In der Physik sind die Axiome von Wightman ein Versuch einer mathematisch strengen Formulierung der Quant-Feldtheorie. Arthur Wightman hat die Axiome am Anfang der 1950er Jahre formuliert, aber sie wurden zuerst nur 1964 veröffentlicht, nach Haag-Ruelle hat sich zerstreuende Theorie ihre Bedeutung versichert.

Die Axiome bestehen im Zusammenhang der konstruktiven Quant-Feldtheorie, und sie werden gemeint, um eine Grundlage für die strenge Behandlung von Quant-Feldern und strenges Fundament für die perturbative verwendeten Methoden zu schaffen. Eines der Millennium-Probleme soll die Axiome von Wightman im Fall von Yang-Mühle-Feldern begreifen.

Grundprinzip

Eine Grundidee der Axiome von Wightman besteht darin, dass es einen Raum von Hilbert gibt, auf dem die Gruppe von Poincaré unitarily handelt. Auf diese Weise werden die Konzepte von Energie, Schwung, winkeligem Schwung und Zentrum der Masse (entsprechend Zunahmen) durchgeführt.

Es gibt auch eine Stabilitätsannahme, die das Spektrum des vier-Schwünge-zum positiven leichten Kegel (und seine Grenze) einschränkt. Jedoch ist das nicht genug, um Gegend durchzuführen. Dafür haben die Axiome von Wightman Positionsabhängiger-Maschinenbediener genannt Quant-Felder, die kovariante Darstellungen der Gruppe von Poincaré bilden.

Da Quant-Feldtheorie unter ultravioletten Problemen leidet, ist der Wert eines Feldes an einem Punkt nicht bestimmt. Um darum herumzukommen, führen die Axiome von Wightman die Idee ein, über eine Testfunktion zu schmieren, die UV Abschweifungen zu zähmen, die sogar in einer freien Feldtheorie entstehen. Weil sich die Axiome mit unbegrenzten Maschinenbedienern befassen, müssen die Gebiete der Maschinenbediener angegeben werden.

Die Wightman Axiome schränken die kausale Struktur der Theorie durch das Auferlegen von von entweder commutativity oder anticommutativity zwischen getrennten Raummäßigfeldern ein.

Sie verlangen auch, dass die Existenz des Staates Poincaré-invariant das Vakuum und die Nachfrage genannt hat, ist es einzigartig. Außerdem nehmen die Axiome an, dass das Vakuum "zyklisch" ist, d. h., dass der Satz aller Vektoren, die durch das Auswerten an den Vakuumzustandelementen der polynomischen von den geschmierten Feldmaschinenbedienern erzeugten Algebra erhalten werden können, eine dichte Teilmenge des ganzen Raums von Hilbert ist.

Letzt gibt es die primitive Kausalitätsbeschränkung, die feststellt, dass jedem Polynom in den geschmierten Feldern willkürlich genau näher gekommen werden kann (d. h. die Grenze von Maschinenbedienern in der schwachen Topologie ist) durch Polynome über Felder, die über Testfunktionen mit der Unterstützung in geschmiert sind

jeder offene Subraum des Raums von Minkowski, dessen kausaler Verschluss der ganze Raum von Minkowski selbst ist.

Axiome

W0 (Annahmen der relativistischen Quant-Mechanik)

Quant-Mechanik wird gemäß von Neumann beschrieben; insbesondere die reinen Staaten werden durch die Strahlen, d. h. die eindimensionalen Subräume eines trennbaren komplizierten Raums von Hilbert gegeben. Im folgenden wird das Skalarprodukt von Raumvektoren von Hilbert Ψ und Φ durch angezeigt, und die Norm von Ψ wird dadurch angezeigt. Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei reinen Staaten [Ψ] und [Φ] kann in Bezug auf Nichtnullvektor-Vertreter Ψ und Φ definiert werden, um zu sein

:

und ist unabhängig, von denen vertretende Vektoren, Ψ und Φ, gewählt werden.

