In der Quant-Feldtheorie ist Dirac spinor der bispinor in der Lösung der Flugzeug-Welle

:

der freien Gleichung von Dirac,

:

wo (in den Einheiten)

: ist ein relativistischer spin-1/2 Feld,

: ist Dirac spinor, der mit einer Flugzeug-Welle mit dem Welle-Vektoren, verbunden ist

:

: ist der vier Welle-Vektor der Flugzeug-Welle, wo, willkürlich

ist

: sind die vier Koordinaten in einem gegebenen Trägheitsbezugssystem.

Dirac spinor für die Lösung der positiven Frequenz kann als geschrieben werden

:

\omega_\vec {p} =

\begin {bmatrix }\

\phi \\\frac {\\vec {\\Sigma }\\vec {p}} {E_ {\\vec {p}} + m\\phi

\end {bmatrix} \;

</Mathematik>wo

: ist ein willkürlicher zwei-spinor,

: sind Pauli matrices,

: ist die positive Quadratwurzel

Abstammung von der Gleichung von Dirac

Die Dirac Gleichung hat die Form

:

Um die Form des vier-spinor abzuleiten, müssen wir zuerst den Wert des matrices α und β bemerken:

:

Diese zwei 4×4 matrices sind mit dem Gamma von Dirac matrices verbunden. Bemerken Sie, dass 0 und ich 2×2 matrices hier bin.

Der nächste Schritt soll nach Lösungen der Form suchen

:während

man sich zur gleichen Zeit ω in zwei zwei-spinors aufspaltet:

:.

Ergebnisse

Das Verwenden von der ganzen obengenannten Information, um in die Gleichung von Dirac einzustecken, läuft auf hinaus

:

\begin {bmatrix} M \mathbf {ich} & \vec {\\Sigma }\\vec {p} \\\vec {\\Sigma }\\vec {p} &-m \mathbf {ich} \end {bmatrix} \begin {bmatrix} \phi \\\chi \end {bmatrix} \, </Mathematik>.

Diese Matrixgleichung ist wirklich zwei verbundene Gleichungen:

Lösen Sie die 2. Gleichung dafür, und man erhält

:.

Lösen Sie die 1. Gleichung dafür, und man findet

:.

Diese Lösung ist nützlich, für die Beziehung zwischen Antiteilchen und Partikel zu zeigen.

Details

Zwei-spinors

Die günstigsten Definitionen für den zwei-spinors sind:

:und:

Pauli matrices

Pauli matrices sind

:

\sigma_1 =

\begin {bmatrix }\

0&1 \\

1&0

\end {bmatrix }\

\quad \quad

\sigma_2 =

\begin {bmatrix }\

0&-i \\

i&0

\end {bmatrix }\\quad \quad

\sigma_3 =

\begin {bmatrix }\

1&0 \\

0&-1

\end {bmatrix }\</Mathematik>

Mit diesen kann man rechnen:

:

\begin {bmatrix}

p_3 & p_1 - ich p_2 \\

p_1 + ich p_2 & - p_3

\end {bmatrix} </Mathematik>

Vier-spinor für Partikeln

Partikeln werden definiert als, positive Energie zu haben. Die Normalisierung für den vier-spinor ω wird so dass gewählt. Diese spinors werden als u angezeigt:

:\begin {bmatrix}

\phi^ {(s) }\\\

\frac {\\vec {\\Sigma} \cdot \vec {p}} {E+m} \phi^ {(s) }\

\end {bmatrix} \, </Mathematik>

wo s = 1 oder 2 (spinnen oder "unten")

,

Ausführlich,

:

1 \\

0 \\

\frac {p_3} {E+m} \\

\frac {p_1 + ich p_2} {E+m }\

\end {bmatrix} \quad \mathrm {und} \quad

u (\vec {p}, 2) = \sqrt {E+m} \begin {bmatrix }\

0 \\1 \\

\frac {p_1 - ich p_2} {E+m} \\

\frac {-p_3} {E+m}

\end {bmatrix} </Mathematik>

Vier-spinor für Antiteilchen

Antiteilchen, die positive Energie haben, werden als Partikeln definiert, die negative Energie haben und sich rückwärts rechtzeitig fortpflanzen. Folglich wird das Ändern des Zeichens und im vier-spinor für Partikeln den vier-spinor für Antiteilchen geben:

:\begin {bmatrix}

\frac {\\vec {\\Sigma} \cdot \vec {p}} {E+m} \chi^ {(s) }\\\

\chi^ {(s) }\

\end {bmatrix} \, </Mathematik>

Hier wählen wir die Lösungen. Ausführlich,

:\frac {p_1 - ich p_2} {E+m} \\

\frac {-p_3} {E+m} \\

0 \\

1

\end {bmatrix} \quad \mathrm {und} \quad

v (\vec {p}, 2) = \sqrt {E+m} \begin {bmatrix }\

\frac {p_3} {E+m} \\

\frac {p_1 + ich p_2} {E+m} \\

1 \\0 \\\end {bmatrix} </Mathematik>

Vollständigkeitsbeziehungen

Die Vollständigkeitsbeziehungen für den vier-spinors u und v sind

::wo

: (sieh Feynman Notation aufschlitzen)

:

Dirac spinors und die Algebra von Dirac

Dirac matrices sind eine Reihe vier 4×4 matrices, die als Drehung verwendet werden und Maschinenbediener beladen.

