In der Mathematik ist ein symplectic Vektorraum ein Vektorraum V (über ein Feld, zum Beispiel die reellen Zahlen R) ausgestattet mit einer bilinearen Form ω: V × V  R, der ist

• Verdrehen Sie - symmetrisch: ω (u, v) =  ω (v, u) für den ganzen u, v  V.
• Völlig isotropischer ω (v, v) = 0 für den ganzen v  V.
• Nichtdegeneriert: wenn ω (u, v) = 0 für den ganzen v  V dann u = 0.

Wie man

sagt, ist die bilineare Form ω eine Symplectic-Form in diesem Fall.

In der Praxis brauchen die obengenannten drei Eigenschaften (verdrehen - symmetrisch, isotropisch und nichtdegeneriert), nicht alle überprüft zu werden, um zu sehen, dass eine bilineare Form symplectic ist:

• Das Verdrehen - symmetrisches Eigentum ist überflüssig (als eine Bedingung), weil es aus dem isotropischen Eigentum (angewandt auf v, auf u und zu v+u und dann verbunden) folgt. Folglich, das Verdrehen - symmetrisches Eigentum braucht nicht überprüft zu werden, wenn, wie man bekannt, das isotropische Eigentum hält.
• Wenn das zu Grunde liegende Feld Eigenschaft  2 hat, ist das isotropische Eigentum zum Verdrehen - symmetrisches Eigentum wirklich gleichwertig. So braucht das isotropische Eigentum nicht überprüft zu werden, wenn das Verdrehen - wie man bekannt, symmetrisches Eigentum hält und das Feld Eigenschaft 2 hat. Andererseits, wenn die Eigenschaft 2, das Verdrehen ist - wird symmetrisches Eigentum dadurch einbezogen, aber, bezieht das isotropische Eigentum nicht ein. In diesem Fall ist jede Symplectic-Form eine symmetrische Form, aber nicht umgekehrt.

In einer festen Basis arbeitend, kann ω durch eine Matrix vertreten werden. Die drei Bedingungen sagen oben, dass diese Matrix sein muss, verdrehen - symmetrisch und nichtsingulär. Das ist nicht dasselbe Ding wie eine symplectic Matrix, die eine symplectic Transformation des Raums vertritt.

Wenn V dann endlich-dimensional ist, muss seine Dimension sogar notwendigerweise sein seit jedem verdrehen Sie - hat die symmetrische Matrix der sonderbaren Größe bestimmende Null.

Eine Symplectic-Form benimmt sich ganz verschieden von einer symmetrischen Form wie das Punktprodukt auf Euklidischen Vektorräumen. Mit einem Euklidischen Skalarprodukt g haben wir g (v, v)> 0 für alle Nichtnullvektoren v.

Standard symplectic Raum

Der Standard symplectic Raum ist R mit der durch einen nichtsingulären gegebenen Symplectic-Form, verdrehen Sie - symmetrische Matrix. Normalerweise wird ω gewählt, um die Block-Matrix zu sein

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wo ich der n × n Identitätsmatrix bin. In Bezug auf Basisvektoren (x..., x, y..., y):

::

Eine modifizierte Version des Prozesses des Gramms-Schmidt zeigt, dass jeder endlich-dimensionale symplectic Vektorraum eine solche Basis hat, dass ω diese Form, häufig genannt eine Basis von Darboux annimmt.

Es gibt eine andere Weise, diesen Standard symplectic Form zu interpretieren. Da der Musterraum R verwendet oben viel kanonische Struktur trägt, die zu Missdeutung leicht führen könnte, werden wir "anonyme" Vektorräume stattdessen verwenden. Lassen Sie V ein echter Vektorraum der Dimension n und V seines Doppelraums sein. Denken Sie jetzt die direkte Summe W: = V  haben V dieser Räume mit der folgenden Form ausgestattet:

:

Wählen Sie jetzt jede Basis (v..., v) von V und denken Sie seine Doppelbasis

:

Wir können die Basisvektoren als liegend in W interpretieren, wenn wir schreiben

x = (v, 0) und y = (0, v). Genommen zusammen bilden diese eine ganze Basis von W,

:Wie man

zeigen kann, hat die Form ω definiert hier dieselben Eigenschaften wie am Anfang dieser Abteilung; mit anderen Worten ist jede symplectic Struktur zu einer der Form V  V isomorph. Der Subraum V ist nicht einzigartig, und eine Wahl des Subraums V wird eine Polarisation genannt. Die Subräume, die solch einen Isomorphismus geben, werden Subräume von Lagrangian oder einfach Lagrangians genannt.

Ausführlich, in Anbetracht eines Subraums von Lagrangian (wie definiert, unten), dann definiert eine Wahl der Basis (x..., x) eine Doppelbasis für eine Ergänzung durch

Analogie mit komplizierten Strukturen

Da jede symplectic Struktur zu einer der Form V  V isomorph ist, ist jede komplizierte Struktur auf einem Vektorraum zu einer der Form V  V isomorph. Mit diesen Strukturen hat das Tangente-Bündel einer N-Sammelleitung, betrachtet als eine 2n-Sammelleitung, eine fast komplizierte Struktur, und das Kotangens-Bündel einer N-Sammelleitung, betrachtet als eine 2n-Sammelleitung, hat eine symplectic Struktur:

Das komplizierte Analogon zu einem Subraum von Lagrangian ist ein echter Subraum, ein Subraum, dessen complexification der ganze Raum ist: W = V  J V.

Volumen-Form

Lassen Sie ω eine Form auf einem n-dimensional echten Vektorraum V, ω  Λ (V) sein. Dann ist ω nichtdegeneriert, wenn, und nur wenn n sogar ist, und ω = ω ...  ω eine Volumen-Form ist. Eine Volumen-Form auf einem n-dimensional Vektorraum V ist ein Nichtnullvielfache der N-Form e ...  e, wo e, e..., e eine Basis V ist.

Für die in der vorherigen Abteilung definierte Standardbasis haben wir

:

Durch die Umstellung kann man schreiben

:

Autoren definieren verschiedenartig ω oder (1) ω als die Standardvolumen-Form. Ein gelegentlicher Faktor von n! Mai erscheint auch je nachdem, ob die Definition des Wechselproduktes einen Faktor von n enthält! oder nicht. Die Volumen-Form definiert eine Orientierung auf dem symplectic Vektorraum (V, ω).

Karte von Symplectic

Nehmen Sie an, dass (V, ω) und (W, ρ) symplectic Vektorräume sind. Dann wird eine geradlinige Karte eine Symplectic-Karte genannt, wenn das Hemmnis die Symplectic-Form bewahrt, d. h., wo die Hemmnis-Form dadurch definiert wird. Bemerken Sie, dass Symplectic-Karten Volumen-Bewahrung, Orientierungsbewahrung sind, und Vektorraum-Isomorphismus sind.

Gruppe von Symplectic

Wenn V = W, dann wird eine Symplectic-Karte eine geradlinige symplectic Transformation V genannt. Insbesondere in diesem Fall hat man das und so die geradlinige Transformation ƒ bewahrt die Symplectic-Form. Der Satz aller symplectic Transformationen bildet eine Gruppe und insbesondere eine Lüge-Gruppe, genannt die symplectic Gruppe und angezeigt durch Sp (V) oder manchmal Sp (V, ω). In der Matrixform symplectic Transformationen werden durch symplectic matrices gegeben.

