In der Mathematik und klassischen Mechanik ist die Klammer von Poisson eine wichtige binäre Operation in der Mechanik von Hamiltonian, eine Hauptrolle in den Gleichungen von Hamilton der Bewegung spielend, die die Zeitevolution von Hamiltonian dynamisches System regeln. Die Klammer von Poisson unterscheidet auch eine bestimmte Klasse von Koordinatentransformationen, den so genannten "kanonischen Transformationen", der kanonische Koordinatensysteme in kanonische Koordinatensysteme kartografisch darstellt. (Ein "kanonisches Koordinatensystem" besteht aus kanonischen Variablen der Position/Schwungs, die kanonische Poisson-Klammer-Beziehungen befriedigen.) Bemerken, dass der Satz von möglichen kanonischen Transformationen immer sehr reich ist. Zum Beispiel häufig ist es möglich, Hamiltonian selbst H = H zu wählen (q, p; t) als eine der neuen kanonischen Schwung-Koordinaten.

In einem allgemeineren Sinn: Die Klammer von Poisson wird verwendet, um eine Algebra von Poisson zu definieren, deren die Algebra von Funktionen auf einer Sammelleitung von Poisson ein spezieller Fall ist. Diese werden alle zu Ehren von Siméon-Denis Poisson genannt.

Kanonische Koordinaten

In kanonischen Koordinaten (auch bekannt als Koordinaten von Darboux) auf dem Phase-Raum, in Anbetracht zwei Funktionen und, nimmt die Klammer von Poisson die Form an

\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser q_ {ich}} \frac {\\teilweise g\{\\teilweiser p_ {ich}} -

\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser p_ {ich}} \frac {\\teilweise g\{\\teilweiser q_ {ich} }\

\right]. </Mathematik>

Die Gleichungen von Hamilton der Bewegung

Die Gleichungen von Hamilton der Bewegung haben einen gleichwertigen Ausdruck in Bezug auf die Klammer von Poisson. Das kann in einem ausführlichen Koordinatenrahmen am meisten direkt demonstriert werden. Nehmen Sie an, dass f (p, q, t) eine Funktion auf der Sammelleitung ist. Dann hat man

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise q\\frac {\\mathrm {d} q\{\\mathrm {d} t\+ \frac {\\teilweise f\{\\teilweise p\\frac {\\mathrm {d} p\{\\mathrm {d} t\+ \frac {\\teilweise f\{\\teilweise t\. </Mathematik>

Weiter, durch die Einnahme p = p (t) und q = q (t), um Lösungen der Gleichungen von Hamilton zu sein

: und

man kann schreiben

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise q\\frac {\\teilweise H\{\\teilweise p\-\frac {\\teilweise f\{\\teilweise p\\frac {\\teilweise H\{\\teilweise q\+ \frac {\\teilweise f\{\\teilweise t\

\{f, H\} + \frac {\\teilweise f\{\\teilweise t\. </Mathematik>

So kann die Zeitevolution einer Funktion f auf einer Symplectic-Sammelleitung als eine Ein-Parameter-Familie von symplectomorphisms gegeben werden (d. h. kanonische Transformationen,

Bereichsbewahrung diffeomorphisms), mit der Zeit t der Parameter zu sein: Bewegung von Hamiltonian ist eine kanonische von Hamiltonian erzeugte Transformation. D. h. Klammern von Poisson werden darin, so dass jede Zeit t in der Lösung der Gleichungen von Hamilton, q (t) =exp bewahrt (-t {H, ·}) q (0), p (t) =exp (-t {H, ·}) p (0), kann als die Klammer-Koordinaten dienen. Klammern von Poisson sind kanonischer invariants.

Die Koordinaten fallen lassend, hat man

Der Maschinenbediener im convective Teil der Ableitung, wird manchmal Liouvillian genannt (sieh den Lehrsatz von Liouville (Hamiltonian)).

