In der Gruppentheorie ist eine einfache Lüge-Gruppe ein verbundener non-abelian Liegen Gruppe G, der nichttriviale verbundene normale Untergruppen nicht hat.

Eine einfache Lüge-Algebra ist ein non-abelian Liegen Algebra, deren nur Ideale 0 und es sind. Eine direkte Summe von einfachen Lüge-Algebra wird eine halbeinfache Lüge-Algebra genannt.

Eine gleichwertige Definition einer einfachen Lüge-Gruppe folgt aus der Lüge-Ähnlichkeit: Eine verbundene Lüge-Gruppe ist einfach, wenn seine Lüge-Algebra einfach ist. Ein wichtiger technischer Punkt ist das

eine einfache Lüge-Gruppe kann getrennte normale Untergruppen enthalten, folglich eine einfache Lüge-Gruppe zu sein, ist davon verschieden, als eine abstrakte Gruppe einfach zu sein.

Einfache Lüge-Gruppen schließen viele klassische Lüge-Gruppen ein, die eine gruppentheoretische Untermauerung für die sphärische Geometrie, projektive Geometrie und verwandte Geometrie im Sinne des Erlangen Programmes von Felix Klein zur Verfügung stellen. Es hat sich im Laufe der Klassifikation von einfachen Lüge-Gruppen herausgestellt, dass dort auch mehrere außergewöhnliche Möglichkeiten nicht entsprechend jeder vertrauten Geometrie bestehen. Diese außergewöhnlichen Gruppen sind für viele spezielle Beispiele und Konfigurationen in anderen Zweigen der Mathematik, sowie zeitgenössische theoretische Physik verantwortlich.

Während der Begriff einer einfachen Lüge-Gruppe von der axiomatischen Perspektive, in Anwendungen der Lüge-Theorie, wie die Theorie von Riemannian symmetrische Räume befriedigt, haben sich etwas allgemeinere Begriffe von halbeinfachen und reduktiven Lüge-Gruppen erwiesen, noch nützlicher zu sein. Insbesondere jede verbundene Kompaktlüge-Gruppe ist reduktiv, und die Studie von Darstellungen von allgemeinen reduktiven Gruppen ist ein Hauptzweig der Darstellungstheorie.

Kommentare zur Definition

Leider gibt es keine einzelne Standarddefinition einer einfachen Lüge-Gruppe. Die Definition, die oben gegeben ist, wird manchmal auf die folgenden Weisen geändert:

• Zusammenhang: Gewöhnlich einfache Lüge-Gruppen werden definitionsgemäß verbunden. Das schließt getrennte einfache Gruppen aus (das sind nulldimensionale Lüge-Gruppen, die als abstrakte Gruppen einfach sind) sowie orthogonale Gruppen getrennt hat.
• Zentrum: Gewöhnlich einfachen Lüge-Gruppen wird erlaubt, ein getrenntes Zentrum zu haben; zum Beispiel hat SL(R) ein Zentrum des Auftrags 2, aber wird noch als eine einfache Lüge-Gruppe aufgezählt. Wenn das Zentrum (und nicht die ganze Gruppe) dann nichttrivial ist, ist die einfache Lüge-Gruppe als eine abstrakte Gruppe nicht einfach. Einige Autoren verlangen, dass das Zentrum einer einfachen Lüge-Gruppe begrenzt (oder trivial ist); der universale Deckel von SL(R) ist ein Beispiel einer einfachen Lüge-Gruppe mit dem unendlichen Zentrum.
• R: Gewöhnlich wird die Gruppe R reeller Zahlen unter der Hinzufügung (und sein Quotient R/Z) als einfache Lüge-Gruppen nicht aufgezählt, wenn auch sie verbunden werden und eine Lüge-Algebra ohne richtige Nichtnullideale haben. Gelegentlich definieren Autoren einfache Lüge-Gruppen auf solche Art und Weise, dass R einfach ist, obwohl das manchmal scheint, ein verursachter Unfall durch das Überblicken dieses Falls zu sein.
• Matrixgruppen: Einige Autoren schränken sich ein, um Gruppen Zu liegen, die als Gruppen von begrenztem matrices vertreten werden können. Die metaplectic Gruppe ist ein Beispiel einer einfachen Lüge-Gruppe, die auf diese Weise nicht vertreten werden kann.
• Komplizierte Lüge-Algebra: Die Definition einer einfachen Lüge-Algebra ist unter der Erweiterung von Skalaren nicht stabil. Der complexification einer komplizierten einfachen Lüge-Algebra, wie sl (C) ist halbeinfach, aber nicht einfach.