Die Theorie der Symmetrie wird gemäß Wigner beschrieben. Das soll die erfolgreiche Beschreibung von relativistischen Partikeln durch Eugene Paul Wigner in seiner berühmten Zeitung von 1939 ausnutzen. Sieh die Klassifikation von Wigner. Wigner hat das für die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen Staaten verlangt, um dasselbe allen durch eine Transformation der speziellen Relativität verbundenen Beobachtern zu sein. Mehr allgemein hat er die Behauptung dass eine Theorie gedacht, invariant unter einer Gruppe G zu sein, um in Bezug auf den invariance der Übergangswahrscheinlichkeit zwischen irgendwelchen zwei Strahlen ausgedrückt zu werden. Die Behauptung verlangt, dass die Gruppe dem Satz von Strahlen, d. h. auf dem projektiven Raum folgt. Lassen Sie (a, L), ein Element der Gruppe von Poincaré (die inhomogeneous Gruppe von Lorentz) zu sein. So, echten Lorentz zu sein, ist das Vier-Vektoren-Darstellen der Änderung des Raum-Zeit-Ursprungs x  x , wo x im Raum von Minkowski M und L ist, eine Transformation von Lorentz, die als eine geradlinige Transformation der vierdimensionalen Raum-Zeit definiert werden kann, die die Entfernung von Lorentz c²t ²  xx von jedem Vektoren (ct, x) bewahrt. Dann ist die Theorie invariant unter der Gruppe von Poincaré, wenn für jeden Strahl Ψ des Raums von Hilbert und jedes Gruppenelements (a, L) ein umgestalteter Strahl Ψ gegeben wird (a, L) und die Übergangswahrscheinlichkeit durch die Transformation unverändert ist:

Der erste Lehrsatz von Wigner ist, dass unter diesen Bedingungen wir invariance günstiger in Bezug auf geradlinige oder antigeradlinige Maschinenbediener (tatsächlich, einheitliche oder antieinheitliche Maschinenbediener) ausdrücken können; der Symmetrie-Maschinenbediener auf dem projektiven Raum von Strahlen kann zum zu Grunde liegenden Raum von Hilbert gehoben werden. Das, für jedes Gruppenelement (a, L) getan werden, bekommen wir eine Familie von einheitlichen oder antieinheitlichen Maschinenbedienern U (a, L) auf unserem Raum von Hilbert, solch, dass der Strahl Ψ umgestaltet durch (a, L) dasselbe als der Strahl ist, der U (a, L) ψ enthält. Wenn wir Aufmerksamkeit auf Elemente der mit der Identität verbundenen Gruppe einschränken, dann kommt der antieinheitliche Fall nicht vor. Lassen Sie (a, L) und (b, M) zwei Transformationen von Poincaré sein, und uns ihr Gruppenprodukt durch (a, L) anzeigen zu lassen. (b, M); von der physischen Interpretation sehen wir, dass der Strahl, der U (a, L) [U (b, M)] ψ enthält (für jeden psi) muss, der Strahl sein, der U enthält ((a, L). (b, M)) ψ. Deshalb unterscheiden sich diese zwei Vektoren durch eine Phase, die von den zwei Gruppenelementen (a, L) und (b, M) abhängen kann. Diese zwei Vektoren brauchen jedoch nicht gleich zu sein. Tatsächlich, für Partikeln der Drehung ½, können sie nicht für alle Gruppenelemente gleich sein. Durch den weiteren Gebrauch von willkürlichen Phase-Änderungen hat Wigner gezeigt, dass das Produkt der vertretenden einheitlichen Maschinenbediener folgt

:

statt des Gruppengesetzes. Für Partikeln der Drehung der ganzen Zahl (pions, Fotonen, gravitons...) kann man + /  Zeichen durch weitere Phase-Änderungen umziehen, aber für Darstellungen der "Hälfte sonderbarer Drehung" können wir nicht, und das Zeichen ändert sich diskontinuierlich, weil wir jede Achse durch einen Winkel 2π drehen. Wir können jedoch eine Darstellung der Bedeckungsgruppe der Gruppe von Poincare, genannt den inhomogeneous SL bauen (2, 'C); das hat Elemente (a, A), wo wie zuvor eines vier-Vektoren-, aber jetzt A zu sein, komplizierte 2 × 2 Matrix mit der Einheitsdeterminante ist. Wir zeigen die einheitlichen Maschinenbediener an wir gehen U (a, A) vorbei, und diese geben uns eine dauernde, einheitliche und wahre Darstellung darin die Sammlung von U (a, A) folgen dem Gruppengesetz des inhomogeneous SL (2, 'C).

Wegen der Zeichen-Änderung unter Folgen durch 2π Maschinenbediener von Hermitian, die sich als Drehung verwandeln, kann 1/2, 3/2 usw., nicht observables sein. Das taucht als die univalence Superauswahl-Regel auf: Phasen zwischen Staaten der Drehung 0, 1, 2 usw. und sind diejenigen der Drehung 1/2, 3/2 usw., nicht erkennbar. Diese Regel ist zusätzlich zur Nichtwahrnehmbarkeit der gesamten Phase eines Zustandvektoren.

