen Zerfall.

Wenn wir die Übertragungsmatrixmethode brauchen. Für die periodischen Grenzbedingungen ist Fall das folgende. Die Teilungsfunktion ist

:

Z (\beta) = \sum_ {\\sigma_1, \ldots, \sigma_L }\

e^ {\\Beta h \sigma_1} e^ {\\Beta J\sigma_1\sigma_2 }\\;

e^ {\\Beta h \sigma_2} e^ {\\Beta J\sigma_2\sigma_3 }\\;

\cdots

e^ {\\Beta h \sigma_L} e^ {\\Beta J\sigma_L\sigma_1 }\

\sum_ {\\sigma_1, \ldots, \sigma_L }\

V_ {\\sigma_1, \sigma_2} V_ {\\sigma_2, \sigma_3 }\\cdots

V_ {\\sigma_L, \sigma_1}.

</Mathematik>

Die Koeffizienten 's können als die Einträge einer Matrix gesehen werden. Es gibt verschiedene mögliche Wahlen: Ein günstiger (weil die Matrix symmetrisch ist) ist

:

V_ {\\Sigma, \sigma'} = e^ {\\frac {\\Beta h} {2} \sigma }\

e^ {\\Beta J\sigma\sigma' }\

e^ {\\frac {\\Beta h} {2} \sigma' }\

\qquad

{\\rm nämlich }\

\qquad

V=

\begin {bmatrix }\

e^ {\\Beta (h+J)} &e^ {-\beta J }\\\

e^ {-\beta J} &e^ {-\beta (h-J) }\

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Im Matrixformalismus

:

Z (\beta) = {\\rm Tr} V^L = \lambda_1^L + \lambda_2^L=

\lambda_1^L\left [1 + \left (\frac {\\lambda_2} {\\lambda_1 }\\Recht) ^L\right]

</Mathematik>

wo der höchste eigenvalue dessen ist, während der andere eigenvalue ist:

:

\lambda_1=e^ {\\Beta J} \cosh \beta h + \sqrt {e^ {2\beta J} (\sinh\beta h) ^2 +e^ {-2\beta J} }\

</Mathematik>

und

Das gibt die Formel der freien Energie.

Anmerkungen

Die Energie des niedrigsten Staates ist, wenn alle Drehungen dasselbe sind. Für jede andere Konfiguration ist die Extraenergie der Zahl von Zeichen-Änderungen gleich, weil Sie die Konfiguration vom linken bis Recht scannen.

Wenn wir die Zahl von Zeichen-Änderungen in einer Konfiguration als benennen, ist der Unterschied in der Energie vom niedrigsten Energiestaat. Da die Energie in der Zahl von Flips zusätzlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Drehungsflip an jeder Position zu haben, unabhängig. Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit, einen Flip zur Wahrscheinlichkeit zu finden, nicht zu finden ist man der Faktor von Boltzmann:

:

{p \over 1-p} = e^ {-2\beta }\

\. </Mathematik>

Das Problem wird auf das unabhängige voreingenommene Münzwerfen reduziert. Das vollendet im Wesentlichen die mathematische Beschreibung.

Aus der Beschreibung in Bezug auf das unabhängige Werfen kann die Statistik des Modells für lange Linien verstanden werden. Die Linie spaltet sich in Gebiete auf. Jedes Gebiet ist der durchschnittlichen Länge. Die Länge eines Gebiets wird exponential, seitdem verteilt

es gibt eine unveränderliche Wahrscheinlichkeit an jedem Schritt, auf einen Flip zu stoßen. Die Gebiete werden nie unendlich, so wird ein langes System nie magnetisiert. Jeder Schritt reduziert die Korrelation zwischen einer Drehung und seinem Nachbar durch einen Betrag, der dazu proportional ist, so gehen die Korrelationen exponential zurück.

:

\langle S_i S_j \rangle \, \propto \, e^ {-p|i-j |}

\. </Mathematik>

Die Teilungsfunktion ist das Volumen von Konfigurationen, jede durch sein Gewicht von Boltzmann beschwerte Konfiguration. Da jede Konfiguration durch die Zeichen-Änderungen beschrieben wird, faktorisiert die Teilungsfunktion:

:

Z = \sum_ {\\mathrm {configs}} e^ {\\sum_k S_k} = \prod_k (1 + p) = (1+p) ^L

\. </Mathematik>

Der Logarithmus, der dadurch geteilt ist, ist die freie Energiedichte:

:

\beta f = \log (1+p) = \log\left (1 + {e^ {-2\beta }\\über 1+e^ {-2\beta}} \right)

\. </Mathematik>

der weg davon analytisch ist. Ein Zeichen eines Phase-Übergangs ist eine nichtanalytische freie Energie, so hat ein dimensionales Modell keinen Phase-Übergang.

Zwei Dimensionen

• Im eisenmagnetischen Fall gibt es einen Phase-Übergang: Bei der niedrigen Temperatur beweist Argument von Peierls positive Magnetisierung für den nächsten Nachbarfall und dann durch die Ungleichheit von Griffiths auch, wenn längere Reihe-Wechselwirkungen hinzugefügt werden; während, bei der hohen Temperatur, Traube-Vergrößerung analyticity der thermodynamischen Funktionen gibt.
• Im Nah-Nachbarfall ist die freie Energie von Onsager durch die Gleichwertigkeit des Modells mit freiem fermions auf dem Gitter genau geschätzt worden. Die Drehungsdrehungskorrelationsfunktionen sind von McCoy und Wu geschätzt worden.

Die genaue Lösung von Onsager

Die Teilungsfunktion des Modells von Ising in zwei Dimensionen auf einem Quadratgitter kann zu einem zweidimensionalen freien fermion kartografisch dargestellt werden. Das erlaubt der spezifischen Hitze, genau berechnet zu werden. Onsager hat den folgenden analytischen Ausdruck für die Magnetisierung als eine Funktion der Temperatur erhalten:

:

M = \left (1-\left [\sinh\left (\log (1 +\sqrt {2}) \frac {T_c} {T }\\Recht) \right] ^ {-4 }\\Recht) ^ {\\frac {1} {8} }\

\</Mathematik>

wo

:

Übertragungsmatrix

Fangen Sie mit einer Analogie mit der Quant-Mechanik an. Das Ising Modell auf einem langen periodischen Gitter hat eine Teilungsfunktion

:

\sum_S \exp\biggl (\sum_ {ij} S_ {ich, j} S_ {ich, j+1} + S_ {ich, j} S_ {i+1, j }\\biggr)

\</Mathematik>

Denken Sie an mich Richtung als Raum und die j Richtung als Zeit. Das ist eine unabhängige Summe über alle Werte, dass die Drehungen jedes Mal Scheibe nehmen können. Das ist ein Typ des integrierten Pfads, es ist die Summe über alle Drehungsgeschichten.

Ein integrierter Pfad kann als eine Evolution von Hamiltonian umgeschrieben werden. Der Hamiltonian geht im Laufe der Zeit durch das Durchführen einer einheitlichen Folge zwischen Zeit und Zeit:

:\</Mathematik>

Das Produkt des U matrices ist nacheinander der Gesamtzeitevolutionsmaschinenbediener, der der integrierte Pfad ist, haben wir damit angefangen.

:\</Mathematik>

wo N die Zahl von Zeitabschnitten ist. Die Summe über alle Pfade wird durch ein Produkt von matrices gegeben, jedes Matrixelement ist die Übergangswahrscheinlichkeit von einer Scheibe bis das folgende.

