In der Mathematik (anti-) ist Involution oder eine Involutary-Funktion, eine Funktion f, der sein eigenes Gegenteil ist:

:f (f (x)) = x für den ganzen x im Gebiet von f.

Allgemeine Eigenschaften

Jede Involution ist eine Bijektion.

Die Identitätskarte ist ein triviales Beispiel einer Involution. Allgemeine Beispiele in der Mathematik von ausführlicheren Involutionen schließen Multiplikation durch −1 in der Arithmetik, der Einnahme von Gegenstücken, Fertigstellung in der Mengenlehre und komplizierten Konjugation ein. Andere Beispiele schließen Kreisinversion, Folge durch eine Halbumdrehung und gegenseitige Ziffern wie die ROT13 Transformation und Beaufort polyalphabetische Ziffer ein.

Die Zahl von Involutionen, einschließlich der Identitätsinvolution, auf einem Satz mit n = 0, 1, 2, … Elemente wird durch eine Wiederauftreten-Beziehung gegeben, die von Heinrich August Rothe 1800 gefunden ist:

:a = = 1;

:a = + (n − 1) a, für n> 1.

Die ersten paar Begriffe dieser Folge sind 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232; diese Zahlen werden die Telefonnummern genannt, und sie zählen auch die Zahl von Gemälden von Young mit einer gegebenen Zahl von Zellen auf.

Involution überall in den Feldern der Mathematik

Euklidische Geometrie

Ein einfaches Beispiel einer Involution des dreidimensionalen Euklidischen Raums ist Nachdenken gegen ein Flugzeug. Das Durchführen eines Nachdenkens bringt zweimal einen Punkt seinen ursprünglichen Koordinaten zurück.

Ein anderer ist das so genannte Nachdenken durch den Ursprung; das ist ein Missbrauch der Sprache, wie es wirklich eine Involution, nicht ein Nachdenken ist.

Diese Transformationen sind Beispiele von affine Involutionen.

Projektive Geometrie

Eine Involution ist ein projectivity der Periode 2, d. h. ein projectivity, der Paare von Punkten auswechselt. Coxeter verbindet drei Lehrsätze auf Involutionen:

• Jeder projectivity, der zwei Punkte auswechselt, ist eine Involution.
• Die drei Paare von Gegenseiten eines Vierecks entsprechen jede Linie (nicht durch einen Scheitelpunkt) in drei Paaren einer Involution.
• Wenn eine Involution einen Invariant-Punkt hat, hat sie einen anderen, und besteht aus der Ähnlichkeit zwischen der Harmonischen paart sich in Bezug auf diese zwei Punkte. In diesem Beispiel wird die Involution "hyperbolisch", während genannt, wenn es keine festen Punkte gibt, ist es "elliptisch".

Ein anderer Typ der Involution, die in der projektiven Geometrie vorkommt, ist eine Widersprüchlichkeit, die eine Korrelation der Periode 2 ist.

Geradlinige Algebra

In der geradlinigen Algebra ist eine Involution ein geradliniger solcher Maschinenbediener T dass. Abgesehen von in der Eigenschaft 2 sind solche Maschinenbediener diagonalizable mit 1s und −1s auf der Diagonale. Wenn der Maschinenbediener orthogonal ist (eine orthogonale Involution), ist es orthonormal diagonalizable.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass eine Basis für einen Vektorraum V gewählt wird, und dass e und e Basiselemente sind. Dort besteht eine geradlinige Transformation f, der e an e sendet, und e an e sendet, und der die Identität auf allen anderen Basisvektoren ist. Es kann dass f (f (x)) =x für den ganzen x in V überprüft werden. D. h. f ist eine Involution V.

Diese Definition streckt sich sogleich bis zu Module aus. In Anbetracht eines Moduls M über einen Ring R wird ein R Endomorphismus f der M eine Involution genannt, wenn f der Identitätshomomorphismus auf der M ist.

Involutionen sind mit idempotents verbunden; wenn 2 invertible dann ist, entsprechen sie auf eine isomorphe Weise.