Konstanten der Bewegung

Ein integrable dynamisches System wird Konstanten der Bewegung zusätzlich zur Energie haben. Solche Konstanten der Bewegung werden mit Hamiltonian unter der Klammer von Poisson pendeln. Nehmen Sie an, dass etwas Funktion f (p, q) eine Konstante der Bewegung ist. Das deutet dass an, wenn p (t), q (t) eine Schussbahn oder Lösung der Gleichungen von Hamilton der Bewegung ist, dann hat man das entlang dieser Schussbahn. Dann hat man

wo, als oben, die Zwischenstufe durch die Verwendung der Gleichungen der Bewegung folgt. Diese Gleichung ist als die Gleichung von Liouville bekannt. Der Inhalt des Lehrsatzes von Liouville ist, dass die Zeitevolution eines Maßes (oder "Vertriebsfunktion" auf dem Phase-Raum) durch das obengenannte gegeben wird.

In der Größenordnung von einem System von Hamiltonian, um völlig integrable zu sein, müssen alle Konstanten der Bewegung in der gegenseitigen Involution sein.

Definition

Lassen Sie M Symplectic-Sammelleitung, d. h. eine mit einer Symplectic-Form ausgestattete Sammelleitung sein: Ein 2-Formen-ω, der beide (dω = 0) und nichtdegeneriert im folgenden Sinn geschlossen wird: Wenn angesehen, als eine Karte ist ω invertible, um vorzuherrschen. d ist die abgeleitete Außenoperation, die zur mannigfaltigen Struktur der M inner ist, und ist das Innenprodukt oder die Zusammenziehungsoperation, die zu θ (ξ gleichwertig ist) auf 1 Formen θ.

Mit den Axiomen der Außenrechnung kann man abstammen:

Hier [v, w] zeigt die Lüge-Klammer auf glatten Vektorfeldern an, deren Eigenschaften im Wesentlichen die mannigfaltige Struktur der M definieren.

Wenn v solch ist, dass wir ihn ω-coclosed (oder gerade coclosed) nennen können. Ähnlich, wenn für etwas Funktion f wir v ω-coexact (oder gerade coexact) nennen können. Vorausgesetzt, dass dω = 0, der Ausdruck oben andeutet, dass die Lüge-Klammer von zwei coclosed Vektorfeldern immer ein coexact Vektorfeld ist, weil, wenn v und w beide coclosed sind, der einzige Nichtnullbegriff im Ausdruck ist. Und weil die Außenableitung folgt, sind alle coexact Vektorfelder coclosed; so wird die Lüge-Klammer sowohl auf dem Raum von coclosed Vektorfeldern als auch auf dem Subraum innerhalb seiner geschlossen, aus den coexact Vektorfeldern bestehend. Auf der Sprache der abstrakten Algebra bilden die coclosed Vektorfelder eine Subalgebra der Lüge-Algebra von glatten Vektorfeldern auf der M, und die coexact Vektorfelder bilden ein algebraisches Ideal dieser Subalgebra.

In Anbetracht der Existenz der umgekehrten Karte kann jede glatte reellwertige Funktion f auf der M mit einem coexact Vektorfeld vereinigt werden. (Zwei Funktionen werden mit demselben Vektorfeld vereinigt, wenn, und nur wenn ihr Unterschied im Kern von d, d. h., unveränderlich auf jedem verbundenen Bestandteil von M. ist) Wir deshalb die Klammer von Poisson auf (M, ω), eine bilineare Operation auf Differentiable-Funktionen definieren, unter denen die (glatten) Funktionen eine Algebra bilden. Dadurch wird gegeben:

Die Verdrehen-Symmetrie der Klammer von Poisson wird durch die Axiome der Außenrechnung und der Bedingung dω = 0 gesichert. Weil die Karte geradlinig pointwise ist und verdrehen Sie - symmetrisch in diesem Sinn, vereinigen einige Autoren es mit einem bivector, der nicht ein in der Außenrechnung häufig gestoßener Gegenstand ist. In dieser Form wird es den Poisson bivector oder die Struktur von Poisson auf der Symplectic-Sammelleitung und die Klammer von Poisson geschrieben einfach genannt.

