In der Funktionsanalyse, einer Disziplin innerhalb der Mathematik, gegeben C*-algebra A, gründet der Gelfand-Naimark-Segal Aufbau eine Ähnlichkeit zwischen zyklischem *-representations A und bestimmtem geradlinigem functionals auf (genannt Staaten). Die Ähnlichkeit wird durch einen ausführlichen Aufbau *-representation vom Staat gezeigt. Der Inhalt des GNS Aufbaus wird im zweiten Lehrsatz unten enthalten. Es wird für Israel Gelfand, Mark Naimark und Irving Segal genannt.

Staaten und Darstellungen

*-representation C*-algebra auf einem Raum von Hilbert ist H kartografisch darzustellen

π von in die Algebra von begrenzten Maschinenbedienern auf solchem H dass

• π ist ein Ringhomomorphismus, der Involution in die Involution auf Maschinenbedienern fortsetzt
• π ist nichtdegeneriert, der der Raum von Vektoren π (x) ist, ist ξ als x Reihen durch A und ξ-Reihen durch H dicht. Bemerken Sie, dass, wenn A eine Identität hat, Nichtentartungsmittel genau π Einheitsbewahrung ist, d. h. π die Identität dem Identitätsmaschinenbediener auf H kartografisch darstellt.

Ein Staat auf C*-algebra A ist ein positiver geradliniger funktioneller f der Norm 1. Wenn A ein multiplicative Einheitselement hat, ist diese Bedingung zu f (1) = 1 gleichwertig.

Für eine Darstellung π C*-algebra auf einem Raum von Hilbert H wird ein Element ξ einen zyklischen Vektoren wenn der Satz von Vektoren genannt

ist in H dichte Norm, in welchem Fall π eine zyklische Darstellung genannt wird. Jeder Nichtnullvektor einer nicht zu vereinfachenden Darstellung ist zyklisch. Jedoch können Nichtnullvektoren in einer zyklischen Darstellung scheitern, zyklisch zu sein.

Zeichen dem Leser: In unserer Definition des Skalarprodukts ist das verbundene geradlinige Argument das erste Argument, und das geradlinige Argument ist das zweite Argument. Das wird aus Gründen der Vereinbarkeit mit der Physik-Literatur getan. So ist die Ordnung von Argumenten in einigen der Aufbauten unten genau Entgegengesetztes von denjenigen in vielen Mathematik-Lehrbüchern.

Lassen Sie π *-representation C*-algebra auf dem Raum von Hilbert H mit dem zyklischen Vektoren ξ sein Norm 1 zu haben. Dann

ist der Staat A. Gegeben *-representations π π' jeder mit der Einheitsnorm sind zyklische Vektoren ξ  H, ξ'  K solch, dass ihre jeweiligen verbundenen Staaten, dann π, π zusammenfallen', unitarily gleichwertige Darstellungen. Der Maschinenbediener U, der π (a) ξ zu π '(a) ξ' kartografisch darstellt, führt die einheitliche Gleichwertigkeit durch.

Das gegenteilige ist auch wahr. Jeder Staat darauf ist C*-algebra des obengenannten Typs. Das ist der GNS Aufbau:

Lehrsatz. In Anbetracht eines Staates ρ A gibt es *-representation π mit dem ausgezeichneten zyklischen Vektoren ξ solch, dass sein verbundener Staat ρ, d. h. ist

für jeden x in A.

Der Aufbau geht wie folgt weiter: Die Algebra Taten auf sich durch die linke Multiplikation. Über ρ kann man eine Raumstruktur von Hilbert auf Einem vereinbaren mit dieser Handlung einführen.

Definieren Sie auf Einem a, vielleicht einzigartiges, Skalarprodukt

Hier einzigartig bedeutet, dass die Sesquilinear-Form scheitern kann, das Nichtentartungseigentum des Skalarprodukts zu befriedigen. Durch die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz bilden die degenerierten Elemente, x in Einer Zufriedenheit ρ (x* x) = 0, einen Vektor-Subraum I von A. Durch C*-algebraic Argument kann man zeigen, dass ich ein linkes Ideal von A bin. Der Quotient-Raum durch den Vektor-Subraum bin ich ein Skalarprodukt-Raum. Die Cauchy Vollziehung von A/I in der Quotient-Norm ist ein Raum von Hilbert H.