Algebra von Quaternion

In einer Algebra von Quaternion (anti-) wird Involution durch die folgenden Axiome definiert: Wenn wir eine Transformation denken

x&\\mapsto f (x)

\end {richten} </Mathematik> dann {aus} eine Involution ist

• . Eine Involution ist sein eigenes Gegenteil
• Eine Involution ist geradlinig: und

Eine Antiinvolution folgt dem letzten Axiom, aber stattdessen nicht

Ringtheorie

In der Ringtheorie wird die Wortinvolution gewöhnlich genommen, um einen Antihomomorphismus zu bedeuten, der seine eigene umgekehrte Funktion ist.

Beispiele von Involutionen in allgemeinen Ringen:

• komplizierte Konjugation auf dem komplizierten Flugzeug
• Multiplikation durch j in den komplexen Zahlen des Spalts
• die Einnahme des Umstellens in einem Matrixring.

Gruppentheorie

In der Gruppentheorie ist ein Element einer Gruppe eine Involution, wenn es Auftrag 2 hat; d. h. eine Involution ist ein Element ein solcher, dass ein  e und = e, wo e das Identitätselement ist. Ursprünglich ist diese Definition mit der ersten Definition oben übereingestimmt, seitdem Mitglieder von Gruppen immer Bijektionen von einem Satz in sich waren; d. h. Gruppe wurde gebracht, um Versetzungsgruppe zu bedeuten. Am Ende des 19. Jahrhunderts wurde Gruppe weit gehender definiert, und war entsprechend so Involution.

Eine Versetzung ist eine Involution genau, wenn sie als ein Produkt von einer oder mehr nichtüberlappenden Umstellungen geschrieben werden kann.

Die Involutionen einer Gruppe haben einen großen Einfluss auf die Struktur der Gruppe. Die Studie von Involutionen war in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen instrumental.

Gruppen von Coxeter sind Gruppen, die durch Involutionen mit den Beziehungen erzeugt sind, bestimmt nur durch für Paare der Erzeugen-Involutionen gegebene Beziehungen. Gruppen von Coxeter können unter anderem verwendet werden, um die möglichen regelmäßigen Polyeder und ihre Generalisationen zu höheren Dimensionen zu beschreiben.

Mathematische Logik

Die Operation der Ergänzung in Algebra von Boolean ist eine Involution. Entsprechend befriedigt die Ablehnung in der klassischen Logik das Gesetz der doppelten Ablehnung: ¬¬ A ist zu A gleichwertig.

Allgemein in der nichtklassischen Logik wird Ablehnung, die das Gesetz der doppelten Ablehnung befriedigt, involutive genannt. In der algebraischen Semantik wird solch eine Ablehnung als eine Involution auf der Algebra von Wahrheitswerten begriffen. Beispiele der Logik, die involutive Ablehnung hat, sind Kleene und Bochvar drei geschätzte Logik, Łukasiewicz vielgeschätzte Logik, Fuzzy-Logik IMTL usw. Ablehnung von Involutive wird manchmal als ein zusätzliches Bindewort zur Logik mit der non-involutive Ablehnung hinzugefügt; das, ist zum Beispiel, in der T-Norm krause Logik üblich.

Der involutiveness der Ablehnung ist ein wichtiges Charakterisierungseigentum für die Logik und die entsprechenden Varianten von Algebra. Zum Beispiel, involutive Ablehnung charakterisiert Algebra von Boolean unter Algebra von Heyting. Entsprechend entsteht klassische Logik von Boolean durch das Hinzufügen des Gesetzes der doppelten Ablehnung zur intuitionistic Logik. Dieselbe Beziehung hält auch zwischen MV-Algebra und ZWEISEITIGEN ALGEBRA (und so entsprechend zwischen Łukasiewicz Logik und Fuzzy-Logik-FASS), IMTL und MTL und andere Paare von wichtigen Varianten von Algebra (resp. entsprechende Logik).

Informatik

Der XOR bitwise Operation ist auch eine Involution. XOR Masken wurden einmal verwendet, um Grafik auf Images auf solche Art und Weise zu ziehen, dass die Zeichnung von ihnen zweimal auf dem Hintergrund der Hintergrund zu seinem ursprünglichen Staat zurückkehrt.

Siehe auch

• Automorphism
• Idempotence
• ROT13
• Halbgruppe mit der Involution