In der Mathematik ist die Identität von Jacobi ein Eigentum, das eine binäre Operation befriedigen kann, der bestimmt, wie sich die Ordnung der Einschätzung für die gegebene Operation benimmt. Unterschiedlich für assoziative Operationen ist die Ordnung der Einschätzung für Operationen bedeutend, die Identität von Jacobi befriedigen. Es wird nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jakob Jacobi genannt.

Definition

Eine binäre Operation auf einem Satz, der eine binäre Ersatzoperation mit der zusätzlichen Identität 0 besitzt, befriedigt die Identität von Jacobi wenn

:

Interpretation

In einer Lüge-Algebra sind die Gegenstände, die der Identität von Jacobi folgen, unendlich kleine Bewegungen. Wenn sie einem Maschinenbediener mit einer unendlich kleinen Bewegung folgt, ist die Änderung im Maschinenbediener der Umschalter.

Die Jacobi Identität

::

[[A, B], C] = [A, [B, C]] - [B, [A, C]]

\</Mathematik>

kann dann in Wörter übersetzt werden: "Die unendlich kleine Bewegung von B, der von der unendlich kleinen Bewegung , minus die unendlich kleine Bewegung Eines gefolgten von der unendlich kleinen Bewegung von B gefolgt ist, ist die unendlich kleine Bewegung [A, B] (

Beispiele

Die Jacobi Identität ist durch die Multiplikation (Klammer) Operation auf Lüge-Algebra zufrieden, und Lügen Sie Ringe, und diese stellen die Mehrheit von Beispielen von Operationen zur Verfügung, die die Identität von Jacobi in der üblichen Anwendung befriedigen. Wegen dessen wird die Identität von Jacobi häufig damit ausgedrückt Liegen Klammer-Notation:

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Wenn die Multiplikation antisymmetrisch ist, lässt die Identität von Jacobi zwei gleichwertige neue Darlegungen zu. Das Definieren des adjoint stellt kartografisch dar

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nach einer Neuordnung wird die Identität

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So wird die Identität von Jacobi für Lüge-Algebra einfach die Behauptung, dass die Handlung jedes Elements auf der Algebra eine Abstammung ist. Diese Form der Identität von Jacobi wird auch verwendet, um den Begriff der Algebra von Leibniz zu definieren.

Eine andere Neuordnung zeigt, dass die Identität von Jacobi zur folgenden Identität zwischen den Maschinenbedienern der adjoint Darstellung gleichwertig ist:

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Diese Identität deutet an, dass die Karte, jedes Element an seine adjoint Handlung sendend, ein Lüge-Algebra-Homomorphismus der ursprünglichen Algebra in die Lüge-Algebra seiner Abstammungen ist.

Eine ähnliche Identität, genannt die Identität des Saals-Witt, besteht für die Umschalter in Gruppen.

In der analytischen Mechanik ist Identität von Jacobi durch Klammern von Poisson zufrieden, während in der Quant-Mechanik es durch Maschinenbediener-Umschalter zufrieden ist.

Siehe auch

• Jacobi Superidentität
• Identität des Saals-Witt