In der Mathematik ist eine einheitliche Darstellung einer Gruppe G eine geradlinige Darstellung π von G auf einem komplizierten Raum von Hilbert V solch, dass π (g) ein einheitlicher Maschinenbediener für jeden g  G ist. Die allgemeine Theorie wird gut entwickelt, im Falle dass G eine lokal kompakte (Hausdorff) topologische Gruppe ist und die Darstellungen stark dauernd sind.

Die Theorie ist in der Quant-Mechanik weit angewandt worden, da die 1920er Jahre, besonders unter Einfluss 1928 von Hermann Weyl Gruppentheorie und Quantenmechanik vorbestellen. Einer der Pioniere im Konstruieren einer allgemeinen Theorie von einheitlichen Darstellungen, für jede Gruppe G aber nicht gerade für besondere in Anwendungen nützliche Gruppen, war George Mackey.

Zusammenhang in der harmonischen Analyse

Die Theorie von einheitlichen Darstellungen von Gruppen wird mit der harmonischen Analyse nah verbunden. Im Fall von einer abelian Gruppe G wird ein ziemlich ganzes Bild der Darstellungstheorie von G durch die Dualität von Pontryagin gegeben. Im Allgemeinen setzen die einheitlichen Gleichwertigkeitsklassen von nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellungen von G seinen einheitlichen Doppel-zusammen. Dieser Satz kann mit dem Spektrum C*-algebra verbunden zu G von der Gruppe C*-algebra Aufbau identifiziert werden. Das ist ein topologischer Raum.

Die allgemeine Form des Lehrsatzes von Plancherel versucht, die regelmäßige Darstellung von G auf L (G) mittels eines Maßes auf dem einheitlichen Doppel-zu beschreiben. Für G abelian das wird durch die Dualitätstheorie von Pontryagin gegeben. Für den kompakten G wird das durch den Lehrsatz von Peter-Weyl getan; in diesem Fall ist der einheitliche Doppel-ein getrennter Raum, und das Maß fügt ein Atom jedem Punkt der seinem Grad gleichen Masse bei.

Formelle Definitionen

Lassen Sie G eine topologische Gruppe sein. Eine stark dauernde einheitliche Darstellung von G auf einem Raum von Hilbert H ist ein Gruppenhomomorphismus von G in die einheitliche Gruppe von H,

solch, dass g  π (g) ξ eine Norm dauernde Funktion für jeden ξ  H. ist

Bemerken Sie, dass, wenn G eine Lüge-Gruppe ist, der Raum von Hilbert auch zulässt, glatten und analytischen Strukturen zu unterliegen. Wie man sagt, ist ein Vektor ξ in H glatt oder analytisch, wenn die Karte g  π (g) ξ glatt oder (in der Norm oder den schwachen Topologien auf H) analytisch ist. Glatte Vektoren sind in H durch ein klassisches Argument von Lars Gårding, seit der Gehirnwindung nach glatten Funktionen von Kompaktunterstützungserträgen glatte Vektoren dicht. Analytische Vektoren sind durch ein klassisches Argument von Edward Nelson dicht, der von Roe Goodman verstärkt ist, da Vektoren im Image eines Hitzemaschinenbedieners e, entsprechend einem elliptischen Differenzialoperatoren D in der universalen Einschlagen-Algebra von G, analytisch sind. Nicht nur bilden glatte oder analytische Vektoren dichte Subräume; sie formen sich auch allgemeine Kerne für das unbegrenzte verdrehen Maschinenbediener entsprechend den Elementen der Lüge-Algebra im Sinne der geisterhaften Theorie-adjoint.

Ganzer reducibility

Eine einheitliche Darstellung ist im Sinn völlig reduzierbar, der für irgendwelchen invariant Subraum geschlossen hat, ist die orthogonale Ergänzung wieder ein geschlossener invariant Subraum. Das ist am Niveau einer Beobachtung, aber ist ein grundsätzliches Eigentum. Zum Beispiel deutet es an, dass begrenzte dimensionale einheitliche Darstellungen immer eine direkte Summe von nicht zu vereinfachenden Darstellungen im algebraischen Sinn sind.

Da einheitliche Darstellungen viel leichter sind zu behandeln als der allgemeine Fall, ist es natürlich, unitarizable Darstellungen, diejenigen zu denken, die einheitlich auf der Einführung einer passenden komplizierten Raumstruktur von Hilbert werden. Das arbeitet sehr gut für begrenzte Gruppen, und mehr allgemein für Kompaktgruppen durch ein auf eine willkürliche hermitian Struktur angewandtes Mittelwertbildungsargument. Zum Beispiel ist ein natürlicher Beweis des Lehrsatzes von Maschke durch diesen Weg.

Unitarizability und die einheitliche Doppelfrage

Im Allgemeinen, für Nichtkompaktgruppen, ist es eine ernstere Frage, welche Darstellungen unitarizable sind. Eines der wichtigen ungelösten Probleme in der Mathematik ist die Beschreibung des einheitlichen Doppel-, die wirksame Klassifikation von nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellungen aller echten reduktiven Lüge-Gruppen. Alle nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellungen sind zulässig (oder eher sind ihre Harish-Chandra Module), und die zulässigen Darstellungen werden durch die Klassifikation von Langlands gegeben, und es ist leicht zu erzählen, welcher von ihnen einen nichttrivialen invariant sesquilinear Form hat. Das Problem besteht darin, dass es im Allgemeinen hart ist zu erzählen, wenn diese Form bestimmt positiv ist. Weil sich viele reduktive Lüge gruppiert, ist das gelöst worden; sieh Darstellungstheorie von SL2(R) und Darstellungstheorie der Gruppe von Lorentz für Beispiele.

Referenzen

Siehe auch

• Die einheitliche Darstellung eines Sterns Liegt Superalgebra
• Darstellungstheorie von SL2(R)
• Darstellungen der Gruppe von Lorentz
• Kugelförmige Zonenfunktion
• Veranlasste Darstellungen
• Lehrsatz von Stone-Von Neumann