Vereinbarung

Es gibt mehrere Wahlen der Unterschrift und Darstellung, die in der üblichen Anwendung in der Physik-Literatur sind. Dirac matrices werden normalerweise als wo Läufe von 0 bis 3 geschrieben. In dieser Notation, 0 entspricht Zeit, und 1 bis 3 entsprechen x, y, und z.

+    Unterschrift wird manchmal die metrische Westküste genannt, während der  + + + die metrische Ostküste ist. In dieser Zeit +    Unterschrift ist in mehr üblicher Anwendung, und unser Beispiel wird diese Unterschrift verwenden. Um von einem Beispiel bis den anderen umzuschalten, multiplizieren Sie alle damit.

Nach der Auswahl der Unterschrift gibt es viele Weisen, eine Darstellung in 4&times;4 matrices zu bauen, und viele sind in der üblichen Anwendung. Um dieses Beispiel so allgemein zu machen, wie möglich wir keine Darstellung bis zum Endschritt angeben werden. Damals werden wir im "chiral" oder "der Weyl" Darstellung, wie verwendet, im populären Absolventenlehrbuch Eine Einführung in die Quant-Feldtheorie von Michael E. Peskin und Daniel V. Schroeder einsetzen.

Aufbau

Zuerst wählen wir eine Drehungsrichtung für unser Elektron oder Positron. Als mit dem Beispiel der Algebra von Pauli, die oben besprochen ist, wird die Drehungsrichtung durch einen Einheitsvektor in 3 Dimensionen, (a, b, c) definiert. Im Anschluss an die Tagung von Peskin & Schroeder, dem Drehungsmaschinenbediener für die Drehung in (a, b, c) wird Richtung als das Punktprodukt (a, b, c) mit dem Vektoren definiert

::

Bemerken Sie, dass der obengenannte eine Wurzel der Einheit, d. h. es Quadrate zu 1 ist. Folglich können wir einen Vorsprung-Maschinenbediener davon machen, der die Subalgebra der Algebra von Dirac plant, die Drehung hat, die in (a, b, c) Richtung orientiert ist:

:

Jetzt müssen wir eine Anklage, +1 (Positron) oder 1 (Elektron) wählen. Im Anschluss an die Vereinbarung von Peskin & Schroeder ist der Maschinenbediener für die Anklage, d. h. Elektronstaaten werden einen eigenvalue 1 in Bezug auf diesen Maschinenbediener nehmen, während Positron-Staaten einen eigenvalue +1 nehmen werden.

Bemerken Sie, dass das auch eine Quadratwurzel der Einheit ist. Außerdem, pendelt damit. Sie bilden einen ganzen Satz von pendelnden Maschinenbedienern für die Algebra von Dirac. Mit unserem Beispiel weitermachend, suchen wir nach einer Darstellung eines Elektrons mit der Drehung in (a, b, c) Richtung. Sich in einen Vorsprung-Maschinenbediener für die Anklage = 1 verwandelnd, haben wir

:

Der Vorsprung-Maschinenbediener für den spinor, den wir suchen, ist deshalb das Produkt der zwei Vorsprung-Maschinenbediener, die wir gefunden haben:

:

Der obengenannte Vorsprung-Maschinenbediener, wenn angewandt, auf jeden spinor, wird diesen Teil des spinor geben, der dem Elektronstaat entspricht, den wir suchen. Deshalb, um 4×1 spinor niederzuschreiben, nehmen wir irgendwelchen nicht Nullsäule der obengenannten Matrix. Das Beispiel fortsetzend, stellen wir (a, b, c) = (0, 0, 1) und haben

:

und so unser gewünschter Vorsprung-Maschinenbediener ist

:

\frac {1} {4 }\\ist (1 +\gamma^0 +i\gamma^1\gamma^2 + i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\right) </Mathematik> abgereist

4×4 Gamma matrices verwendet in Peskin & Schroeder (Darstellung von Weyl) sind

::

für k = 1, 2, 3, und wo das übliche 2×2 Pauli matrices sind. Das Ersetzen von diesen in für P gibt

:

\frac12\begin {bmatrix} 1&0&1&0 \\0&0&0&0 \\1&0&1&0 \\0&0&0&0 \end {bmatrix} </Mathematik>

Unsere Antwort ist irgendwelcher nicht Nullsäule der obengenannten Matrix. Die Abteilung durch zwei ist gerade eine Normalisierung. Die ersten und dritten Säulen geben dasselbe Ergebnis:

:

\begin {bmatrix} 1 \\0 \\1 \\0\end {bmatrix} </Mathematik>

Mehr allgemein, für Elektronen und Positrone mit der Drehung, die in (a, b, c) Richtung orientiert ist, ist der Vorsprung-Maschinenbediener

:

1+c&a-ib& \pm (1+c) &\\Premierminister (a-ib) \\

a+ib&1-c& \pm (a+ib) &\\Premierminister (1-c) \\

\pm (1+c) &\\Premierminister (a-ib) &1+c&a-ib \\

\pm (a+ib) &\\Premierminister (1-c)

&a+ib&1-c \end {bmatrix} </Mathematik>

wo die oberen Zeichen für das Elektron sind und die niedrigeren Zeichen für den Positron sind. Der entsprechende spinor kann als irgendwelcher nicht Nullsäule genommen werden. Da die verschiedenen Säulen Vielfachen desselben spinor sind.

Siehe auch

• Gleichung von Dirac