Bezüglich des observables und der Staaten |v) bekommen wir eine Darstellung U (a, L) von der Gruppe von Poincaré, auf Drehungssubräumen der ganzen Zahl und U (a, A) vom inhomogeneous SL (2, C) auf Subräumen "Hälfte sonderbarer ganzer Zahl", die gemäß der folgenden Interpretation handelt:

Ein Ensemble entsprechend U (a, L) |v) soll in Bezug auf die Koordinaten auf genau dieselbe Weise wie ein Ensemble entsprechend |v interpretiert werden) wird in Bezug auf die Koordinaten x interpretiert; und ähnlich für die sonderbaren Subräume.

Die Gruppe von Raum-Zeit-Übersetzungen ist auswechselbar, und so können die Maschinenbediener gleichzeitig diagonalised sein. Die Generatoren dieser Gruppen geben uns vier selbst adjungierte Maschinenbediener, j = 1, 2, 3, die sich unter der homogenen Gruppe als ein vier-Vektoren-, genanntes der vier-Vektoren-Energieschwung verwandeln.

Der zweite Teil des zeroth Axioms von Wightman ist, dass die Darstellung U (a, A) die geisterhafte Bedingung erfüllt - dass das gleichzeitige Spektrum des Energieschwungs im Vorwärtskegel enthalten wird:

:...............

Der dritte Teil des Axioms ist, dass es einen einzigartigen Staat gibt, der durch einen Strahl im Raum von Hilbert vertreten ist, der invariant unter der Handlung der Gruppe von Poincaré ist. Es wird ein Vakuum genannt.

W1 (Annahmen auf dem Gebiet und der Kontinuität des Feldes)

Für jede Testfunktion f, dort besteht eine Reihe von Maschinenbedienern, die, zusammen mit ihrem adjoints, auf einer dichten Teilmenge des Raums des Staates Hilbert definiert werden, das Vakuum enthaltend. Die Felder A werden gemilderter Vertrieb Maschinenbediener-geschätzt. Der Raum des Staates Hilbert wird durch die Feldpolynome abgemessen, die dem Vakuum (cyclicity Bedingung) folgen.

W2 (Transformationsgesetz des Feldes)

Die Felder sind unter der Handlung der Gruppe von Poincaré kovariant, und sie verwandeln sich gemäß etwas Darstellung S von der Gruppe von Lorentz oder SL (2, C), wenn die Drehung nicht ganze Zahl ist:

W3 (lokaler commutativity oder mikroskopische Kausalität)

Wenn die Unterstützungen von zwei Feldern getrennt raumähnlich sind, dann pendeln die Felder entweder oder pendeln anti.

Cyclicity eines Vakuums und Einzigartigkeit eines Vakuums werden manchmal getrennt betrachtet. Außerdem gibt es Eigentum der asymptotischen Vollständigkeit - dass Raum des Staates Hilbert durch die asymptotischen Räume abgemessen wird und, in der Kollision S Matrix erscheinend. Das andere wichtige Eigentum der Feldtheorie ist Massenlücke, die durch die Axiome nicht erforderlich ist - dass Energieschwung-Spektrum eine Lücke zwischen Null und einer positiven Zahl hat.

Folgen der Axiome

Von diesen Axiomen folgen bestimmte allgemeine Lehrsätze:

• PCT Lehrsatz — es gibt allgemeine Symmetrie unter der Änderung der Gleichheit, Umkehrung des Partikel-Antiteilchens und Zeitinversion (keiner von diesen symmetries allein besteht in der Natur, weil es sich erweist)
• Verbindung zwischen der Drehung und statistisch — Felder, die sich gemäß der Hälfte der Drehung der ganzen Zahl verwandeln, pendeln anti, während diejenigen mit der Drehung der ganzen Zahl pendeln (Axiom W3), gibt Es wirklich technische feine Details zu diesem Lehrsatz. Das kann mit Transformationen von Klein geflickt werden. Sieh Parastatistik. Siehe auch die Geister in BRST.

Arthur Wightman hat gezeigt, dass die Vakuumerwartung Vertrieb schätzt, bestimmten Satz von Eigenschaften befriedigend, die aus den Axiomen folgen, sind genügend, um die Feldtheorie — Rekonstruktionslehrsatz von Wightman einschließlich der Existenz eines Vakuumstaates wieder aufzubauen; er hat die Bedingung auf den Vakuumerwartungswerten nicht gefunden, die die Einzigartigkeit des Vakuums versichern; diese Bedingung, das Traube-Eigentum, wurde später von Res Jost, Klaus Hepp, David Ruelle und Othmar Steinmann gefunden.

Wenn die Theorie eine Massenlücke hat, d. h. es keine Massen zwischen 0 und eine Konstante gibt, die größer ist als Null, dann ist Vakuumerwartungsvertrieb in entfernten Gebieten asymptotisch unabhängig.

