Der Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfeld bestimmt (genannt nach Eugène Bogomolny, Manoj Prasad und Charles Sommerfield) ist eine Reihe der Ungleichheit für Lösungen teilweiser Differenzialgleichungen abhängig von der homotopy Klasse der Lösung an der Unendlichkeit. Dieser Satz der Ungleichheit ist sehr nützlich, um soliton Gleichungen zu lösen. Häufig, indem es darauf bestanden wird, dass das bestimmte (genannt "gesättigt") zufrieden sein, man einen einfacheren Satz von teilweisen Differenzialgleichungen präsentieren kann, um, die Gleichungen von Bogomol'nyi zu lösen. Lösungen, die das bestimmte sättigen, werden BPS-Staaten genannt und spielen eine wichtige Rolle in der Feldtheorie und spannen Theorie.

Beispiele:

• Instanton.
• Unvollständig: Yang-Mills-Higgs teilweise Differenzialgleichungen.

Die Energie zu einem festgelegten Zeitpunkt t wird durch gegeben

:

wo D die kovariante Ableitung ist und V das Potenzial ist. Wenn wir annehmen, dass V nichtnegativ ist und Null nur für das Vakuum von Higgs ist, und dass das Feld von Higgs in der adjoint Darstellung, dann ist

:\begin {richten }\aus

E & \geq \int d^3x \\left [\frac {1} {2 }\\operatorname {hat Tr }\\[\overrightarrow {D\varphi} \cdot \overrightarrow {D\varphi }\\Recht] + \frac {1} {2g^2 }\\operatorname {Tr }\\link [\vec {B }\\cdot\vec {B }\\Recht] \right] \\verlassen

& \geq \int d^3x \\operatorname {hat Tr }\\[\frac {1} {2 }\\link (\overrightarrow {D\varphi }\\mp\frac {1} {g }\\vec {B }\\Recht) ^2 \pm\frac {1} {g }\\overrightarrow {D\varphi }\\cdot \vec {B }\\Recht] \\verlassen

& \geq \pm \frac {1} {g }\\int d^3x \\operatorname {hat Tr }\\[\overrightarrow {D\varphi }\\cdot \vec {B }\\Recht] \\verlassen

& = \pm\frac {1} {g }\\int_ {S^2\\mathrm {Grenze}} \operatorname {hat Tr }\\[\varphi \vec {B }\\cdot d\vec {S }\\Recht] verlassen.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Deshalb,

:

Sättigung geschieht wenn und

:

Die Bogomol'nyi Gleichung. Die andere Bedingung für die Sättigung ist die Masse von Higgs, und Selbstwechselwirkung sind Null, die in N=2 supersymmetrischen Theorien der Fall ist.

Diese Menge ist der absolute Wert des magnetischen Flusses.

Eine geringe Generalisation, die für dyons auch gilt, besteht. Dafür muss das Feld von Higgs ein Komplex adjoint, nicht ein echter adjoint sein.

Supersymmetrie

In der Supersymmetrie wird der gebundene BPS gesättigt, wenn Hälfte (oder ein Viertel oder ein achter) der SUSY Generatoren ungebrochen wird. Das geschieht, wenn die Masse der Haupterweiterung gleich ist, die normalerweise eine topologische Anklage ist.

Tatsächlich kommen die meisten bosonic BPS Grenzen wirklich aus dem bosonic Sektor einer supersymmetrischen Theorie, und das erklärt ihren Ursprung.