In der Mathematik ist ein affine Raum eine geometrische Struktur, die die affine Eigenschaften des Euklidischen Raums verallgemeinert. In einem affine Raum kann man Punkte abziehen, um Vektoren zu bekommen, oder einen Vektoren zu einem Punkt hinzuzufügen, um einen anderen Punkt zu bekommen, aber man kann Punkte nicht hinzufügen. Insbesondere es gibt keinen ausgezeichneten Punkt, der als ein Ursprung dient. Der Lösungssatz einer inhomogeneous geradlinigen Gleichung ist entweder leer oder ein affine Raum (aber bemerken Sie, dass ein einzelner Punkt auch ein affine Raum, über einen nulldimensionalen Vektorraum ist).

Informelle Beschreibungen

Die folgende Charakterisierung kann leichter sein zu verstehen als die übliche formelle Definition: Ein affine Raum ist, was eines Vektorraums verlassen wird, nachdem Sie vergessen haben, welcher Punkt der Ursprung ist (oder, in den Wörtern des französischen Mathematikers Marcel Berger, "Ist ein affine Raum nichts anderes als ein Vektorraum, dessen Ursprung wir versuchen, darüber zu vergessen, indem wir Übersetzungen zu den geradlinigen Karten" hinzufügen). Stellen Sie sich vor, dass Alice weiß, dass ein bestimmter Punkt der wahre Ursprung ist, und Bob glaubt, dass ein anderer Punkt — es nennt, ist p — der Ursprung. Zwei Vektoren, a und b, sollen hinzugefügt werden. Bob zieht einen Pfeil von p bis a und einen anderen Pfeil von p bis b, und vollendet das Parallelogramm, um zu finden, was Bob denkt, ist + b, aber Alice weiß, dass er wirklich geschätzt hat

:p + (ein  p) + (b  p).

Ähnlich können Alice und Bob jede geradlinige Kombination von a und b, oder von jedem begrenzten Satz von Vektoren bewerten, und werden allgemein verschiedene Antworten bekommen. Jedoch, wenn die Summe der Koeffizienten in einer geradlinigen Kombination 1 ist, dann werden Alice und Bob dieselbe Antwort erreichen.

Wenn Alice zu reist

:λa + (1  λ) b

dann kann Bob zu ähnlich reisen

:p + λ (ein  p) + (1  λ) (b  p) = λa + (1  λ) b.

Dann für alle Koeffizienten beschreiben λ + (1  λ) = 1, Alice und Bob denselben Punkt mit derselben geradlinigen Kombination, von verschiedenen Ursprüngen anfangend.

Während Alice weiß, dass die "geradlinige Struktur", sowohl Alice als auch Bob "affine Struktur" — d. h. die Werte von affine Kombinationen weiß, die als geradlinige Kombinationen definiert sind, in denen die Summe der Koeffizienten 1 ist. Ein zu Grunde liegender Satz mit einer affine Struktur ist ein affine Raum.

Definition

Ein affine Raum ist ein Satz zusammen mit einem Vektorraum und einer Gruppenhandlung (mit der Hinzufügung von Vektoren als Gruppenoperation) auf, solch, dass der einzige Vektor, der mit einem fixpoint handelt, ist (d. h. die Handlung ist frei), und es gibt eine einzelne Bahn (die Handlung ist transitiv). Mit anderen Worten ist ein affine Raum ein homogener Hauptraum über die zusätzliche Gruppe eines Vektorraums.

Ausführlich ist ein affine Raum ein Punkt-Satz zusammen mit einer Karte

:

mit den folgenden Eigenschaften:

1. Verlassene Identität

:

1. Associativity

:

1. Einzigartigkeit
2. : ist eine Bijektion.

Wie man

sagt, unterliegt der Vektorraum dem affine Raum und wird auch den Unterschied-Raum genannt.

Indem

man einen Ursprung wählt, kann man sich so damit identifizieren, sich folglich in einen Vektorraum verwandeln. Umgekehrt ist jeder Vektorraum ein affine Raum über sich. Das Einzigartigkeitseigentum stellt sicher, dass die Subtraktion irgendwelcher zwei Elemente dessen gut definiert wird, einen Vektoren dessen erzeugend.