Ähnlich kann man die Summe über alle Teilungsfunktionskonfigurationen in Scheiben teilen, wo jede Scheibe die eindimensionale Konfiguration in der Zeit 1 ist. Das definiert die Übertragungsmatrix:

:

T_ {C_1 C_2 }\

\</Mathematik>

Die Konfiguration in jeder Scheibe ist eine dimensionale Sammlung von Drehungen. Jedes Mal hat Scheibe, T Matrixelemente zwischen zwei Konfigurationen von Drehungen, ein in der unmittelbaren Zukunft und ein in der unmittelbaren Vergangenheit. Diese zwei Konfigurationen sind C und C, und sie sind der ganze dimensionale Drehungskonfigurationen. Wir können an den Vektorraum denken, dem T als alle komplizierten geradlinigen Kombinationen von diesen folgt. Das Verwenden des Quants mechanische Notation:

:

|A\rangle = \sum_S (S) |S\rangle

\</Mathematik>

wo jeder Basisvektor eine Drehungskonfiguration eines eindimensionalen Modells von Ising ist.

Wie Hamiltonian folgt die Übertragungsmatrix allen geradlinigen Kombinationen von Staaten. Die Teilungsfunktion ist eine Matrixfunktion von T, der durch die Summe über alle Geschichten definiert wird, die zur ursprünglichen Konfiguration danach N Schritte zurückkommen:

:

Z = \mathrm {tr} (T^N)

\</Mathematik>

Da das eine Matrixgleichung ist, kann sie in jeder Basis bewertet werden. So, wenn wir diagonalize die Matrix T können, können wir Z finden.

T in Bezug auf Pauli matrices

Der Beitrag zur Teilungsfunktion für jedes vorige/zukünftige Paar von Konfigurationen auf einer Scheibe ist die Summe von zwei Begriffen. Es gibt die Zahl von Drehungsflips in der vorigen Scheibe, und es gibt die Zahl von Drehungsflips zwischen der vorigen und zukünftigen Scheibe. Definieren Sie einen Maschinenbediener auf Konfigurationen, der die Drehung an der Seite i schnipst:

:

\sigma^x_i

\</Mathematik>

In der üblichen Basis von Ising, jeder geradlinigen Kombination von vorigen Konfigurationen folgend, erzeugt es dieselbe geradlinige Kombination, aber mit der Drehung an der Position haben i jedes Basisvektoren geschnipst.

Definieren Sie einen zweiten Maschinenbediener, der den Basisvektoren mit +1 und 1 gemäß der Drehung an der Position i multipliziert:

:

\sigma^z_i

\</Mathematik>

T kann in Bezug auf diese geschrieben werden:

:

\sum_i ein \sigma^x_i + B \sigma^z_i \sigma^z_ {i+1 }\

\</Mathematik>

wo A und B Konstanten sind, die bestimmt werden sollen, um die Teilungsfunktion wieder hervorzubringen. Die Interpretation ist, dass die statistische Konfiguration an dieser Scheibe sowohl gemäß der Zahl von Drehungsflips in der Scheibe beiträgt, als auch gemäß ob die Drehung an der Position i' geschnipst hat.

Drehungsflip-Entwicklung und Vernichtungsmaschinenbediener

Ebenso in einem dimensionalem Fall werden wir Aufmerksamkeit von den Drehungen bis die Drehungsflips auswechseln.

Der Begriff in T zählt die Zahl von Drehungsflips auf, die wir in Bezug auf die Drehungsflip-Entwicklung und Vernichtungsmaschinenbediener schreiben können:

:

Der erste Begriff schnipst eine Drehung, so abhängig vom Basisstaat es auch:

1. bewegt einen Drehungsflip eine Einheit nach rechts
2. bewegt einen Drehungsflip eine Einheit nach links
3. erzeugt zwei Drehungsflips auf benachbarten Seiten
4. zerstört zwei Drehungsflips auf benachbarten Seiten.

Das in Bezug auf die Entwicklung und Vernichtungsmaschinenbediener ausschreibend:

:\</Mathematik>

Ignorieren Sie die unveränderlichen Koeffizienten, und richten Sie Aufmerksamkeit auf die Form. Sie sind alle quadratisch. Da die Koeffizienten unveränderlich sind, bedeutet das, dass die T Matrix diagonalized durch Fourier sein kann, verwandelt sich.

Das Ausführen des diagonalization erzeugt Onsager freie Energie.

Die Formel von Onsager für die spontane Magnetisierung

erhalten die folgende Formel für die spontane Magnetisierung M eines zweidimensionalen Ferromagnets von Ising

:

Durch eine ganze Abstammung wurde später, mit der Szegő's Grenze-Formel für Determinanten von Toeplitz, bewiesen 1951 als Antwort auf die Arbeit von Onsager gegeben. In dieser Formel wird die Gesamtenergie des Gitter-Modells von Onsager durch gegeben

:

und β =kT, wo k die Konstante und T von Boltzmann ist, ist die absolute Temperatur.

Drei und vier Dimensionen

In drei Dimensionen, wie man zeigte, hatte das Modell von Ising eine Darstellung in Bezug auf aufeinander nichtwirkende Gitter-Schnuren von Fermionic durch Alexander Polyakov. In Dimensionen in der Nähe von vier, wie man versteht, entspricht das kritische Verhalten des Modells dem Wiedernormalisierungsverhalten des Skalars phi-4 Theorie (sieh Kenneth Wilson).

Mehr als vier Dimensionen

In jeder Dimension kann das Modell von Ising durch ein lokal unterschiedliches Mittelfeld produktiv beschrieben werden. Das Feld wird als der durchschnittliche Drehungswert über ein großes Gebiet definiert, aber nicht so groß, um das komplette System einzuschließen. Das Feld hat noch langsame Schwankungen vom Punkt bis Punkt, als sich das Mittelwertbildungsvolumen bewegt. Diese Schwankungen im Feld werden durch eine Kontinuum-Feldtheorie in der unendlichen Systemgrenze beschrieben.

Lokales Feld

Feld H wird als die lange Wellenlänge Bestandteile von Fourier der Drehungsvariable in der Grenze definiert, dass die Wellenlängen lang sind. Es gibt viele Weisen, den langen Wellenlänge-Durchschnitt, abhängig von den Details dessen zu nehmen, wie hohe Wellenlängen abgeschnitten werden. Die Details sind nicht zu wichtig, da die Absicht ist, die Statistik von H und nicht den Drehungen zu finden. Sobald die Korrelationen in H bekannt sind, werden die Langstreckenkorrelationen zwischen den Drehungen zu den Langstreckenkorrelationen in H proportional sein.

Für jeden Wert des langsam unterschiedlichen Feldes H ist die freie Energie (Klotz-Wahrscheinlichkeit) eine lokale analytische Funktion von H und seinen Anstiegen. Die freie Energie F (H) wird definiert, um die Summe über alle Konfigurationen von Ising zu sein, die mit dem langen Wellenlänge-Feld im Einklang stehend sind. Da H eine raue Beschreibung ist, gibt es viele mit jedem Wert von H im Einklang stehende Konfigurationen von Ising, so lange nicht zu viel Genauigkeit für das Match erforderlich ist.

Da der erlaubte Wertbereich der Drehung in jedem Gebiet nur von den Werten von H innerhalb eines Mittelwertbildungsvolumens von diesem Gebiet abhängt, hängt der freie Energiebeitrag von jedem Gebiet nur vom Wert von H dort und in den benachbarten Gebieten ab. So ist F eine Summe über alle Gebiete eines lokalen Beitrags, der nur von H und seinen Ableitungen abhängt.

