In der Mathematik ist eine binäre Operation auswechselbar, wenn das Ändern der Ordnung des operands das Ergebnis nicht ändert. Es ist ein grundsätzliches Eigentum von vielen binären Operationen, und viele mathematische Beweise hängen davon ab. Der commutativity von einfachen Operationen, wie Multiplikation und Hinzufügung von Zahlen, wurde viele Jahre lang implizit angenommen, und das Eigentum wurde bis zum 19. Jahrhundert nicht genannt, als Mathematik angefangen hat, formalisiert zu werden. Im Vergleich sind Abteilung und Subtraktion nicht auswechselbar.

Allgemeiner Gebrauch

Das Ersatzeigentum (oder Ersatzgesetz) sind ein Eigentum, das mit binären Operationen und Funktionen vereinigt ist. Ähnlich, wenn das Ersatzeigentum für ein Paar von Elementen unter einer bestimmten binären Operation dann hält, wird es gesagt, dass die zwei Elemente unter dieser Operation pendeln.

Satzlogik

Regel des Ersatzes

In der mit der Wahrheit funktionellen Standardsatzlogik ist Umwandlung oder commutivity zwei gültige Regeln des Ersatzes. Die Regeln erlauben, Satzvariablen innerhalb von logischen Ausdrücken in logischen Beweisen umzustellen. Die Regeln sind:

:

und

:

wo "" ein metalogical Symbol-Darstellen ist, "kann in einem Beweis damit ersetzt werden."

Wahrheit funktionelle Bindewörter

Commutativity ist ein Eigentum von einigen logischen Bindewörtern der mit der Wahrheit funktionellen Satzlogik. Die folgenden logischen Gleichwertigkeiten demonstrieren, dass commutativity ein Eigentum von besonderen Bindewörtern ist. Der folgende ist mit der Wahrheit funktionelle Tautologie.

Commutativity der Verbindung

:

Commutativity der Trennung

:

Commutativity der Implikation (hat auch das Gesetz der Versetzung genannt)

:

Commutativity der Gleichwertigkeit (hat auch das Ganze Ersatzgesetz der Gleichwertigkeit genannt)

:

Mengenlehre

In der Gruppe und Mengenlehre werden viele algebraische Strukturen auswechselbar, wenn sicher, operands genannt befriedigen das Ersatzeigentum. In höheren Zweigen der Mathematik wie Analyse und geradlinige Algebra wird der commutativity von weithin bekannten Operationen (wie Hinzufügung und Multiplikation auf reellen Zahlen und komplexen Zahlen) häufig verwendet (oder implizit angenommen) in Beweisen.

Mathematische Definitionen

Der Begriff "Ersatz-" wird in mehreren zusammenhängenden Sinnen gebraucht.

1. Eine binäre Operation auf einem Satz S wird auswechselbar wenn genannt:

:

Eine Operation, die das obengenannte Eigentum nicht befriedigt, wird nichtauswechselbar genannt.

2. Man sagt, dass x mit y unter wenn pendelt:

:

3. Eine binäre Funktion wird auswechselbar wenn genannt:

:

Geschichte und Etymologie

Aufzeichnungen des impliziten Gebrauches des Ersatzeigentums gehen zu alten Zeiten zurück. Die Ägypter haben das Ersatzeigentum der Multiplikation verwendet, Rechenprodukte zu vereinfachen. Wie man bekannt, hat Euklid das Ersatzeigentum der Multiplikation in seinem Buch Elemente angenommen. Der formelle Gebrauch des Ersatzeigentums ist in den späten 18. und frühen 19. Jahrhunderten entstanden, als Mathematiker begonnen haben, an einer Theorie von Funktionen zu arbeiten. Heute ist das Ersatzeigentum ein weithin bekanntes und grundlegendes in den meisten Zweigen der Mathematik verwendetes Eigentum.

Der erste registrierte Gebrauch des auswechselbaren Begriffes war in einer Biografie von François Servois 1814, der das Wort commutatives verwendet hat, als er Funktionen beschrieben hat, die haben, was jetzt das Ersatzeigentum genannt wird. Das Wort ist eine Kombination des französischen Wortpendlers Bedeutung, "um zu vertreten oder" und die Nachsilbe-ative Bedeutung "des Neigens zu" umzuschalten, so bedeutet das Wort wörtlich "dazu zu neigen, zu vertreten oder umzuschalten." Der Begriff ist dann in Englisch in Philosophischen Transaktionen der Königlichen Gesellschaft 1844 erschienen.