Die allgemeinste Definition ist diejenige oben: Einfache Lüge-Gruppen müssen verbunden werden, ihnen wird erlaubt, nichttriviale Zentren zu haben (vielleicht unendlich), sie brauchen durch begrenzten matrices nicht wiederpräsentabel zu sein, und sie müssen non-abelian sein.

Methode der Klassifikation

Solche Gruppen werden mit der vorherigen Klassifikation der komplizierten einfachen Lüge-Algebra klassifiziert: Für der sieh die Seite auf Wurzelsystemen. Es wird gezeigt, dass eine einfache Lüge-Gruppe eine einfache Lüge-Algebra hat, die auf der Liste gegeben dort vorkommen wird, sobald es complexified (d. h. gemacht in einen komplizierten Vektorraum aber nicht einen echten) ist. Das reduziert die Klassifikation auf zwei weitere Sachen.

Echte Formen

Die Gruppen SO (p, q, R) und SO (p+q, R) verursachen zum Beispiel verschiedene echte Lüge-Algebra, aber dasselbe Diagramm von Dynkin zu haben. Im Allgemeinen kann es verschiedene echte Formen derselben komplizierten Lüge-Algebra geben.

Beziehung von einfachen Lüge-Algebra zu Gruppen

Zweitens bestimmt die Lüge-Algebra nur einzigartig den einfach verbundenen (universalen) Deckel G* des Bestandteils, der die Identität einer Lüge-Gruppe G enthält. Es kann gut geschehen, dass G* nicht wirklich eine einfache Gruppe ist, zum Beispiel ein nichttriviales Zentrum habend. Wir müssen uns deshalb über die globale Topologie sorgen, indem wir die grundsätzliche Gruppe von G schätzen (eine abelian Gruppe: Eine Lüge-Gruppe ist ein H-Raum). Das wurde von Élie Cartan getan.

Für ein Beispiel, nehmen Sie die speziellen orthogonalen Gruppen sogar Dimension an. Mit der Nichtidentitätsmatrix −I im Zentrum sind das nicht wirklich einfache Gruppen; und einen zweifachen Drehungsdeckel habend, sind sie auch nicht einfach verbunden. Sie liegen 'zwischen' G* und G in der Notation oben.

Klassifikation durch das Diagramm von Dynkin

Gemäß der Klassifikation von Dynkin haben wir als Möglichkeiten diese nur, wo n die Zahl von Knoten ist:

Unendliche Reihe

Eine Reihe

A, A...

Ein Entsprechen zur speziellen geradlinigen Gruppe, SL (r+1).

B Reihe

B, B...

B entspricht der speziellen orthogonalen Gruppe, SO (2r+1).

C Reihe

C, C...

C entspricht der symplectic Gruppe, Sp (2r).

D Reihe

D, D...

D entspricht der speziellen orthogonalen Gruppe, SO (2r). Bemerken Sie, dass SO (4) nicht eine einfache Gruppe ist, dennoch. Das Dynkin Diagramm hat zwei Knoten, die nicht verbunden werden. Es gibt einen surjective Homomorphismus von SO (3) * × SO (3) * zu SO (4) gegeben durch die quaternion Multiplikation; sieh quaternions und Raumfolge. Deshalb fangen die einfachen Gruppen hier mit D an, der als ein Diagramm zu A in Ordnung bringt. Mit D gibt es eine 'exotische' Symmetrie des Diagramms entsprechend so genanntem triality.

Ausnahmefälle

Weil die so genannten Ausnahmefälle G, F, E, E, und E sehen. Diese Fälle werden 'außergewöhnlich' gehalten, weil sie in die unendliche Reihe von Gruppen der zunehmenden Dimension nicht fallen. Aus dem Gesichtswinkel von jeder Gruppe genommen getrennt gibt es nichts so Ungewöhnliches über sie. Diese außergewöhnlichen Gruppen wurden 1890 in der Klassifikation der einfachen Lüge-Algebra, über die komplexen Zahlen (Wilhelm Killing entdeckt, der von Élie Cartan nochmals getan ist). Für einige Zeit war es ein Forschungsproblem, um konkrete Wege zu finden, auf die sie zum Beispiel als eine Symmetrie-Gruppe eines Differenzialsystems entstehen.

Siehe auch E

Einfach Laced-Gruppen

Einfach laced Gruppe ist eine Lüge-Gruppe, deren Diagramm von Dynkin nur einfache Verbindungen enthalten, und deshalb alle Nichtnullwurzeln der entsprechenden Lüge-Algebra dieselbe Länge haben. Der A, D und die E Reihe-Gruppen sind alle einfach laced, aber keine Gruppe des Typs B, C, F, oder G ist einfach laced.

Siehe auch

• Matrix von Cartan
• Matrix von Coxeter
• Gruppe von Weyl
• Gruppe von Coxeter
• Kac-launische Algebra
• Katastrophe-Theorie