In der Mathematik, der affine Gruppe oder allgemeinen affine Gruppe jedes affine Raums über Feld K ist die Gruppe des ganzen invertible affine Transformationen vom Raum in sich.

Es ist eine Lüge-Gruppe, wenn K das echte oder komplizierte Feld oder quaternions ist.

Beziehung zur allgemeinen geradlinigen Gruppe

Aufbau von der allgemeinen geradlinigen Gruppe

Konkret, in Anbetracht eines Vektorraums V, hat es einen zu Grunde liegenden affine Raum Ein erhaltener durch "das Vergessen" des Ursprungs, mit V stellvertretend auf Übersetzungen, und die affine Gruppe von A kann konkret als das halbdirekte Produkt V durch GL (V), die allgemeine geradlinige Gruppe V beschrieben werden:

:

Die Handlung von GL (V) auf V ist die natürliche (geradlinige Transformationen sind automorphisms), so definiert das ein halbdirektes Produkt.

In Bezug auf matrices schreibt man:

:

wo hier die natürliche Handlung von GL (n, K) auf K Matrixmultiplikation eines Vektoren ist.

Ausgleicher eines Punkts

In Anbetracht der affine Gruppe eines affine Raums A ist der Ausgleicher eines Punkts p zur allgemeinen geradlinigen Gruppe derselben Dimension isomorph (so ist der Ausgleicher eines Punkts in Aff (2, R) zu GL (2, R)) isomorph; formell ist es die allgemeine geradlinige Gruppe des Vektorraums: Rufen Sie zurück, dass, wenn man einen Punkt befestigt, ein affine Raum ein Vektorraum wird.

Alle diese Untergruppen sind verbunden, wo Konjugation durch die Übersetzung von p bis q gegeben wird (der einzigartig definiert wird), jedoch ist keine besondere Untergruppe eine natürliche Wahl, da nichts speziell ist - entspricht das den vielfachen Wahlen der Queruntergruppe oder dem Aufspalten der kurzen genauen Folge

:.

Im Fall, den die affine Gruppe gebaut wurde, indem sie mit einem Vektorraum angefangen hat, ist die Untergruppe, die den Ursprung (vom Vektorraum) stabilisiert, der ursprüngliche GL (V).

Matrixdarstellung

Wenn sie

die affine Gruppe als ein halbdirektes Produkt V durch GL (V), dann durch den Aufbau des halbdirekten Produktes vertreten, sind die Elemente Paare (M, v), wo v ein Vektor in V ist und M ein geradliniger ist, verwandeln sich in GL (V), und durch Multiplikation wird gegeben:

:

Das kann als (n + 1) &times vertreten werden; (n + 1) blockieren Matrix:

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wo M n×n Matrix über K, v ein n &times ist; 1 Spaltenvektor, 0 ist 1 × n Reihe von Nullen, und 1 ist 1 × 1 Identität blockiert Matrix.

Formell ist Aff (V) zu einer Untergruppe, mit V eingebettet als das affine Flugzeug, nämlich der Ausgleicher dieses affine Flugzeugs natürlich isomorph; die obengenannte Matrixformulierung ist (stellen Sie um) die Verwirklichung davon, mit (n × n und 1 × 1) Blöcke entsprechend der Zergliederung der direkten Summe.

Eine ähnliche Darstellung ist irgendwelcher (n + 1) × (n + 1) Matrix, in der die Einträge in jeder Säule zu 1 resümieren. Die Ähnlichkeit P, um von der obengenannten Art bis diese Art zu gehen, ist (n + 1) × (n + 1) Identitätsmatrix mit der untersten durch eine Reihe aller ersetzten Reihe.

Jede dieser zwei Klassen von matrices wird unter der Matrixmultiplikation geschlossen.

Andere affine Gruppen

Allgemeiner Fall

In Anbetracht jeder Untergruppe

man kann eine affine Gruppe, manchmal angezeigt analog als erzeugen.

Mehr allgemein und abstrakt, in Anbetracht jeder Gruppe G und einer Darstellung von G auf einem Vektorraum V,

man bekommt eine verbundene affine Gruppe: Man kann sagen, dass die affine erhaltene Gruppe "eine Gruppenerweiterung durch eine Vektor-Darstellung", und als oben ist, hat man die kurze genaue Folge:

:

Spezielle affine Gruppe

Die Teilmenge des ganzen invertible affine Transformationen, die eine feste Volumen-Form, oder in Bezug auf das halbdirekte Produkt, den Satz aller Elemente bewahren (M, v) mit der M der Determinante 1, ist eine als die spezielle affine Gruppe bekannte Untergruppe.

Gruppe von Poincaré

Die Poincaré Gruppe ist die affine Gruppe der Gruppe von Lorentz:

Dieses Beispiel ist in der Relativität sehr wichtig.

• Roger C. Lyndon, Gruppen und Geometrie, Universität von Cambridge Presse, 1985, internationale Standardbuchnummer 0-521-31694-4. Abschnitt VI.1.