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24-Zellen-

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In der Geometrie ist der 24-Zellen-(oder icositetrachoron) der konvexe Stammkunde 4-polytope, oder polychoron, mit dem Symbol von Schläfli {3,4,3}. Es wird auch einen octaplex (kurz für "octahedral Komplex"), octacube, oder Polyoktaeder genannt, octahedral Zellen gebaut werden.

Die Grenze des 24-Zellen-wird aus 24 octahedral Zellen mit sechs Sitzung an jedem Scheitelpunkt, und drei an jedem Rand zusammengesetzt. Zusammen haben sie 96 Dreiecksgesichter, 96 Ränder und 24 Scheitelpunkte. Die Scheitelpunkt-Zahl ist ein Würfel. Der 24-Zellen-ist Selbstdoppel-. Tatsächlich ist der 24-Zellen-der einzigartige Euklidische regelmäßige Selbstdoppelpolytope, der weder ein Vieleck noch ein Simplex ist. Wegen dieses einzigartigen Eigentums hat es keine gute Entsprechung in 3 Dimensionen, aber in 2 Dimensionen ist das Sechseck, zusammen mit allen regelmäßigen Vielecken, Selbstdoppel-.

Aufbauten

Ein 24-Zellen-wird als der konvexe Rumpf seiner Scheitelpunkte gegeben. Die Scheitelpunkte eines 24-Zellen-, der am Ursprung von 4-Räume-, mit Rändern der Länge 1 in den Mittelpunkt gestellt ist, können wie folgt gegeben werden: 8 erhaltene Scheitelpunkte durch das Permutieren

:(±1, 0, 0, 0)

und 16 Scheitelpunkte der Form

:(±½, ±½, ±½, ±½).

Die ersten 8 Scheitelpunkte sind die Scheitelpunkte eines 16-Zellen-Stammkunden, und die anderen 16 sind die Scheitelpunkte des Doppeltesseract. Das gibt einen Aufbau, der zum Ausschnitt eines tesseract in 8 kubische Pyramiden und dann Befestigung von ihnen zu den Seiten eines zweiten tesseract gleichwertig ist. Der analoge Aufbau im 3-Räume-gibt das rhombische Dodekaeder, das jedoch nicht regelmäßig ist.

Wir können weiter die letzten 16 Scheitelpunkte in zwei Gruppen teilen: Diejenigen mit einer geraden Zahl minus () unterzeichnen und diejenigen mit einer ungeraden Zahl. Jede von Gruppen von 8 Scheitelpunkten definiert auch einen 16-Zellen-Stammkunden. Die Scheitelpunkte des 24-Zellen-können dann in drei Sätze acht mit jedem Satz gruppiert werden, der einen Stammkunden 16-Zellen-, und mit der Ergänzung definiert, die den Doppeltesseract definiert.

Die Scheitelpunkte des Doppel-24-Zellen-werden durch alle Versetzungen von gegeben

:(±1, ±1, 0, 0).

Der Doppel-24-Zellen-hat Ränder der Länge 2 und wird in einem 3-Bereiche-vom Radius 2 eingeschrieben.

Eine andere Methode, den 24-Zellen-zu bauen, ist durch die Korrektur des 16-Zellen-. Die Scheitelpunkt-Zahl des 16-Zellen-ist das Oktaeder; so erzeugt der Ausschnitt der Scheitelpunkte des 16-Zellen-am Mittelpunkt seiner Ereignis-Ränder 8 octahedral Zellen. Dieser Prozess berichtigt auch die vierflächigen Zellen der 16-Zellen-, die auch octahedra werden, so die 24 octahedral Zellen des 24-Zellen-bildend.

Tessellations

Ein regelmäßiger tessellation des 4-dimensionalen Euklidischen Raums besteht mit 24 Zellen, genannt eine icositetrachoric Honigwabe, mit dem Symbol von Schläfli {3,4,3,3}. Der regelmäßige Doppeltessellation, {3,3,4,3} hat 16 Zellen. (Siehe auch Liste von regelmäßigem polytopes, der einen dritten regelmäßigen tessellation, die tesseractic Honigwabe {4,3,3,4} einschließt.)