Durch die Symmetrie in H tragen nur sogar Mächte bei. Durch die Nachdenken-Symmetrie auf einem Quadratgitter tragen nur sogar Mächte von Anstiegen bei. Die ersten paar Begriffe in der freien Energie ausschreibend:

:

\beta F = \int D^dx \left [Ein H^2 + \sum_ {i=1} ^ {d} Z_i (\partial_i H) ^2 + \lambda H^4... \right]

\</Mathematik>

Auf einem Quadratgitter versichern symmetries, dass die Koeffizienten der abgeleiteten Begriffe alle gleich sind. Aber sogar für ein anisotropic Modell von Ising, wo der Z in verschiedenen Richtungen verschieden sind, sind die Schwankungen in H in einem Koordinatensystem isotropisch, wo die verschiedenen Richtungen des Raums wiedererklettert werden.

Auf jedem Gitter ist der abgeleitete Begriff eine positive bestimmte quadratische Form und kann gebraucht werden, um das metrische für den Raum zu definieren. So ist irgendwelcher Übersetzungs-invariant Modell von Ising Rotations-invariant in langen Entfernungen in Koordinaten, die machen. Rotationssymmetrie erscheint spontan in großen Entfernungen gerade, weil es nicht sehr viele gibt

niedrige Ordnungsbegriffe. An der höheren Ordnung mehrkritische Punkte wird diese zufällige Symmetrie verloren.

Seitdem ist eine Funktion eines langsam räumlich unterschiedlichen Feldes. Die Wahrscheinlichkeit jeder Feldkonfiguration ist:

:

P (H) \propto e^ {-\int D^dx \left [AH^2 + Z | \nabla H |^2 + \lambda H^4 \right] }\

\</Mathematik>

Der statistische Durchschnitt jedes Produktes von H ist gleich:

:

\langle H (x_1) H (x_2) \cdots H (x_n) \rangle = {\int DH P (H) H (x_1) H (x_2) \cdots H (x_n) \over \int DH P (H) }\

\</Mathematik>

Der Nenner in diesem Ausdruck wird die Teilungsfunktion genannt, und das Integral über alle möglichen Werte von H ist ein statistischer integrierter Pfad. Es integriert über alle Werte von H, über die ganze lange Wellenlänge fourier Bestandteile der Drehungen. F ist ein Euklidischer Lagrangian für Feld H, der einzige Unterschied dazwischen und der Quant-Feldtheorie eines Skalarfeldes ist, dass alle abgeleiteten Begriffe mit einem positiven Zeichen hereingehen, und es keinen gesamten Faktor von mir gibt.

:

Z = \int DH e ^ {\int D^dx \left [Ein H^2 + Z | \nabla H |^2 + \lambda H^4 \right] }\

\</Mathematik>

Dimensionale Analyse

Die Form von F kann verwendet werden, um vorauszusagen, welche Begriffe durch die dimensionale Analyse am wichtigsten sind. Dimensionale Analyse ist nicht völlig aufrichtig, weil das Schuppen von H bestimmt werden muss.

Im allgemeinen Fall, das kletternde Gesetz für H wählend, ist leicht, der einzige Begriff, der beiträgt, ist der erste,

:

F = \int d^dx Ein H^2

\</Mathematik>

Dieser Begriff ist am bedeutendsten, aber er gibt triviales Verhalten. Diese Form der freien Energie ist ultralokal, bedeutend, dass es eine Summe eines unabhängigen Beitrags von jedem Punkt ist. Das ist den Drehungsflips im eindimensionalen Modell von Ising ähnlich. Jeder Wert von H an jedem Punkt schwankt völlig unabhängig vom Wert an jedem anderen Punkt.

Die Skala des Feldes kann wiederdefiniert werden, um den Koeffizienten A zu absorbieren, und dann ist es klar, dass Ein einziger die gesamte Skala von Schwankungen bestimmt. Das ultralokale Modell beschreibt die lange Wellenlänge hohes Temperaturverhalten des Modells von Ising, seitdem in dieser Grenze sind die Schwankungsdurchschnitte vom Punkt bis Punkt unabhängig.

Um den kritischen Punkt zu finden, senken Sie die Temperatur. Da die Temperatur hinuntergeht, steigen die Schwankungen in H, weil die Schwankungen mehr aufeinander bezogen werden. Das bedeutet, dass der Durchschnitt einer Vielzahl von Drehungen klein als schnell nicht wird, als ob sie unkorreliert waren, weil sie dazu neigen, dasselbe zu sein. Das entspricht dem Verringern im System von Einheiten, wo H A nicht absorbiert. Der Phase-Übergang kann nur geschehen, wenn die Subhauptbegriffe in F beitragen können, aber da der erste Begriff in langen Entfernungen vorherrscht, muss der Koeffizient A auf die Null abgestimmt werden. Das ist die Position des kritischen Punkts:

:

F = \int D^dx \left [t H^2 + \lambda H^4 + Z (\nabla H) ^2 \right]

\</Mathematik>

Wo t ein Parameter ist, der Null beim Übergang durchgeht.

Da t verschwindet, setzt das Befestigen der Skala des Feldes, das diesen Begriff gebraucht, den anderen Begriff-Schlag zusammen. Sobald t klein ist, kann die Skala des Feldes entweder veranlasst werden, den Koeffizienten des Begriffes oder des Begriffes zu 1 zu befestigen.

Magnetisierung

Um die Magnetisierung zu finden, befestigen Sie das Schuppen von H, so dass λ derjenige ist. Jetzt hat Feld H Dimension d/4, so dass ohne Dimension ist, und Z Dimension 2  d/2 hat. In diesem Schuppen ist der Anstieg-Begriff nur in langen Entfernungen dafür wichtig. Über vier Dimensionen, an langen Wellenlängen, wird die gesamte Magnetisierung nur durch die ultralokalen Begriffe betroffen.

Es gibt einen feinen Punkt. Feld H schwankt statistisch, und die Schwankungen können den Nullpunkt von t auswechseln. Um wie zu sehen, denken Sie Spalt folgendermaßen:

:

H (x) ^4 = \langle H (x) ^2\rangle^2 + 2\langle H (x) ^2\rangle H (x) ^2 + (H (x) ^2-\langle H (x) ^2\rangle) ^2

\</Mathematik>

Der erste Begriff ist ein unveränderlicher Beitrag zur freien Energie und kann ignoriert werden. Der zweite Begriff ist eine begrenzte Verschiebung in t. Der dritte Begriff ist eine Menge, die zur Null in langen Entfernungen klettert. Das bedeutet, dass, wenn es das Schuppen von t durch die dimensionale Analyse analysiert, es der ausgewechselte t ist, der wichtig ist. Das war historisch sehr verwirrend, weil die Verschiebung in t an jedem begrenzten λ begrenzt ist, aber in der Nähe vom Übergang ist t sehr klein. Die Bruchänderung in t, ist und in Einheiten sehr groß, wo t befestigt wird, sieht die Verschiebung unendlich aus.

Die Magnetisierung ist am Minimum der freien Energie, und das ist eine analytische Gleichung. In Bezug auf den ausgewechselten t,

:

{\\teilweiser \over \partial H\(t H^2 + \lambda H^4) = 2t H + 4\lambda H^3 = 0

\</Mathematik>

Für t ist Begriff 2, während die Skala-Dimension des Begriffes 4  d ist. Für d hat Begriff positive Skala-Dimension. In Dimensionen höher als 4 hat es negative Skala-Dimensionen.