Man muss überprüfen, dass die Handlung π (x) y = xy auf sich den obengenannten Aufbau durchführt. Da ich ein linkes Ideal von A bin, steigt π zum Quotient-Raum A/I hinunter. Dasselbe Argument sich zeigend bin ich ein linkes Ideal auch deutet an, dass π (x) ein begrenzter Maschinenbediener auf A/I ist und deshalb einzigartig zur Vollziehung erweitert werden kann. Das beweist die Existenz *-representation π.

Wenn A eine multiplicative Identität 1 hat, dann ist es unmittelbar, dass die Gleichwertigkeitsklasse ξ im GNS Hilbert Raum H, 1 enthaltend, ein zyklischer Vektor für die obengenannte Darstellung ist. Wenn A non-unital ist, nehmen Sie eine ungefähre Identität {e} für A. Da positive geradlinige functionals begrenzt werden, die Gleichwertigkeitsklassen des Netzes läuft {e} zu einem Vektoren ξ in H zusammen, der ein zyklischer Vektor für π ist.

Es ist klar, dass der Staat ρ als ein Vektor-Staat auf dem GNS Hilbert Raum wieder erlangt werden kann. Das beweist den Lehrsatz.

Die obengenannten Shows, dass es eine bijektive Ähnlichkeit zwischen positivem geradlinigem functionals und zyklischen Darstellungen gibt. Zwei zyklische Darstellungen π und π mit entsprechendem positivem functionals φ und ψ sind unitarily Entsprechung wenn und nur wenn φ = α ψ für eine positive Zahl

Wenn ω, φ, und ψ positiver geradliniger functionals mit ω = φ + ψ sind, dann ist π unitarily Entsprechung zu einer Subdarstellung von π  π. Die Einbetten-Karte wird durch gegeben

Der GNS Aufbau ist am Herzen des Beweises des Gelfand-Naimark Lehrsatzes, der C*-algebras als Algebra von Maschinenbedienern charakterisiert. C*-algebra hat genug viele reine Staaten (sieh unten), so dass die direkte Summe von entsprechenden nicht zu vereinfachenden GNS Darstellungen treu ist.

Die direkte Summe der entsprechenden GNS Darstellungen des ganzen positiven geradlinigen functionals wird die universale Darstellung von A genannt. Da jede nichtdegenerierte Darstellung eine direkte Summe von zyklischen Darstellungen ist, ist jede andere Darstellung *-homomorphic Image von π.

Wenn π die universale Darstellung C*-algebra A ist, wird der Verschluss von π (A) in der schwachen Maschinenbediener-Topologie das Einschlagen Algebra von von Neumann von A genannt. Es kann mit dem doppelten Doppel-** identifiziert werden.

Irreducibility

Auch der Bedeutung ist die Beziehung zwischen nicht zu vereinfachendem *-representations und äußersten Punkten des konvexen Satzes von Staaten. Eine Darstellung π auf H ist wenn und nur nicht zu vereinfachend, wenn es keine geschlossenen Subräume von H gibt, die invariant unter allen Maschinenbedienern π (x) anders sind als H selbst und der triviale Subraum {0}.

Lehrsatz. Der Satz von Staaten C*-algebra mit einem Einheitselement ist ein konvexer Kompaktsatz unter weak-* Topologie. Im Allgemeinen (unabhängig davon, ob A ein Einheitselement hat) ist der Satz von positivem functionals der Norm  1 ein konvexer Kompaktsatz.

Beide dieser Ergebnisse folgen sofort vom Banach-Alaoglu Lehrsatz.

Im unital Ersatzfall, für C*-algebra C (X) von dauernden Funktionen auf einigen pressen X zusammen, Darstellungslehrsatz von Riesz sagt, dass die positiven functionals der Norm  1 genau der Borel positive Maßnahmen auf X mit der Gesamtmasse  1 sind. Es folgt aus Krein-Milman Lehrsatz, dass die Extremal-Staaten die Maßnahmen der Punkt-Masse von Dirac sind.