Die Klammer von Poisson auf glatten Funktionen entspricht der Lüge-Klammer auf coexact Vektorfeldern und erbt seine Eigenschaften. Es befriedigt deshalb die Identität von Jacobi:

Die Klammer von Poisson in Bezug auf ein besonderes Skalarfeld f entspricht der Lüge-Ableitung in Bezug darauf. Folglich ist es eine Abstammung; d. h. es befriedigt Leibniz' Gesetz:

auch bekannt als das "Eigentum von Poisson". Es ist ein grundsätzliches Eigentum von Sammelleitungen, dass der Umschalter der Lüge-Ableitungsoperationen in Bezug auf zwei Vektorfelder zur Lüge-Ableitung in Bezug auf ein Vektorfeld, nämlich, ihre Lüge-Klammer gleichwertig ist. Die parallele Rolle der Klammer von Poisson ist aus einer Neuordnung der Identität von Jacobi offenbar:

Wenn die Klammer von Poisson von f und g verschwindet ({f, g} = 0), dann, wie man sagt, sind f und g in der gegenseitigen Involution, und die Operationen, die Klammer von Poisson in Bezug auf f und in Bezug auf g zu nehmen, pendeln.

Lügen Sie Algebra

Die Klammer von Poisson ist skewsymmetric/antisymmetric. (Gleichwertig, angesehen als eine binäre Produktoperation, ist es antiauswechselbar.) Es befriedigt auch die Identität von Jacobi. Das lässt den Raum von glatten Funktionen auf einem symplectic eine unendlich-dimensionale Lüge-Algebra mit der Klammer von Poisson vervielfältigen, die als die Lüge-Klammer handelt. Die entsprechende Lüge-Gruppe ist die Gruppe von symplectomorphisms der Symplectic-Sammelleitung (auch bekannt als kanonische Transformationen).

In Anbetracht eines glatten Vektorfeldes X auf dem Tangente-Bündel, lassen Sie P sein verbundener Schwung sein. Der verbundene kartografisch darstellende Schwung ist ein Lüge-Algebra-Antihomomorphismus von der Klammer von Poisson bis die Lüge-Klammer:

Dieses wichtige Ergebnis ist eines kurzen Beweises wert. Schreiben Sie ein Vektorfeld X am Punkt q im Konfigurationsraum als

wo des lokalen Koordinatenrahmens zu sein. Der verbundene Schwung zu X hat den Ausdruck

:

wo die p die zu den Koordinaten verbundenen Schwung-Funktionen sind. Man hat dann, für einen Punkt (q, p) im Phase-Raum,

:::

p_i Y^j (q) \frac {\\teilweiser X^i} {\\teilweiser q^j} -

p_j X^i (q) \frac {\\teilweiser Y^j} {\\teilweiser q^i} </Mathematik>

:::

:::

Der obengenannte hält für alle (q, p), das gewünschte Ergebnis gebend.

Quantization

Klammern von Poisson deformieren zu Klammern von Moyal auf quantization, d. h. sie verallgemeinern zu einer verschiedenen Lüge-Algebra, der Algebra von Moyal, oder, gleichwertig im Raum von Hilbert, Quant-Umschaltern. Die Wigner-İnönü Gruppenzusammenziehung von diesen (die klassische Grenze, ħ0) trägt der obengenannte Liegen Algebra.

Siehe auch

• Algebra von Poisson
• Phase-Raum
• Klammer von Lagrange
• Klammer von Moyal
• Klammer von Peierls
• Superalgebra von Poisson
• Superklammer von Poisson
• Klammer von Dirac
• Umschalter
• Karasëv, M. V.; Maslov, V. P.: Nichtlineare Klammern von Poisson. Geometrie und quantization. Übersetzt aus dem Russen durch A. Sossinsky [A. B. Sosinskiĭ] und M Shishkova. Übersetzungen von Mathematischen Monografien, 119. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, Vorsehung, Rhode Island, 1993.