Das ist ein wesentlicher Unterschied. In Dimensionen höher als 4, die Skala des Anstieg-Begriffes befestigend, bedeutet, dass der Koeffizient des Begriffes immer weniger an längeren und längeren Wellenlängen wichtig ist. Die Dimension, an der nichtquadratische Beiträge beginnen beizutragen, ist als die kritische Dimension bekannt. Im Modell von Ising ist die kritische Dimension 4.

In Dimensionen oben 4 werden die kritischen Schwankungen durch eine rein quadratische freie Energie an langen Wellenlängen beschrieben. Das bedeutet, dass die Korrelationsfunktionen alle von als Durchschnitte von Gaussian berechenbar sind:

:

\langle S (x) S (y) \rangle \propto \langle H (x) H (y) \rangle = G (x-y) = \int {dk \over (2\pi) ^d} {e^ {ik (x-y) }\\über k^2 + t }\

\</Mathematik>

gültig, wenn x  y groß ist. Die Funktion G (x  y) ist die analytische Verlängerung zur imaginären Zeit des Verbreiters von Feynman, da die freie Energie die analytische Verlängerung der Quant-Feldhandlung für ein freies Skalarfeld ist. Für Dimensionen 5 und höher werden alle anderen Korrelationsfunktionen in langen Entfernungen dann durch den Lehrsatz des Dochts bestimmt. Alle sonderbaren Momente sind Null, durch + /  Symmetrie. Die gleichen Momente sind die Summe über die ganze Teilung in Paare des Produktes von G (x  y) für jedes Paar.

:

\langle S (x_1) S (x_2)... S (x_ {2n}) \rangle = C^n \sum G (x_ {i1}, x_ {j1}) G (x_ {i2}, X_ {j2}) \ldots G (x_ {in}, x_ {jn})

\</Mathematik>

wo C die unveränderliche Proportionalität ist. So das Wissen G ist genug. Es bestimmt alle Mehrpunktkorrelationen des Feldes.

Die kritische Zwei-Punkte-Funktion

Um die Form von G zu bestimmen, denken Sie, dass die Felder in einem integrierten Pfad den klassischen Gleichungen der abgeleiteten Bewegung durch das Verändern der freien Energie folgen:

:

(-\nabla_x^2 + t) \langle H (x) H (y) \rangle = 0 \rightarrow \nabla^2 G (x) +t G (x) = 0

\</Mathematik>

Das ist an nichtzusammenfallenden Punkten nur gültig, da die Korrelationen von H einzigartig sind, wenn Punkte kollidieren. H folgt klassischen Gleichungen der Bewegung aus demselben Grund, dass Quant mechanische Maschinenbediener folgen ihnen — seine Schwankungen, durch einen integrierten Pfad definiert wird.

Am kritischen Punkt t = 0 ist das die Gleichung von Laplace, die durch die Methode von Gauss von der Elektrostatik gelöst werden kann. Definieren Sie ein elektrisches Feldanalogon durch

:

E = \nabla G

\</Mathematik>

weg vom Ursprung:

:

\nabla \cdot E = 0

\</Mathematik>

da G in d Dimensionen kugelförmig symmetrisch ist, ist E der radiale Anstieg von G. Über einen großen d  1 dimensionalen Bereich, integrierend

:

\int D^ {d-1} S E_r = \mathrm {unveränderlicher }\

\</Mathematik>

Das gibt:

:

E = {C \over R^ {d-1} }\

\</Mathematik>

und G kann durch die Integrierung in Bezug auf r gefunden werden.

:

G(r) = {C \over R^ {d-2} }\

\</Mathematik>

Der unveränderliche C befestigt die gesamte Normalisierung des Feldes.

G(r) weg vom kritischen Punkt

Wenn t Null nicht gleichkommt, so dass H bei einer Temperatur ein bisschen weg vom kritischen schwankt, verfällt die zwei Punkt-Funktion

in langen Entfernungen. Die Gleichung, der es folgt, wird verändert:

:

\nabla^2 G + t G = 0 \rightarrow {1\over R^ {d-1}} {d\over Dr} (R^ {d-1} {dG\over Dr}) + t G(r) =0

\</Mathematik>

Für den r, der im Vergleich dazu klein ist, weicht die Lösung genau derselbe Weg wie im kritischen Fall, aber dem ab

langes Entfernungsverhalten wird modifiziert.

Zu sehen, wie es günstig ist, die zwei Punkt-Funktion als ein Integral zu vertreten, das von Schwinger im Quant-Feld eingeführt ist

Theorie-Zusammenhang:

:

G (x) = \int d\tau {1\over (\sqrt {2\pi\tau}) ^d} e^ {-{x^2\over 4\tau}-t \tau }\

\</Mathematik>

Das ist G, da sich der Fourier von diesem Integral verwandelt, ist leicht. Jeder hat τ Beitrag befestigt ist Gaussian in x, dessen Fourier umgestalten, ist ein anderer Gaussian der gegenseitigen Breite in k.

:

G (k) = \int d\tau e^ {-(k^2 - t) \tau} = {1\over k^2 - t }\

\</Mathematik>

Das ist das Gegenteil des Maschinenbedieners im k Raum, der Einheitsfunktion im k Raum folgend, der der fourier ist, verwandeln sich von einer am Ursprung lokalisierten Delta-Funktionsquelle. So befriedigt es dieselbe Gleichung wie G mit denselben Grenzbedingungen, die die Kraft der Abschweifung an 0 bestimmen.

Die Interpretation der integrierten Darstellung im Laufe der richtigen Zeit τ ist, dass die zwei Punkt-Funktion die Summe über alle zufälligen Spaziergang-Pfade ist, die Position 0 verbinden, um x mit der Zeit τ einzustellen. Die Dichte dieser Pfade in der Zeit τ an der Position x ist Gaussian, aber die zufälligen Spaziergänger verschwinden an einer unveränderlichen Rate, die dazu proportional ist, so dass der gaussian in der Zeit τ in der Höhe durch einen Faktor verringert wird, der fest exponential abnimmt. Im Quant-Feldtheorie-Zusammenhang sind das die Pfade relativistisch lokalisierter Quanten in einem Formalismus, der den Pfaden von individuellen Partikeln folgt. Im reinen statistischen Zusammenhang erscheinen diese Pfade noch durch die mathematische Ähnlichkeit mit Quant-Feldern, aber ihre Interpretation ist weniger direkt physisch.

Die integrierte Darstellung zeigt sofort, dass G(r) positiv ist, da es als eine belastete Summe von positivem Gaussians vertreten wird.

Es gibt auch die Rate des Zerfalls an großem r, da die richtige Zeit für einen zufälligen Spaziergang, um Position τ zu erreichen, r ist

und in dieser Zeit ist die Höhe von Gaussian dadurch verfallen. Der Zerfall-Faktor, der für die Position r passend ist, ist deshalb.

Eine heuristische Annäherung für G(r) ist:

:

G(r) \approx {e^ {-\sqrt t r} \over R^ {d-2} }\

\</Mathematik>

Das ist nicht eine genaue Form, außer in drei Dimensionen, wo Wechselwirkungen zwischen Pfaden wichtig werden. Die genauen Formen in hohen Dimensionen sind Varianten von Funktionen von Bessel.