Andererseits ist eine Darstellung von C (X) nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn es ein dimensionaler ist. Deshalb ist die GNS Darstellung von C (X) entsprechend einem Maß μ nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn μ ein Extremal-Staat ist. Das ist tatsächlich für C*-algebras im Allgemeinen wahr.

Lehrsatz. Lassen Sie A C*-algebra sein. Wenn π *-representation ist

Auf dem Raum von Hilbert H mit der Einheitsnorm zyklischer Vektor ξ, dann

π ist nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn der entsprechende Staat f ein äußerster Punkt des konvexen Satzes von positivem geradlinigem functionals auf von der Norm  1 ist.

Um dieses Ergebnis zu beweisen, bemerkt man zuerst, dass eine Darstellung nicht zu vereinfachend ist, wenn und nur wenn der commutant von π (A), angezeigt durch π (A)' besteht aus Skalarvielfachen der Identität.

Jeder positive geradlinige functionals g auf Einem beherrschten durch f ist von der Form

für einen positiven Maschinenbediener T in π (A)' mit 0  T  1 in der Maschinenbediener-Ordnung. Das ist eine Version des Radon-Nikodym Lehrsatzes.

Für solchen g kann man f als eine Summe von positivem geradlinigem functionals schreiben: f = g + g'. So ist π unitarily Entsprechung zu einer Subdarstellung von π  π. Das zeigt, dass π nicht zu vereinfachend ist, wenn, und nur wenn jeder solcher π unitarily Entsprechung zu π ist, d. h. g ein Skalarvielfache von f ist, der den Lehrsatz beweist.

Staaten von Extremal werden gewöhnlich reine Staaten genannt. Bemerken Sie, dass ein Staat ein reiner Staat ist, wenn, und nur wenn es extremal im konvexen Satz von Staaten ist.

Die Lehrsätze oben dafür sind C*-algebras mehr allgemein im Zusammenhang B*-algebras mit der ungefähren Identität gültig.

Generalisationen

Der Lehrsatz von Stinespring factorization, der völlig positive Karten charakterisiert, ist eine wichtige Generalisation des GNS Aufbaus.

Geschichte

Gelfands Papier und Naimarks auf dem Gelfand-Naimark Lehrsatz wurde 1943 veröffentlicht. Segal hat den Aufbau anerkannt, der in dieser Arbeit implizit war und sie in der geschärften Form präsentiert hat.

In seiner Zeitung von 1947 Segal hat gezeigt, dass es für jedes physische System genügend ist, das durch eine Algebra von Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert beschrieben werden kann, um die nicht zu vereinfachenden Darstellungen C*-algebra zu denken. In der Quant-Theorie bedeutet das, dass C*-algebra durch den observables erzeugt wird. Das, wie Segal darauf hingewiesen hat, war früher von John von Neumann nur für den spezifischen Fall der nichtrelativistischen Theorie von Schrödinger-Heisenberg gezeigt worden.

• William Arveson, Eine Einladung zu C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
• Jacques Dixmier, Les C*-Algèbres und leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969. Englische Übersetzung:
• Thomas Timmermann, Eine Einladung zu Quant-Gruppen und Dualität: von Algebra von Hopf bis multiplicative unitaries und darüber hinaus, europäische Mathematische Gesellschaft, 2008, internationale Standardbuchnummer 978-3-03719-043-2 - Anhang 12.1, Abteilung: GNS Aufbau (p. 371)
• Stefan Waldmann: Auf der Darstellungstheorie der Deformierung quantization, In: Deformierung Quantization: Verhandlungen der Sitzung von Theoretischen Physikern und Mathematikern, Straßburg, am 31. Mai - am 2. Juni 2001 (Studien in der Generativen Grammatik), Gruyter, 2002, internationale Standardbuchnummer 978-3-11-017247-8, p. 107-134 - Abschnitt 4. Der GNS Aufbau (p. 113)

Reihenverweisungen: