Der Begriff wird *-algebra unten nach dem ersten Definieren *-ring definiert.

*-ring

In der Mathematik, ist *-ring ein assoziativer Ring mit einer Karte *: Ein , der ein antiautomorphism und eine Involution ist.

Genauer, * ist erforderlich, die folgenden Eigenschaften zu befriedigen:

für den ganzen x, y in A.

Das wird auch einen Involutive-Ring, involutory Ring und Ring mit der Involution genannt. Bemerken Sie, dass das dritte Axiom wirklich überflüssig ist, weil die zweiten und vierten Axiome einbeziehen, ist auch eine Identität, und Identität ist einzigartig.

Solche Elemente, die selbst adjungiert oder Hermitian genannt werden.

Man kann eine Sesquilinear-Form über irgendwelchen *-ring definieren.

*-algebra

*-algebra ist A *-ring, der eine assoziative Algebra über einen auswechselbaren *-ring R, mit * das Einigen ist.

Die Basis ist *-ring gewöhnlich die komplexen Zahlen (mit *, als komplizierte Konjugation handelnd), und pendelt mit A.

Da R zentral ist, * auf A ist in R verbunden-geradlinig, bedeutend

für.

*-homomorphism ist Algebra-Homomorphismus, der mit den Involutionen von A und B, d. h., vereinbar

• für alle in A.

*-operation

*-operation darauf ist *-ring eine Operation auf einem Ring, der sich ähnlich zur komplizierten Konjugation auf den komplexen Zahlen benimmt. *-operation darauf ist *-algebra eine Operation auf einer Algebra über *-ring, der sich ähnlich zum Annehmen adjoints benimmt.

Beispiele

• Das vertrauteste Beispiel dessen ist *-algebra das Feld von komplexen Zahlen C, wo * gerade komplizierte Konjugation ist.
• Mehr allgemein, die Konjugationsinvolution in jeder Algebra von Cayley-Dickson wie die komplexen Zahlen, quaternions und octonions, wenn ein blindes Auge auf dem nonassociativity der Letzteren gedreht wird.
• Ein anderes Beispiel ist die Matrixalgebra n×n matrices über C mit * gegeben durch das verbundene stellen um.
• Seine Generalisation, Hermitian adjoint eines geradlinigen Maschinenbedieners auf einem Raum von Hilbert ist auch eine Sternalgebra.
• In der Hecke Algebra ist eine Involution für das Kazhdan-Lusztig Polynom wichtig.
• Jeder Ersatzring wird *-ring mit der trivialen Involution.
• Der Endomorphismus-Ring einer elliptischen Kurve wird *-algebra über die ganzen Zahlen, wo die Involution durch die Einnahme des Doppelisogeny gegeben wird. Ähnliche Bauarbeiten für abelian Varianten mit einer Polarisation, in welchem Fall es die rosati Involution genannt wird (sieh die Vortrag-Zeichen von Milne auf abelian Varianten).

Algebra von Involutive Hopf sind wichtige Beispiele *-algebras (mit der zusätzlichen Struktur eines vereinbaren comultiplication); das vertrauteste Beispiel zu sein:

• Die Gruppe Algebra von Hopf: ein Gruppenring, mit der durch gegebenen Involution

Zusätzliche Strukturen

Viele Eigenschaften des Umstellens halten für den General *-algebras:

• Die Hermitian Elemente bilden eine Algebra von Jordan;
• Die verdrehen Elemente von Hermitian bilden eine Lüge-Algebra;
• Wenn 2 invertible ist, dann und sind orthogonaler idempotents, genannt symmetrizing und anti-symmetrizing, so zersetzt sich die Algebra als eine direkte Summe von symmetrischen und antisymmetrischen (Hermitian und verdrehen Hermitian), Elemente. Diese Zergliederung ist als ein Vektorraum, nicht als eine Algebra, weil die idempotents Maschinenbediener, nicht Elemente der Algebra sind.

Verdrehen Sie Strukturen

Gegeben *-ring gibt es auch die Karte.

Das ist nicht *-ring Struktur (wenn die Eigenschaft 2 nicht ist, in welchem Fall es zum Original * identisch ist), als (so * ist nicht ein Ringhomomorphismus), weder es antimultiplicative ist, aber es befriedigt die anderen Axiome (geradlinig, Involution) und ist folglich ziemlich ähnlich.

Elemente, die durch diese Karte befestigt sind (d. h., solch dass) werden genannt verdrehen Hermitian.

Für die komplexen Zahlen mit der komplizierten Konjugation sind die reellen Zahlen die Elemente von Hermitian, und die imaginären Zahlen sind verdrehen Hermitian.

Siehe auch

• B*-algebra
• C*-algebra
• Algebra von von Neumann
• Baer rufen an
• Maschinenbediener-Algebra