Polymer-Interpretation von Symanzik

Die Interpretation der Korrelationen als befestigte Größe-Quanten, die entlang zufälligen Spaziergängen reisen, gibt eine Weise zu verstehen, warum die kritische Dimension der Wechselwirkung 4 ist. Vom Begriff H kann als das Quadrat der Dichte der zufälligen Spaziergänger an jedem Punkt gedacht werden. In der Größenordnung von solch einem Begriff, um die begrenzten Ordnungskorrelationsfunktionen zu verändern, die nur einige neue zufällige Spaziergänge in die schwankende Umgebung einführen, müssen sich die neuen Pfade schneiden. Sonst ist das Quadrat der Dichte gerade zur Dichte proportional und wechselt nur den H Koeffizienten durch eine Konstante aus. Aber die Kreuzungswahrscheinlichkeit von zufälligen Spaziergängen hängt von der Dimension ab, und zufällige Spaziergänge in der Dimension höher als 4 schneiden sich nicht.

Die fractal Dimension eines gewöhnlichen zufälligen Spaziergangs ist 2. Die Zahl von Bällen der Größe ε erforderlich, die Pfad-Zunahme als zu bedecken. Zwei Gegenstände der fractal Dimension 2 werden sich mit der angemessenen Wahrscheinlichkeit nur in einem Raum der Dimension 4 oder weniger, dieselbe Bedingung bezüglich eines allgemeinen Paares von Flugzeugen schneiden. Kurt Symanzik hat behauptet, dass das andeutet, dass die kritischen Schwankungen von Ising in Dimensionen höher als 4 durch ein freies Feld beschrieben werden sollten. Dieses Argument ist schließlich ein mathematischer Beweis geworden.

4  ε Dimensionen - Wiedernormalisierungsgruppe

Das Ising Modell in vier Dimensionen wird durch ein schwankendes Feld beschrieben, aber jetzt wirken die Schwankungen aufeinander.

In der Polymer-Darstellung sind Kreuzungen von zufälligen Spaziergängen geringfügig möglich. In der Quant-Feldverlängerung wirken die Quanten aufeinander.

Der negative Logarithmus der Wahrscheinlichkeit jeder Feldkonfiguration H ist die freie Energiefunktion

:

F = \int d^4 x \left [{Z \over 2} | \nabla H |^2 + {t\over 2} H^2 + {\\Lambda \over 4!} H^4 \right] \, </Mathematik>

Die numerischen Faktoren sollen dort die Gleichungen der Bewegung vereinfachen. Die Absicht ist, die statistischen Schwankungen zu verstehen.

Wie jeder andere nichtquadratische integrierte Pfad haben die Korrelationsfunktionen eine Vergrößerung von Feynman als Partikeln, die entlang zufälligen Spaziergängen reisen, sich aufspaltend und sich an Scheitelpunkten wieder vereinigend. Die Wechselwirkungskraft wird durch parametrisiert

die klassisch ohne Dimension Menge λ.

Obwohl dimensionale Analyse zeigt, dass sowohl λ als auch Z ohne Dimension, das irreführend ist. Die lange Wellenlänge, die statistische Schwankungen nicht genau sind, erklettert invariant, und wird nur Skala

invariant, wenn die Wechselwirkungskraft verschwindet.

Der Grund besteht darin, dass es eine Abkürzung gibt, die verwendet ist, um H zu definieren, und die Abkürzung die kürzeste Wellenlänge definiert. Schwankungen von H

an Wellenlängen in der Nähe von der Abkürzung kann die Schwankungen der längeren Wellenlänge betreffen. Wenn das System zusammen mit der Abkürzung, erklettert wird

die Rahmen werden durch die dimensionale Analyse klettern, aber dann das Vergleichen von Rahmen vergleicht Verhalten weil der nicht

wiederschuppiges System hat mehr Weisen. Wenn das System auf solche Art und Weise wiedererklettert wird, dass die kurze Wellenlänge-Abkürzung fest, der bleibt

Schwankungen der langen Wellenlänge werden modifiziert.

Wiedernormalisierung von Wilson

Eine schnelle heuristische Weise, das Schuppen zu studieren, soll den H wavenumbers an einem Punkt λ abschneiden. Fourier

Weisen von H mit dem wavenumbers, der größer ist als λ, wird nicht erlaubt zu schwanken. Ein Wiederschuppen der Länge das

machen Sie das ganze System kleinere Zunahmen der ganze wavenumbers, und bewegt einige Schwankungen über der Abkürzung.

Um die alte Abkürzung wieder herzustellen, führen Sie eine teilweise Integration über den ganzen wavenumbers durch, der gepflegt hat, verboten zu werden, aber ist

jetzt das Schwanken. In Feynman Diagrammen, über eine schwankende Weise an wavenumber integrierend, verbindet k Linien

das Tragen des Schwungs k in einer Korrelation fungiert in Paaren mit einem Faktor des umgekehrten Verbreiters.

Unter dem Wiederschuppen, wenn das System durch einen Faktor (1+b) zusammenschrumpfen gelassen wird, schraubt der t Koeffizient durch einen Faktor (1+b) ^2 durch hoch

dimensionale Analyse. Die Änderung in t für unendlich kleinen b ist 2bt. Die anderen zwei Koeffizienten sind ohne Dimension und

ändern Sie sich überhaupt nicht.

Die niedrigste Ordnungswirkung der Integrierung kann von den Gleichungen der Bewegung berechnet werden:

:

\nabla^2 H + t H = - {\\Lambda \over 6\H^3.

\</Mathematik>

Diese Gleichung ist eine Identität innerhalb jeder Korrelationsfunktion weg von anderen Einfügungen. Nach der Integrierung des

Weisen damit

Da die Form der Gleichung bewahrt wird, um die Änderung in Koeffizienten zu finden, ist es genügend, den zu analysieren

Änderung im Begriff. In einer Diagramm-Vergrößerung von Feynman, dem Begriff in

eine Korrelationsfunktion innerhalb einer Korrelation hat drei baumelnde Linien. Das Verbinden zwei von ihnen an großem wavenumber k

gibt eine Änderung mit einer baumelnder Linie, die deshalb zu H proportional ist:

:

\delta H^3 = 3H \int_ {\\Lambda

Der Faktor 3 kommt aus der Tatsache, dass die Schleife auf drei verschiedene Weisen geschlossen werden kann.

Das Integral sollte in zwei Teile gespalten werden:

:

\int dk {1\over k^2} - t \int dk {1\over k^2 (k^2 + t)} = A\Lambda^2 b + B b t

\</Mathematik>

der erste Teil ist zu t nicht proportional, und in der Gleichung der Bewegung kann es von einer unveränderlichen Verschiebung in t gefesselt sein.

Es wird durch die Tatsache verursacht, dass der Begriff einen geradlinigen Teil hat. Teil ist des Werts von t unabhängig.

Nur der zweite Begriff, der sich von t bis t ändert, trägt zum kritischen Schuppen bei.

Dieser neue geradlinige Begriff fügt zum ersten Begriff linker Hand Seite hinzu, sich t durch einen zu t proportionalen Betrag ändernd. Der

die Gesamtänderung in t ist die Summe des Begriffes von der dimensionalen Analyse und dieses zweiten Begriffes von

Maschinenbediener-Produkte:

:

\delta t = \Bigl (2 - {B\lambda \over 2} \Bigl) b t

</Mathematik>

So wird t wiedererklettert, aber seine Dimension ist anomal, wird er durch einen Betrag proportionaler geändert

zum Wert von λ.

Aber λ ändert sich auch. Die Änderung im Lambda verlangt das Betrachten des Linienaufspaltens und dann

schnell Neuanschluss. Der niedrigste Ordnungsprozess ist derjenige wo eine der drei Linien von Spalten in

drei, der sich schnell einer der anderen Linien von demselben Scheitelpunkt anschließt. Die Korrektur zum Scheitelpunkt ist

:

\delta \lambda = - {3 \lambda^2 \over 2} \int_k dk {1 \over (k^2 + t) ^2} = - {3\lambda^2 \over 2} b

\</Mathematik>

Der numerische Faktor ist dreimal größer, weil es einen Extrafaktor drei in der Auswahl welch von den drei gibt

neue Linien, um sich zusammenzuziehen.