Der Lehrsatz von Haag sagt, dass es kein Wechselwirkungsbild geben kann — dass wir den Raum von Fock von aufeinander nichtwirkenden Partikeln als ein Raum von Hilbert — im Sinn nicht verwenden können, dass wir Räume von Hilbert über Feldpolynome identifizieren würden, die einem Vakuum in einer bestimmten Zeit folgen.

Beziehung zu anderem Fachwerk und Konzepten in der Quant-Feldtheorie

Das Wightman Fachwerk bedeckt unendliche Energiestaaten wie begrenzte Temperaturstaaten nicht.

Verschieden von der lokalen Quant-Feldtheorie schränken die Axiome von Wightman die kausale Struktur der Theorie ausführlich durch das Auferlegen von von entweder commutativity oder anticommutativity zwischen getrennten Raummäßigfeldern ein, anstatt die kausale Struktur als ein Lehrsatz abzuleiten. Wenn man denkt, dass eine Generalisation der Axiome von Wightman zu Dimensionen außer 4, dieser (anti) commutativity Postulat anyons und Flechte-Statistik in niedrigeren Dimensionen ausschließt.

Das Wightman Postulat eines einzigartigen Vakuumstaates macht die Axiome von Wightman unpassend für den Fall des spontanen Symmetrie-Brechens nicht notwendigerweise, weil wir immer uns zu einem Superauswahl-Sektor einschränken können.

Der cyclicity des durch die Axiome von Wightman geforderten Vakuums bedeutet, dass sie nur den Superauswahl-Sektor des Vakuums beschreiben; wieder ist das nicht ein großer Verlust der Allgemeinheit. Jedoch lässt diese Annahme wirklich begrenzte Energiestaaten wie solitons aus, der durch ein Polynom von durch Testfunktionen geschmierten Feldern nicht erzeugt werden kann, weil ein soliton, mindestens von einer theoretischen Feldperspektive, eine globale Struktur ist, die topologische Grenzbedingungen an der Unendlichkeit einschließt.

Das Wightman Fachwerk bedeckt wirksame Feldtheorien nicht, weil es keine Grenze betreffs gibt, wie klein die Unterstützung einer Testfunktion sein kann. D. h. es gibt keine Abkürzungsskala.

Das Wightman Fachwerk bedeckt auch Maß-Theorien nicht. Sogar in Maß-Theorien von Abelian fangen herkömmliche Annäherungen mit einem "Raum von Hilbert" an (es ist nicht ein Raum von Hilbert, aber Physiker nennt es einen Raum von Hilbert) mit einer unbestimmten Norm und den physischen Staaten, und physische Maschinenbediener gehören einem cohomology. Das wird offensichtlich nirgends im Fachwerk von Wightman bedeckt. (Jedoch wie gezeigt, durch Schwinger, Christus und Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, usw., ist kanonischer quantization von Maß-Theorien im Ampere-Sekunde-Maß mit einem gewöhnlichen Raum von Hilbert möglich, und das könnte die Weise sein, sie unter der Anwendbarkeit der Axiom-Systematik fallen zu lassen.)

Die Wightman Axiome können in Bezug auf einen Staat genannt Wightman umformuliert werden, der auf einer Algebra von Borchers funktionell ist, die der Tensor-Algebra eines Raums von Testfunktionen gleich ist.

Die Existenz von Theorien, die die Axiome befriedigen

Man kann die Axiome von Wightman zu Dimensionen außer 4 verallgemeinern. In der Dimension 2 und 3, (d. h. nichtfrei) aufeinander wirkend, sind Theorien, die die Axiome befriedigen, gebaut worden.

Zurzeit gibt es keinen Beweis, dass die Axiome von Wightman für aufeinander wirkende Theorien in der Dimension 4 zufrieden sein können. Insbesondere das Standardmodell der Partikel-Physik hat keine mathematisch strengen Fundamente. Es gibt den Preis von einer Million Dollar für einen Beweis, dass die Axiome von Wightman für Maß-Theorien mit der zusätzlichen Voraussetzung einer Massenlücke zufrieden sein können.

Rekonstruktionslehrsatz von Osterwalder-Schrader

Unter bestimmten technischen Annahmen ist es gezeigt worden, dass ein Euklidischer QFT in einen Wightman QFT mit dem Docht rotieren gelassen werden kann. Sieh Lehrsatz von Osterwalder-Schrader. Dieser Lehrsatz ist das Schlüsselwerkzeug für die Aufbauten von aufeinander wirkenden Theorien in der Dimension 2 und 3, die die Axiome von Wightman befriedigen.

Siehe auch

• Lokale Quant-Physik
• Axiome von Haag-Kastler

Literatur

• R. F. Streater und A. S. Wightman, PCT, Drehung und Statistik und Ganzes das, Universität von Princeton Presse, Grenzsteine in der Mathematik und Physik, 2000.