Subräume

Lassen Sie W ein geradliniger Subraum V sein. Definieren Sie die symplectic Ergänzung von W, um der Subraum zu sein

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Die symplectic Ergänzung befriedigt:

::

Jedoch, verschieden von orthogonalen Ergänzungen, W  braucht W nicht 0 zu sein. Wir unterscheiden vier Fälle:

• W ist symplectic wenn W  W = {0}. Das ist wahr, wenn, und nur wenn ω auf eine nichtdegenerierte Form auf W einschränkt. Ein symplectic Subraum mit der eingeschränkten Form ist ein symplectic Vektorraum in seinem eigenen Recht.
• W ist wenn W  W isotropisch. Das ist wahr, wenn, und nur wenn ω auf 0 auf W einschränkt. Jeder eindimensionale Subraum ist isotropisch.
• W ist coisotropic wenn W  W. W ist coisotropic, wenn, und nur wenn ω zu einer nichtdegenerierten Form auf dem Quotient-Raum W/W hinuntersteigt. Gleichwertig ist W coisotropic, wenn, und nur wenn W isotropisch ist. Jeder codimension ein Subraum ist coisotropic.
• W ist Lagrangian wenn W = W. Ein Subraum ist Lagrangian, wenn, und nur wenn es sowohl isotropisch ist als auch coisotropic. In einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist ein Subraum von Lagrangian ein isotropischer, dessen Dimension halb mehr als das V ist. Jeder isotropische Subraum kann zu Lagrangian ein erweitert werden.

Mit Bezug auf den kanonischen Vektorraum R oben,

• der Subraum, der durch {x, y} abgemessen ist, ist symplectic
• der Subraum, der durch {x, x} abgemessen ist, ist isotropischer
• der Subraum, der durch {x, x..., x, y} abgemessen ist, ist coisotropic
• der Subraum, der durch {x, x..., x} abgemessen ist, ist Lagrangian.

Gruppe von Heisenberg

Eine Heisenberg Gruppe kann für jeden symplectic Vektorraum definiert werden, und das ist die allgemeine Weise, wie Gruppen von Heisenberg entstehen.

Von einem Vektorraum kann als eine Ersatzlüge-Gruppe (unter der Hinzufügung), oder gleichwertig als eine Ersatzlüge-Algebra gedacht werden, mit der trivialen Lüge-Klammer bedeutend. Die Heisenberg Gruppe ist eine Haupterweiterung solch einer auswechselbaren Lüge-Gruppe/Algebra: Die Symplectic-Form definiert die Umwandlung analog zu den kanonischen Umwandlungsbeziehungen (CCR), und eine Basis von Darboux entspricht kanonischen Koordinaten - in Physik-Begriffen, Schwung-Maschinenbedienern und Positionsmaschinenbedienern.

Tatsächlich, durch den Lehrsatz von Stone-Von Neumann, ist jede Darstellung, die den CCR (jede Darstellung der Gruppe von Heisenberg) befriedigt, von dieser Form, oder richtiger unitarily verbunden zur normalen.

Weiter, die Gruppenalgebra (der Doppel-zu) ein Vektorraum ist die symmetrische Algebra, und die Gruppenalgebra der Gruppe von Heisenberg (des Doppel-) ist die Algebra von Weyl: Man kann an die Haupterweiterung als entsprechend quantization oder Deformierung denken.

Formell ist die symmetrische Algebra V die Gruppenalgebra des Doppel-, Sym (V): = K [V *], und die Algebra von Weyl ist die Gruppenalgebra der (doppel)-Gruppe von Heisenberg W (V) = K [H (V *)]. Seit dem Übergang, um Algebra zu gruppieren, ist eine Kontravariante functor, die zentrale Erweiterungskarte H (V)  V wird eine Einschließung Sym (V)  W (V).

Siehe auch

• Eine Symplectic-Sammelleitung ist eine glatte Sammelleitung mit einer glatt unterschiedlichen geschlossenen Symplectic-Form auf jedem Tangente-Raum
• Index von Maslov
• Eine symplectic Darstellung ist eine Gruppendarstellung, wo jedes Gruppenelement als eine symplectic Transformation handelt.
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden, Fundamente der Mechanik, (1978) Benjamin-Cummings, Londoner internationale Standardbuchnummer 0 8053 0102 X Sehen Kapitel 3.