Zusammenhängende Eigenschaften

Associativity

Das assoziative Eigentum ist nah mit dem Ersatzeigentum verbunden. Das assoziative Eigentum eines Ausdrucks, der zwei oder mehr Ereignisse desselben Maschinenbedieners enthält, stellt fest, dass die Ordnungsoperationen darin durchgeführt werden, betrifft das Endresultat nicht, so lange sich die Ordnung von Begriffen nicht ändert. Im Gegensatz stellt das Ersatzeigentum fest, dass die Ordnung der Begriffe das Endresultat nicht betrifft

Symmetrie

Einige Formen der Symmetrie können mit commutativity direkt verbunden werden. Wenn ein Ersatzmaschinenbediener als eine binäre Funktion dann geschrieben wird, ist die resultierende Funktion über die Linie y = x symmetrisch. Als ein Beispiel, wenn wir eine Funktion lassen, vertreten f Hinzufügung (eine Ersatzoperation), so dass f (x, y) = x + y dann f eine symmetrische Funktion ist, die im Image rechts gesehen werden kann.

Für Beziehungen ist eine symmetrische Beziehung einer Ersatzoperation, darin analog, wenn eine Beziehung R, dann symmetrisch ist.

Beispiele

Ersatzoperationen im täglichen Leben

• Das Anziehen von Socken ähnelt einer Ersatzoperation, seit der Socke angezogen wird, zuerst ist unwichtig. Auf jede Weise ist das Ergebnis (beide Socken anhabend), dasselbe.
• Der commutativity der Hinzufügung wird beobachtet, wenn man für einen Artikel mit dem Bargeld zahlt. Unabhängig von der Ordnung werden die Rechnungen darin übergeben, sie geben immer dieselbe Summe.

Ersatzoperationen in der Mathematik

Zwei wohl bekannte Beispiele von binären Ersatzoperationen sind:

• Die Hinzufügung von reellen Zahlen, die seitdem auswechselbar

ist

::

:For-Beispiel 4 + 5 = 5 + 4, seit beiden Ausdrücken gleiche 9.

• Die Multiplikation von reellen Zahlen, die seitdem auswechselbar

ist::

:For-Beispiel, 3 × 5 = 5 × 3, seit beiden Ausdrücken gleiche 15.

• Weitere Beispiele von binären Ersatzoperationen schließen Hinzufügung und Multiplikation von komplexen Zahlen, Hinzufügung und Skalarmultiplikation von Vektoren, und Kreuzung und Vereinigung von Sätzen ein.

Nichtersatzoperationen im täglichen Leben

• Verkettung, die Tat des Verbindungscharakters reiht aneinander, ist eine Nichtersatzoperation. Zum Beispiel

:

• Die Wäsche und der Trockner der Kleidung ähneln einer Nichtersatzoperation; die Wäsche und dann der Trockner erzeugen ein deutlich verschiedenes Ergebnis zum Trockner und dann der Wäsche.

Wenn sie

• ein Buch 90 ° um eine vertikale Achse dann rotieren lassen, erzeugen 90 ° um eine horizontale Achse eine verschiedene Orientierung als, wenn die Folgen in der entgegengesetzten Ordnung durchgeführt werden.
• Die Drehungen des Würfels von Rubik sind nichtauswechselbar. Das kann mit der Gruppentheorie studiert werden.

Nichtersatzoperationen in der Mathematik

Einige binäre Nichtersatzoperationen sind:

• Subtraktion ist seitdem nicht auswechselbar
• Abteilung ist seitdem nichtauswechselbar
• Matrixmultiplikation ist seitdem nichtauswechselbar

:\begin {bmatrix }\

0 & 2 \\

0 & 1

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

1 & 1 \\

0 & 1\end {bmatrix }\

\cdot

\begin {bmatrix }\

0 & 1 \\

0 & 1\end {bmatrix }\

\neq

\begin {bmatrix }\0 & 1 \\0 & 1\end {bmatrix }\\cdot\begin {bmatrix }\1 & 1 \\0 & 1\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\0 & 1 \\0 & 1\end {bmatrix }\</Mathematik>

• Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) zwei Vektoren in drei Dimensionen, ist d. h., b &times antiauswechselbar; =  (&times; b).