Symmetries, Wurzelsysteme und tessellations

Die 24 Scheitelpunkte des 24-Zellen-vertreten die Wurzelvektoren der einfachen Lüge-Gruppe D. Die Scheitelpunkte können in 3 Hyperflugzeugen, mit den 6 Scheitelpunkt-Oktaeder-Zellen auf Gegenseiten und 12 Scheitelpunkten eines cuboctahedron das Durchführen des Zentrums gesehen werden. Wenn verbunden, mit den 8 Scheitelpunkten des 16-Zellen-vertreten diese Scheitelpunkte die 32 Wurzelvektoren des B und der C einfachen Lüge-Gruppen.

Die 48 Scheitelpunkte (oder genau genommen ihre Radius-Vektoren) des 24-Zellen- und seiner Doppelform das Wurzelsystem des Typs F. Die 24 Scheitelpunkte des Originals 24-Zellen-sowie die 24 Scheitelpunkte der Doppelform lassen Systeme des Typs D einwurzeln; ihre Größen haben das Verhältnis sqrt (2):1. Die volle Symmetrie-Gruppe des 24-Zellen-ist die Gruppe von Weyl von F, der durch das Nachdenken durch die zu den F-Wurzeln orthogonalen Hyperflugzeuge erzeugt wird. Das ist eine lösbare Gruppe des Auftrags 1152. Die Rotationssymmetrie-Gruppe des 24-Zellen-ist des Auftrags 576.

Wenn interpretiert, als der quaternions lassen die F Gitter einwurzeln (der integrierte Spanne der Scheitelpunkte des 24-Zellen-ist), wird unter der Multiplikation geschlossen und ist deshalb Formen ein Ring. Das ist der Ring von Hurwitz integrierter quaternions. Die Scheitelpunkte der 24-Zellen-Form die Gruppe von Einheiten (d. h. die Gruppe von invertible Elementen) im Ring von Hurwitz quaternion (ist diese Gruppe auch bekannt als die binäre vierflächige Gruppe). Die Scheitelpunkte des 24-Zellen-sind genau 24 Hurwitz quaternions mit der Norm quadratisch gemacht 1, und die Scheitelpunkte des Doppel-24-Zellen-sind diejenigen mit der Norm haben 2 übereingestimmt. Das D-Wurzelgitter ist der Doppel-vom F und wird durch den Subring von Hurwitz quaternions mit sogar der quadratisch gemachten Norm gegeben.

Die Voronoi Zellen des D-Wurzelgitters sind regelmäßige 24 Zellen. Entsprechender Voronoi tessellation gibt einen tessellation des 4-dimensionalen Euklidischen Raums durch regelmäßige 24 Zellen. Die 24 Zellen werden an den D Gitter-Punkten in den Mittelpunkt gestellt (Hurwitz quaternions mit sogar der Norm quadratisch gemacht), während die Scheitelpunkte an den F Gitter-Punkten mit der sonderbaren quadratisch gemachten Norm sind. Jeder 24-Zellen-hat 24 Nachbarn, mit denen es ein Oktaeder und 32 Nachbarn teilt, mit denen es nur einen einzelnen Punkt teilt. Acht 24 Zellen treffen sich an jedem gegebenen Scheitelpunkt in diesem tessellation. Das Schläfli Symbol für diesen tessellation ist {3,4,3,3}. Der Doppeltessellation, {3,3,4,3}, ist ein durch regelmäßige 16 Zellen. Zusammen mit dem regelmäßigen tesseract tessellation, {4,3,3,4}, ist das der einzige regelmäßige tessellations von R.

Es ist interessant zu bemerken, dass die Einheitsbälle, die in den 24 Zellen des obengenannten tessellation eingeschrieben sind, die dichteste Gitter-Verpackung von Hyperbereichen in 4 Dimensionen verursachen. Wie man auch gezeigt hat, hat die Scheitelpunkt-Konfiguration des 24-Zellen-die höchstmögliche sich küssende Zahl in 4 Dimensionen gegeben.

Quaternions

Die vierdimensionalen Koordinaten in quaternions, die Punkte einer passend schuppigen und orientierten 24-Zellen-Form eine multiplicative Gruppe übersetzend. Dieses Eigentum gilt für zwei andere regelmäßige polychora, nämlich der 16-Zellen- und 600-Zellen-mit 8 und 120 Punkten beziehungsweise. Die Gruppe von 120 Punkten ist als die icosian Gruppe bekannt.