Wenn, und Punkte darin sind und ein Skalar, dann ist

:ist

dessen unabhängig. Statt willkürlicher geradliniger Kombinationen haben nur solche affine Kombinationen von Punkten Bedeutung.

Durch die Anmerkung, dass man Subtraktion von Punkten eines affine Raums wie folgt definieren kann:

: ist der einzigartige Vektor im solchem dass,

man kann einen affine Raum als ein Punkt-Satz, zusammen mit einem Vektorraum und einer Subtraktionskarte mit den folgenden Eigenschaften gleichwertig definieren:

1. es gibt einen einzigartigen solchen Punkt dass und
2. .

Diese zwei Eigenschaften werden die Axiome von Weyl genannt.

Beispiele

• Wenn Kinder die Antworten auf Summen solchen als 4+3 oder 4−2 finden, indem sie Recht oder verlassen auf einem Zahlenstrahl aufzählen, behandeln sie den Zahlenstrahl als ein eindimensionaler affine Raum.
• Jeder coset eines Subraums eines Vektorraums ist ein affine zu Ende Raum.
• Wenn eine Matrix ist und in seinem Spaltenraum liegt, ist der Satz von Lösungen der Gleichung ein affine Raum über den Subraum von Lösungen dessen.
• Die Lösungen einer inhomogeneous linearen Differenzialgleichung bilden einen affine Raum über die Lösungen der entsprechenden homogenen geradlinigen Gleichung.
• Die Generalisierung von allen obengenannten, wenn ist geradlinig kartografisch darzustellen, und y, liegt in seinem Image, der Satz von Lösungen der Gleichung ist ein coset des Kerns dessen, und ist deshalb ein affine zu Ende Raum.

Subräume von Affine

Ein affine Subraum (hat manchmal eine geradlinige Sammelleitung, geradlinige Vielfalt oder eine Wohnung genannt), eines Vektorraums ist eine Teilmenge, die unter affine Kombinationen von Vektoren im Raum geschlossen ist. Zum Beispiel, der Satz

:

ist ein affine Raum, wo eine Familie von Vektoren in ist - ist dieser Raum die affine Spanne dieser Punkte. Um zu sehen, dass das tatsächlich ein affine Raum ist, bemerken Sie, dass dieser Satz eine transitive Handlung des Vektor-Subraums von trägt

:

Dieser affine Subraum kann als der coset - Handlung gleichwertig beschrieben werden

:

wo jedes Element, oder gleichwertig ist, weil jeder Niveau-Satz des Quotienten Eine Wahl dessen kartografisch darstellt, gibt einen Grundpunkt und eine Identifizierung damit, aber es gibt keine natürliche Wahl, noch eine natürliche Identifizierung mit

Eine geradlinige Transformation ist eine Funktion, die alle geradlinigen Kombinationen bewahrt; eine affine Transformation ist eine Funktion, die alle affine Kombinationen bewahrt. Ein geradliniger Subraum ist ein affine Subraum, der den Ursprung, oder, gleichwertig, einen Subraum enthält, der unter geradlinigen Kombinationen geschlossen wird.

Zum Beispiel, in, sind der Ursprung, die Linien und die Flugzeuge durch den Ursprung und den ganzen Raum geradlinige Subräume, während Punkte, Linien und Flugzeuge im Allgemeinen sowie der ganze Raum die affine Subräume sind.

Kombinationen von Affine und affine Abhängigkeit

Eine affine Kombination ist eine geradlinige Kombination, in der die Summe der Koeffizienten 1 ist. Da Mitglieder von einer Reihe von Vektoren linear unabhängig sind, wenn niemand eine geradlinige Kombination von anderen ist, also auch sind sie affinely Unabhängiger, wenn niemand eine affine Kombination von anderen ist. Der Satz von geradlinigen Kombinationen von einer Reihe von Vektoren ist ihre "geradlinige Spanne" und ist immer ein geradliniger Subraum; der Satz aller affine Kombinationen ist ihr "affine Spanne" und ist immer ein affine Subraum. Zum Beispiel die affine Spanne eine Reihe sind zwei Punkte die Linie, die beide enthält; die affine Spanne eine Reihe weisen drei non-collinear hin ist das Flugzeug, das alle drei enthält.