Mathematische Strukturen und commutativity

• Eine Ersatzhalbgruppe ist ein mit einer ganzen, assoziativen und auswechselbaren Operation ausgestatteter Satz.
• Wenn die Operation zusätzlich ein Identitätselement hat, haben wir einen auswechselbaren monoid
• Eine abelian Gruppe oder Ersatzgruppe ist eine Gruppe, deren Gruppenoperation auswechselbar ist.
• Ein Ersatzring ist ein Ring, dessen Multiplikation auswechselbar ist. (Die Hinzufügung in einem Ring ist immer auswechselbar.)
• In einem Feld sind sowohl Hinzufügung als auch Multiplikation auswechselbar.

Das Nichtaustauschen von Maschinenbedienern in der Quant-Mechanik

In der Quant-Mechanik, wie formuliert, durch Schrödinger werden physische Variablen von geradlinigen Maschinenbedienern wie x vertreten (Bedeutung multiplizieren durch x), und d/dx. Diese zwei Maschinenbediener pendeln nicht, wie durch das Betrachten der Wirkung ihrer Produkte x (d/dx) und (d/dx) x auf einer eindimensionalen Welle-Funktion ψ (x) gesehen werden kann:

::

x{ d\over dx }\\psi = x\psi' \neq {d\over dx} x\psi = \psi + x\psi'

</Mathematik>

Gemäß dem Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg, wenn die zwei Maschinenbediener, die ein Paar von Variablen vertreten, nicht pendeln, dann ist dieses Paar von Variablen gegenseitig ergänzend, was bedeutet, dass sie gleichzeitig nicht gemessen oder genau bekannt werden können. Zum Beispiel werden die Position und der geradlinige Schwung einer Partikel beziehungsweise (in der X-Richtung) von den Maschinenbedienern x und (ħ/i) d/dx vertreten (wo ħ der reduzierte Planck unveränderlich ist). Das ist dasselbe Beispiel abgesehen von der Konstante (ħ/i), so wieder pendeln die Maschinenbediener nicht, und die physische Bedeutung ist, dass die Position und der geradlinige Schwung in einer gegebenen Richtung ergänzend sind.

Siehe auch

• Anticommutativity
• Binäre Operation
• Commutant
• Ersatzdiagramm
• Auswechselbar (Neurophysiologie)

Umschalter

• Distributivity
• Partikel-Statistik (für commutativity in der Physik)

Referenzen

Bücher

:Abstract-Algebra-Theorie. Deckel commutativity in diesem Zusammenhang. Gebrauch-Eigentum überall im Buch.

:Abstract-Algebra-Theorie. Gebrauch commutativity Eigentum überall im Buch.

:Linear-Algebra-Theorie. Erklärt commutativity im Kapitel 1, Gebrauch es überall.

Artikel

• http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). Das Mathematische Vermächtnis des Alten Ägyptens - Eine Antwort Robert Palter. Unveröffentlichtes Manuskript.

:Article, der die mathematische Fähigkeit von alten Zivilisationen beschreibt.

• Rotkehlchen, R. Gay und Charles C. D. Shute. 1987. Der Rhind Mathematische Papyrus: Ein Alter ägyptischer Text. London: British Museum Publications Limited. Internationale Standardbuchnummer 0-7141-0944-4

:Translation und Interpretation des Rhind Mathematischen Papyrus.

Online-Mittel

• Krowne, Aaron hat am 8. August 2007 Zugegriffen.

:Definition von commutativity und Beispiele von Ersatzoperationen

• , Zugegriffen am 8. August 2007.

:Explanation des Begriffes tauschen ein

• Yark. Zugegriffen am 8. August 2007

:Examples, der einige Nichtersatzoperationen beweist

• O'Conner, J J und Robertson, Geschichte von E F. MacTutor von reellen Zahlen, hat am 8. August 2007 Zugegriffen

:Article, der die Geschichte der reellen Zahlen gibt

• Cabillón, Julio und Müller, Jeff. Frühster Bekannter Gebrauch Von Mathematischen Begriffen, Zugegriffen am 22. November 2008

:Page, der den frühsten Gebrauch von mathematischen Begriffen bedeckt

• O'Conner, J J und Robertson, Lebensbeschreibung von E F. MacTutor von François Servois, hat am 8. August 2007 Zugegriffen

:Biography von Francois Servois, der zuerst den Begriff gebraucht

hat