Vorsprünge

Der Scheitelpunkt passt zuerst Vorsprung des 24-Zellen-in den 3-dimensionalen Raum an hat einen rhombischen dodecahedral Umschlag. Zwölf der 24 octahedral Zellen springen in Paaren auf sechs Quadrat dipyramids vor, die sich am Zentrum des rhombischen Dodekaeders treffen. Die restlichen 12 octahedral Zellen springen auf die 12 rhombischen Gesichter des rhombischen Dodekaeders vor.

Die Zelle passt zuerst Vorsprung des 24-Zellen-in den 3-dimensionalen Raum an hat einen cuboctahedral Umschlag. Zwei der octahedral Zellen, des nächsten und weiteren vom Zuschauer entlang der W-Achse, springen auf ein Oktaeder vor, dessen Scheitelpunkte am Zentrum der Quadratgesichter des cuboctahedron liegen. Die Umgebung dieses Hauptoktaeders liegt die Vorsprünge von 16 anderen Zellen, 8 Paare dass jedes Projekt zu einem der 8 Volumina habend, die zwischen einem Dreiecksgesicht des Hauptoktaeders und dem nächsten Dreiecksgesicht des cuboctahedron liegen. Die restlichen 6 Zellen springen auf die Quadratgesichter des cuboctahedron vor. Das entspricht der Zergliederung des cuboctahedron in ein regelmäßiges Oktaeder und 8 unregelmäßige, aber gleiche octahedra, von denen jeder in Form des konvexen Rumpfs eines Würfels mit zwei entgegengesetzten entfernten Scheitelpunkten ist.

Der Rand passt zuerst Vorsprung an hat einen verlängerten sechseckigen dipyramidal Umschlag, und das Gesicht passt zuerst Vorsprung an hat einen ungleichförmigen sechseckigen bi-antiprismic Umschlag.

Der Scheitelpunkt der erste Perspektivevorsprung des 24-Zellen-in den 3-dimensionalen Raum hat einen tetrakis hexahedral Umschlag. Das Lay-Out von Zellen in diesem Image ist dem Image unter dem parallelen Vorsprung ähnlich.

Die folgende Folge von Images zeigt die Struktur der Zelle der erste Perspektivevorsprung des 24-Zellen-in 3 Dimensionen. 4D wird Gesichtspunkt in einer Entfernung von fünfmal dem Radius des Scheitelpunkt-Zentrums des 24-Zellen-gelegt.

Drei Coxeter Gruppenaufbauten

Es gibt zwei niedrigere Symmetrie-Formen des 24-Zellen-, abgeleiteten als ein berichtigter 16-Zellen-, mit B oder [3,3,4] Symmetrie gezogener bicolored mit 8 und 16 octahedral Zellen. Letzt kann es von D oder [3] Symmetrie gebaut, und tricolored mit 8 octahedra jeder gezogen werden.

Vergegenwärtigung

Der 24-Zellen-besteht aus 24 octahedral Zellen. Zu Vergegenwärtigungszwecken ist es günstig, dass das Oktaeder gegenüberliegende parallele Gesichter hat (ein Charakterzug, den es mit den Zellen des tesseract und dem 120-Zellen-teilt). Man kann Oktaeder von Angesicht zu Angesicht in einer Begabung der Gerade in der 4. Richtung in einen großen Kreis mit einem Kreisumfang von 6 Zellen aufschobern. Die Zellpositionen leihen sich zu einer hyperkugelförmigen Beschreibung. Picken Sie eine willkürliche Zelle auf und etikettieren Sie sie der "Nordpol". Acht große Kreismeridiane (zwei Zellen lange) strahlen in 3 Dimensionen aus, am 3. "Südpol" Zelle zusammenlaufend. Dieses Skelett ist für 18 der 24 Zellen (2 + 8*2) verantwortlich. Sieh den Tisch unten.