So

:

\delta \lambda = - 3 B \lambda^2 b

\</Mathematik>

Diese zwei Gleichungen definieren zusammen die Wiedernormalisierungsgruppengleichungen in vier Dimensionen:

:

{dt \over t} = \Bigl (2 - {B\lambda \over 2 }\\Bigr) b

\</Mathematik>:\</Mathematik>

Der Koeffizient B wird durch die Formel bestimmt

:

B b = \int_ {\\Lambda

Und ist zum Gebiet eines dreidimensionalen Bereichs des Radius λ, Zeiten die Breite des proportional

Integrationsgebiet hat sich durch geteilt

:

B = (2 \pi^2 \Lambda^3) {1\over (2\pi) ^4} {b \Lambda} {1 \over b\Lambda^4} = {1\over 8\pi^2}

\</Mathematik>

In anderen Dimensionen, den unveränderlichen B-Änderungen, aber derselben Konstante erscheint sowohl im T-Fluss als auch im Kopplungsfluss. Der Grund besteht darin, dass die Ableitung in Bezug auf t des geschlossenen Regelkreises mit einem einzelnen Scheitelpunkt ein geschlossener Regelkreis mit zwei Scheitelpunkten ist. Das bedeutet, dass der einzige Unterschied zwischen dem Schuppen der Kopplung und dem t die kombinatorischen Faktoren davon ist, sich anzuschließen und sich aufzuspalten.

Wilson-Fischer-Punkt

Drei Dimensionen zu untersuchen, die aus der vier dimensionalen Theorie anfangen, sollte möglich sein, weil die Kreuzungswahrscheinlichkeiten von zufälligen Spaziergängen unaufhörlich vom dimensionality des Raums abhängen. Auf der Sprache von Graphen von Feynman ändert sich die Kopplung sehr viel nicht, wenn die Dimension geändert wird.

Der Prozess des Weitergehens weg von der Dimension vier wird ohne eine Vorschrift dafür nicht völlig gut definiert, wie man es tut. Die Vorschrift wird nur auf Diagrammen gut definiert. Es ersetzt die Darstellung von Schwinger in der Dimension 4 mit der Darstellung von Schwinger in der Dimension, die definiert ist durch:

:

G (x-y) = \int d\tau {1 \over t^ {d\over 2}} e^ = \tanh (\beta JH)

\</Mathematik>

Die Lösungen dieser Gleichung sind die möglichen konsequenten Mittelfelder. Dafür

Die Instabilität bedeutet, dass die Erhöhung des Mittelfeldes über der Null ein kleines bisschen einen statistischen Bruchteil von Drehungen erzeugt, die + sind, der größer ist als der Wert des Mittelfeldes. So wird ein Mittelfeld, das über der Null schwankt, ein noch größeres Mittelfeld erzeugen, und wird sich schließlich an der stabilen Lösung niederlassen. Das bedeutet, dass für Temperaturen unter dem kritischen Wert das Mittelmodell von Feld Ising einen Phase-Übergang in der Grenze von großem N erlebt.

Über der kritischen Temperatur werden Schwankungen in H befeuchtet, weil das Mittelfeld die Schwankung zum Nullfeld wieder herstellt. Unter der kritischen Temperatur wird das Mittelfeld zu einem neuen Gleichgewicht-Wert gesteuert, der entweder der positive H oder die negative H Lösung der Gleichung ist.

Da gerade unter der kritischen Temperatur der Wert von H von der Vergrößerung von Taylor des Tangenss hyperbolicus berechnet werden kann:

:

H = \tanh (\beta J H) = (1 +\epsilon) H - {(1 +\epsilon) ^3H^3\over 3 }\

\</Mathematik>

sich durch H teilend, um die nicht stabile Lösung an H = 0 zu verwerfen, sind die stabilen Lösungen:

:

H = \sqrt {3\varepsilon }\

\</Mathematik>

Die spontane Magnetisierung H wächst in der Nähe vom kritischen Punkt als die Quadratwurzel der Änderung in der Temperatur. Das ist wahr, wann auch immer H von der Lösung einer analytischen Gleichung berechnet werden kann, die zwischen positiven und negativen Werten symmetrisch ist, die Landau dazu gebracht haben zu vermuten, dass alle Typ-Phase-Übergänge Ising in allen Dimensionen diesem Gesetz folgen sollten.

Die Mittelfeldhochzahl ist universal, weil Änderungen im Charakter von Lösungen analytischer Gleichungen immer durch Katastrophen in der Reihe von Taylor beschrieben werden, die eine polynomische Gleichung ist. Durch die Symmetrie muss die Gleichung für H nur sonderbare Mächte von H auf der rechten Seite haben. Das Ändern β sollte nur die Koeffizienten glatt ändern. Der Übergang geschieht, wenn der Koeffizient von H auf der rechten Seite 1 ist. In der Nähe vom Übergang:

:

H = {\\teilweise (\beta F) \over \partial h\= (1+A\epsilon) H + B H^3 + \cdots

\</Mathematik>

Was auch immer A und B sind, so lange keiner von ihnen auf die Null abgestimmt wird, wird die sponetaneous Magnetisierung als die Quadratwurzel von ε wachsen. Dieses Argument kann nur scheitern, wenn die freie Energie entweder nichtanalytisch oder am genauen β spezifisch ist, wo der Übergang vorkommt.

Aber die spontane Magnetisierung in magnetischen Systemen und die Dichte in gasses in der Nähe vom kritischen Punkt werden sehr accuratedly gemessen. Die Dichte und die Magnetisierung in drei Dimensionen haben dieselbe mit der Machtgesetzabhängigkeit von der Temperatur in der Nähe vom kritischen Punkt, aber das Verhalten von Experimenten ist:

:

H \propto \epsilon^ {0.308 }\

\</Mathematik>

Die Hochzahl ist auch universal, es ist dasselbe im Modell von Ising als im experimentellen Magnet und Benzin, aber es ist dem Mittelfeldwert nicht gleich. Das war eine große Überraschung.

Das ist auch in zwei Dimensionen, wo wahr

:

H\propto \varepsilon^ {0.125 }\

\</Mathematik>

Aber dort war es nicht eine Überraschung, weil es von Onsager vorausgesagt wurde.

Niedrige Dimensionen - blockieren Drehungen

In drei Dimensionen ist die perturbative Reihe aus der Feldtheorie eine Vergrößerung in einer Kopplungskonstante λ, der nicht besonders klein ist. Die wirksame Größe der Kopplung am festen Punkt ist ein über den sich verzweigenden Faktor der Partikel-Pfade, so ist der Vergrößerungsparameter über 1/3. In zwei Dimensionen ist der perturbative Vergrößerungsparameter 2/3.

Aber Wiedernormalisierung kann auch auf die Drehungen direkt produktiv angewandt werden, ohne zu einem durchschnittlichen Feld zu gehen. Historisch ist diese Annäherung wegen Leo Kadanoffs und hat den perturbative ε Vergrößerung zurückdatiert.