Vektoren

:v, v..., v

sind

linear abhängig, wenn dort Skalare a, a, …, a, nicht die ganze Null, für der bestehen

Ähnlich sind sie affinely Abhängiger, wenn außerdem die Summe von Koeffizienten Null ist:

:

Axiome

Raum von Affine wird gewöhnlich als analytische Geometrie mit Koordinaten, oder gleichwertig Vektorräumen studiert. Es kann auch als synthetische Geometrie durch das Niederschreiben von Axiomen studiert werden, obwohl diese Annäherung viel weniger üblich ist. Es gibt mehrere verschiedene Systeme von Axiomen für den affine Raum.

axiomatizes affine Geometrie (über den reals) als bestellte Geometrie zusammen mit einer Affine-Form des Lehrsatzes von Desargues und eines Axioms, das feststellt, dass in einem Flugzeug es höchstens eine Linie durch einen gegebenen Punkt gibt, der nicht eine gegebene Linie entspricht.

Flugzeuge von Affine befriedigen die folgenden Axiome:

(in dem zwei Linien parallel genannt werden, wenn sie gleich sind oder

zusammenhanglos):

• Irgendwelche zwei verschiedenen Punkte liegen auf einer einzigartigen Linie.
• In Anbetracht eines Punkts und Linie dort ist eine einzigartige Linie, die den Punkt enthält und zur Linie parallel

ist

• Dort bestehen Sie drei Non-Collinear-Punkte.

Sowie Affine-Flugzeuge über Felder (oder Abteilungsringe), es gibt auch viele non-Desarguesian Flugzeuge, die diese Axiome befriedigen. gibt Axiome für höhere dimensionale affine Räume.

Beziehung zu projektiven Räumen

Räume von Affine sind Subräume von projektiven Räumen: Ein affine Flugzeug kann bei jedem projektiven Flugzeug durch das Entfernen einer Linie und aller Punkte darauf erhalten werden, und umgekehrt kann jedes affine Flugzeug verwendet werden, um ein projektives Flugzeug als ein Verschluss durch das Hinzufügen einer "Linie an der Unendlichkeit" zu bauen, wessen Punkte Gleichwertigkeitsklassen von parallelen Linien entsprechen.

Weiter strecken sich Transformationen des projektiven Raums, die affine Raum (gleichwertig, diese Konserve die Punkte an der Unendlichkeit als ein Satz) Ertrag-Transformationen des affine Raums, und umgekehrt jede affine geradlinige Transformation bewahren, einzigartig bis zu projektive geradlinige Transformationen aus, so sind affine Transformationen eine Teilmenge von projektiven, verwandelt sich. Am vertrautesten ist, dass Transformationen von Möbius (Transformationen der projektiven Linie oder Bereich von Riemann) affine sind (Transformationen des komplizierten Flugzeugs), wenn, und nur wenn sie den Punkt an der Unendlichkeit befestigen.

Jedoch kann man nicht den projectivization eines affine Raums nehmen, so sind projektive Räume nicht natürlich Quotienten von affine Räumen: Man kann nur den projectivization eines Vektorraums nehmen, da der projektive Raum Linien durch einen gegebenen Punkt ist, und es keinen ausgezeichneten Punkt in einem affine Raum gibt. Wenn man einen Grundpunkt wählt (als Null), dann wird ein affine Raum ein Vektorraum, welcher dann projectivize kann, aber das verlangt eine Wahl.

Siehe auch

• Affine-Geometrie
• Affine-Transformation
• Affine-Gruppe
• Affine-Rumpf
• equipollence (Geometrie)
• Zwischenraum-Maß, ein affine erkennbarer in der Statistik
• Haufen (Mathematik)
• Raum (Mathematik)

Referenzen