Es gibt einen anderen zusammenhängenden großen Kreis im 24-Zellen-, dem Doppel-von demjenigen oben. Ein Pfad, der 6 Scheitelpunkte allein entlang Rändern überquert, wohnt im Doppel-von diesem polytope, der selbst ist, da es selbst Doppel-ist. Man kann diesem Pfad in einer Übergabe des äquatorialen cuboctahedron Querschnitts leicht folgen. Man kann auch einem großen Kreisweg durch die gegenüberliegenden Scheitelpunkte der Oktaeder folgen, der vier Zellen lange ist. Das entspricht dem Überqueren diagonal durch die Quadrate im cuboctahedron Querschnitt. Der 24-Zellen-ist der einzige regelmäßige polytope in mehr als zwei Dimensionen, wo Sie einen großen Kreis rein durch gegenüberliegende Scheitelpunkte (und das Interieur) jeder Zelle überqueren können. Dieser große Kreis ist selbst Doppel-.

Am Nordpol anfangend, können wir den 24-Zellen-in 5 Breitenschichten aufbauen. Mit Ausnahme von den Polen vertritt jede Schicht einen getrennten 2-Bereiche-mit dem Äquator, der ein 2-Bereiche-Großes ist. Die Zellen etikettiert äquatorial im folgenden Tisch sind zum Meridian große Kreiszellen zwischenräumlich. Die zwischenräumlichen "äquatorialen" Zellen berühren die Meridian-Zellen an ihren Gesichtern. Sie berühren einander und die Pol-Zellen an ihren Scheitelpunkten. Diese letzte Teilmenge von acht Nichtmeridian und Pol-Zellen hat dieselbe Verhältnisposition zu einander wie die Zellen in einem (8-Zellen-) tesseract, obwohl sie in ihren Scheitelpunkten statt ihrer Gesichter anlegen.

Der 24-Zellen-kann in zusammenhanglose Sätze von vier dieser großen 6-Zellen-Kreisringe verteilt werden, getrennten Hopf fibration von vier ineinander greifenden Ringen bildend. Ein Ring ist "vertikal", die Pol-Zellen und vier Meridian-Zellen umfassend. Die anderen drei Ringe umfasst jeder zwei äquatoriale Zellen und vier Meridian-Zellen, zwei von der Nordhemisphäre und zwei vom südlichen.

Zusammenhängend 4-polytopes

Mehrere Uniform polychora kann aus dem 24-Zellen-über die Stutzung abgeleitet werden:

das Beschneiden an 1/3 der Rand-Länge gibt den gestutzten 24-Zellen-nach;
das Beschneiden an 1/2 der Rand-Länge gibt den berichtigten 24-Zellen-nach;
und das Beschneiden an der Hälfte der Tiefe zu den Doppel-24-Zellen-Erträgen der bitruncated 24-Zellen-, der zelltransitiv ist.

Die 96 Ränder des 24-Zellen-können ins goldene Verhältnis verteilt werden, um die 96 Scheitelpunkte der 24-Zellen-Brüskierung zu erzeugen. Das wird durch die ersten Stellen-Vektoren entlang den solchen 24-Zellen-Rändern getan, dass jedes zweidimensionale Gesicht durch einen Zyklus begrenzt wird, dann ähnlich jeden Rand ins goldene Verhältnis entlang der Richtung seines Vektoren verteilend. Eine analoge Modifizierung zu einem Oktaeder erzeugt ein Ikosaeder, oder "stumpfes Oktaeder."

Zusammenhängende Uniform polytopes

Der 24-Zellen-kann auch als ein berichtigter 16-Zellen-abgeleitet werden:

Siehe auch

Die 24-Zellen-Familie der Uniform polychora
H.S.M. Coxeter:
H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger Polytopes, 3. Ausgabe, Dover New York, 1973
Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H.S.M. Coxeter, editied durch F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Zwischenwissenschaftsveröffentlichung, 1995, internationale Standardbuchnummer 978-0-471-01003-6

http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html

(Papier 22) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Regelmäßiger Halbpolytopes I, [Mathematik. Zeit. 46 (1940) 380-407, HERR 2,10]
(Papier 23) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Halbregelmäßiger Polytopes II, [Mathematik. Zeit. 188 (1985) 559-591]
(Papier 24) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Halbregelmäßiger Polytopes III, [Mathematik. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Uniform von Norman Johnson Polytopes, Manuskript (1991)
N.W. Johnson: Die Theorie von gleichförmigem Polytopes und Honigwaben, Dr. (1966)