Die Idee ist, Gitter-Drehungen wiederholend zu integrieren, einen Fluss in Kopplungen erzeugend. Aber jetzt sind die Kopplungen Gitter-Energiekoeffizienten. Die Tatsache, dass eine Kontinuum-Beschreibung Garantien besteht, dass diese Wiederholung zu einem festen Punkt zusammenlaufen wird, wenn die Temperatur auf criticality abgestimmt wird.

Wiedernormalisierung von Migdal-Kadanoff

Schreiben Sie das zwei dimensionale Modell von Ising mit einer unendlichen Zahl von möglichen höheren Ordnungswechselwirkungen. Um Drehungsnachdenken-Symmetrie zu behalten, tragen nur sogar Mächte bei:

:

E = \sum_ {ij} J_ {ij} S_i S_j + \sum J_ {ijkl} S_i S_j S_k S_l \ldots.

\</Mathematik>

Durch die Übersetzung invariance, ist nur eine Funktion von i-j. Durch die zufällige Rotationssymmetrie auf freiem Fuß ich und j hängt seine Größe nur vom Umfang des zwei dimensionalen Vektoren i-j ab. Die höheren Ordnungskoeffizienten werden auch ähnlich eingeschränkt.

Die Wiedernormalisierungswiederholung teilt sich das Gitter in zwei Teile - spinnt sogar und sonderbare Drehungen. Die sonderbaren Drehungen leben von den Gitter-Positionen des sonderbaren Damebrettes und den gleichen auf dem gleichen Damebrett. Wenn die Drehungen durch die Position mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden (ich, j), sind die sonderbaren Seiten diejenigen mit dem i+j seltsam und die gleichen Seiten diejenigen mit i+j sogar, und sogar Seiten werden nur mit sonderbaren Seiten verbunden.

Die zwei möglichen Werte der sonderbaren Drehungen werden durch das Summieren über beide möglichen Werte integriert. Das wird eine neue freie Energiefunktion für das restliche erzeugen sogar spinnt mit neuen angepassten Kopplungen. Sogar Drehungen sind wieder in einem Gitter mit Äxten, die an 45 Graden zu den alten gekippt sind. Das Undrehen des Systems stellt die alte Konfiguration, aber mit neuen Rahmen wieder her. Diese Rahmen beschreiben die Wechselwirkung zwischen Drehungen in größeren Entfernungen.

Das Starten vom Modell von Ising und das Wiederholen dieser Wiederholung ändern schließlich alle Kopplungen. Wenn die Temperatur höher ist als kritisch, werden die Kopplungen zur Null zusammenlaufen, da die Drehungen in großen Entfernungen unkorreliert sind. Aber wenn die Temperatur kritisch ist, wird es Nichtnullkoeffizienten geben, die Drehungen an allen Ordnungen verbinden. Dem Fluss kann näher gekommen werden, indem er nur die ersten paar Begriffe gedacht wird. Dieser gestutzte Fluss wird besser und bessere Annäherungen an die kritischen Hochzahlen erzeugen, wenn mehr Begriffe eingeschlossen werden.

Die einfachste Annäherung soll nur den üblichen J-Begriff behalten, und etwas anderes verwerfen. Das wird einen Fluss in J erzeugen, der dem Fluss in t am festen Punkt von λ in der ε Vergrößerung analog ist.

Um die Änderung in J zu finden, denken Sie die vier Nachbarn einer sonderbaren Seite. Das sind die einzigen Drehungen, die damit aufeinander wirken. Der multiplicative Beitrag zur Teilungsfunktion von der Summe über die zwei Werte der Drehung an der sonderbaren Seite ist:

:

e^ {J (N _ + - n_-)} + e^ {J (n_-N _ +)} = 2 \cosh (J (N _ + - n_-))

\</Mathematik>

wo die Zahl von Nachbarn sind, die + und  sind. Den Faktor 2 ignorierend, ist der freie Energiebeitrag von dieser sonderbaren Seite:

:

F = \log (\cosh (J (N _ + - n_-))).

\</Mathematik>

Das schließt nächste nächst-nächste und Nachbarnachbarwechselwirkungen, wie erwartet, ein, sondern auch eine Vier-Drehungen-Wechselwirkung, die verworfen werden soll. Um zu nächsten Nachbarwechselwirkungen zu stutzen, denken Sie, dass der Unterschied in der Energie zwischen allen Drehungen dieselben und gleichen Anzahlen + und - ist:

:

\Delta F = \ln (\cosh (4J)).

\</Mathematik>

Wo D die Dimension des Gitters ist, ist D drei. Von nächsten Nachbarkopplungen ist der Unterschied in der Energie zwischen allen Drehungen gleiche und gestaffelte Drehungen 8J. Der Unterschied in der Energie zwischen allen Drehungen gleiche und nichterschütterte, aber Nettonulldrehung ist 4J. Vier-Drehungen-Wechselwirkungen ignorierend, ist eine angemessene Stutzung der Durchschnitt dieser zwei Energien oder 6J. Da jede Verbindung zu zwei sonderbaren Drehungen beitragen wird, ist der richtige Wert, um sich mit dem vorherigen zu vergleichen, Hälfte davon:

:

3J' = \ln (\cosh (4J)).

\</Mathematik>

Für kleinen J fließt das schnell in die Nullkopplung. Der Fluss des großen J zu großen Kopplungen. Die Magnetisierungshochzahl wird vom Hang der Gleichung am festen Punkt bestimmt.

Varianten dieser Methode erzeugen gute numerische Annäherungen für die kritischen Hochzahlen, wenn viele Begriffe in zwei und drei Dimensionen eingeschlossen werden.

Anwendungen

Magnetismus

Die ursprüngliche Motivation für das Modell war das Phänomen des Ferromagnetismus. Eisen ist magnetisch; sobald es magnetisiert wird, bleibt es magnetisiert seit langem im Vergleich zu jedem atomaren

Zeit.

Im 19. Jahrhundert wurde es gedacht, dass magnetische Felder wegen Ströme in der Sache sind, und Ampère verlangt hat, dass dauerhafte Magnete durch dauerhafte Atomströme verursacht werden. Die Bewegung von klassischen beladenen Partikeln konnte dauerhafte Ströme obwohl, wie gezeigt, durch Larmor nicht erklären. Um Ferromagnetismus zu haben, müssen die Atome dauerhafte magnetische Momente haben, die nicht wegen der Bewegung von klassischen Anklagen sind.

Sobald die Drehung des Elektrons entdeckt wurde, war es klar, dass der Magnetismus wegen einer Vielzahl von Elektronen sein sollte, die in derselben Richtung spinnen. Es war natürlich, wie der zu fragen

Elektronen wissen alle der Richtung, weil die Elektronen auf einer Seite eines Magnets zu spinnen

wirken Sie mit den Elektronen auf der anderen Seite nicht direkt aufeinander. Sie können nur ihre Nachbarn beeinflussen. Das Ising Modell wurde entworfen, um nachzuforschen, ob ein großer Bruchteil der Elektronen gemacht werden konnte, in derselben Richtung mit nur lokale Kräfte zu spinnen.

Gitter-Benzin

Das Ising Modell kann als ein statistisches Modell für die Bewegung von Atomen wiederinterpretiert werden. Da die kinetische Energie von der Position nur vom Schwung nicht abhängt, hängt die Statistik der Positionen nur von der potenziellen Energie ab, die Thermodynamik des Benzins hängt nur von der potenziellen Energie für jede Konfiguration von Atomen ab.

Ein raues Modell soll Raum-Zeit ein Gitter machen und sich vorstellen, dass jede Position entweder ein Atom enthält oder es nicht tut. Der Raum der Konfiguration ist der von unabhängigen Bit, wo jedes Bit entweder 0 oder 1 je nachdem ist, ob die Position besetzt wird oder nicht. Eine attraktive Wechselwirkung reduziert die Energie von zwei nahe gelegenen Atomen. Wenn die Anziehungskraft nur zwischen nächsten Nachbarn ist, wird die Energie durch für jedes besetzte benachbarte Paar reduziert.

Die Dichte der Atome kann durch das Hinzufügen eines chemischen Potenzials kontrolliert werden, das multiplicative Wahrscheinlichkeitskosten ist, um ein mehr Atom hinzuzufügen. Ein multiplicative Faktor in der Wahrscheinlichkeit kann als ein zusätzlicher Begriff im Logarithmus - die Energie wiederinterpretiert werden. Die Extraenergie einer Konfiguration mit N Atomen wird dadurch geändert. Die Wahrscheinlichkeitskosten eines mehr Atoms sind ein Faktor dessen.

So ist die Energie des Gitter-Benzins:

:

E = - \frac {1} {2} \sum_ {\\langle i, j \rangle} 4 J B_i B_j + \sum_i \mu B_i

\</Mathematik>

Das Neuschreiben der Bit in Bezug auf Drehungen.

:

E = - \frac {1} {2} \sum_ {\\langle i, j \rangle} J S_i S_j - \frac {1} {2} \sum_i (4 J - \mu) S_i

\</Mathematik>

Für Gitter, wo jede Seite eine gleiche Anzahl von Nachbarn hat, ist das das Modell von Ising mit einem magnetischen Feld, wo die Zahl von Nachbarn ist.

Pairwise hat Bit aufeinander bezogen

Die Tätigkeit von Neuronen im Gehirn kann statistisch modelliert werden. Jedes Neuron jederzeit

ist entweder aktiv + oder untätiger . Die aktiven Neurone sind diejenigen, die einem Handlungspotenzial unten den axon in jedem gegebenen Zeitfenster senden, und die untätigen diejenigen sind, die nicht tun. Weil die Nerventätigkeit zu irgendeiner Zeit durch unabhängige Bit modelliert wird, hat Hopfield vorgeschlagen, dass ein dynamisches Modell von Ising eine erste Annäherung an ein Nervennetz zur Verfügung stellen würde, das zum Lernen fähig ist.

Im Anschluss an die allgemeine Annäherung von Jaynes, eine neue Interpretation von Schneidman, Beere, Segev und Bialek,

ist das das Modell von Ising ist für jedes Modell der Nervenfunktion nützlich, weil ein statistisches Modell für die Nerventätigkeit mit dem Grundsatz des maximalen Wärmegewichtes gewählt werden sollte. In Anbetracht einer Sammlung von Neuronen führt ein statistisches Modell, das die durchschnittliche schießende Quote für jedes Neuron wieder hervorbringen kann, einen Vermehrer von Lagrange für jedes Neuron ein:

:

E = - \sum_i h_i S_i

</Mathematik>

Aber die Tätigkeit jedes Neurons in diesem Modell ist statistisch unabhängig. Zu berücksichtigen

Paar-Korrelationen, wenn ein Neuron dazu neigt, zu schießen (oder nicht zu schießen), zusammen mit einem anderen, führen mit dem Paar kluge lagrange Vermehrer ein:

:

E = - \frac {1} {2} \sum_ {ij} J_ {ij} S_i S_j - \sum_i h_i S_i

</Mathematik>

Diese Energiefunktion führt nur Wahrscheinlichkeitsneigungen für eine Drehung ein, die einen Wert und für ein Paar von Drehungen hat, die denselben Wert haben. Höhere Ordnungskorrelationen sind durch die Vermehrer zwanglos. Ein von diesem Vertrieb probiertes Tätigkeitsmuster verlangt, dass die größte Zahl von Bit in einem Computer, im effizientesten Codierschema vorstellbar, im Vergleich zu jedem anderen Vertrieb mit derselben durchschnittlichen Tätigkeit und pairwise Korrelationen versorgt. Das bedeutet, dass Modelle von Ising für jedes System wichtig sind, das durch Bit beschrieben wird, die so zufällig sind wie möglich, mit Einschränkungen auf die pairwise Korrelationen und die durchschnittliche Zahl 1s, der oft sowohl in den physischen als auch in Sozialwissenschaften vorkommt.

Drehungsbrille

Mit Ising modellieren die so genannte Drehungsbrille kann auch, von üblichem Hamiltonian beschrieben werden

wo die S-Variablen die Drehungen von Ising beschreiben, während die J von einem zufälligen Vertrieb genommen werden. Für die Drehungsbrille wählt ein typischer Vertrieb antimagnetische Obligationen mit der Wahrscheinlichkeit p und eisenmagnetische Obligationen mit der Wahrscheinlichkeit 1-p. Diese Obligationen bleiben fest oder "gelöscht" sogar in Gegenwart von Thermalschwankungen. Wenn p=0 wir das ursprüngliche Modell von Ising haben. Dieses System verdient Interesse an seinem eigenen; besonders man hat "non-ergodic" Eigenschaften, die zu fremdem Entspannungsverhalten führen.

Siehe auch

• Drehungsmodelle
• Quadratgitter Ising Modell
• Klassisches Heisenberg Modell
• Quant Heisenberg Modell
• Modell von Kuramoto
• XY Modell
• Modell von Potts (üblich mit dem Ashkin-Erzähler-Modell)
• Maximale Ebenheit
• Netz von Hopfield
• ANNNI Modell
• Geometrisch vereitelter Magnet
• T-J-Modell
• Algorithmus von Swendsen-Wang
• Algorithmus von Wolff
• Ising kritische Hochzahlen
• J. C. Ward

Kommentare

• Stephen G. Brush (1967), Geschichte des Lenz-Ising Modells. Rezensionen der Modernen Physik (amerikanische Physische Gesellschaft) vol. 39, Seiten 883-893. (10.1103/RevModPhys.39.883)
• Ross Kindermann und J. Laurie Snell (1980), Markov Zufällige Felder und Ihre Anwendungen. Amerikanische Mathematische Gesellschaft. Internationale Standardbuchnummer 0-8218-3381-2.
• Barry M. McCoy und Tai Tsun Wu (1973), Das Zweidimensionale Ising Modell. Universität von Harvard Presse, Cambridge Massachusetts, internationale Standardbuchnummer 0-674-91440-6
• John Palmer (2007), Planare Ising Korrelationen. Birkhäuser, Boston, internationale Standardbuchnummer 978-0-8176-4248-8.

Links

• Barry A. Cipra, "Das Ising Modell ist NP-complete", SIAM Nachrichten, Vol. 33, Nr. 6; Online-Ausgabe (.pdf)
• Berichte, warum das Modell von Ising genau im Allgemeinen seit nichtplanaren Modellen von Ising nicht gelöst werden kann, sind NP-complete.
• Artikel Science World über das Ising Modell
• Ein Ising Applet durch die Syracuse Universität
• Netter dynamischer 2. Ising Applet
• Größerer/mehr komplizierter 2. Ising Applet
• Ein netter HTML5 Ising Mustersimulation
• Ising Mustersimulation durch Enrique Zeleny, das Wolfram-Demonstrationsprojekt
• Phase-Übergänge auf Gittern
• Dreidimensionaler Beweis für den Ising Musterunmöglichen, Forscher von Sandia fordert
• Multi-GPU hat mehrfach umdrehende Simulationen von Monte Carlo des 2. Modells von Ising beschleunigt
• Interaktive dynamische Simulation für MacOs von 2. ising Modell auf einem Quadratgitter