Die Gleichung des Sinus-Gordon ist eine nichtlineare teilweise Hyperbeldifferenzialgleichung in 1 + 1 Dimensionen, die den Maschinenbediener von D'Alembert und den Sinus der unbekannten Funktion einbeziehen. Es wurde im neunzehnten Jahrhundert im Laufe der Studie von Oberflächen der unveränderlichen negativen Krümmung ursprünglich betrachtet. Diese Gleichung hat viel Aufmerksamkeit in den 1970er Jahren wegen der Anwesenheit von soliton Lösungen angezogen.

Ursprung der Gleichung und seines Namens

Es gibt zwei gleichwertige Formen der Gleichung des Sinus-Gordon. In den (echten) Raum-Zeit-Koordinaten, angezeigt (x, t), liest die Gleichung:

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Zu den leichten Kegel-Koordinaten (u, v), verwandt mit asymptotischen Koordinaten wo gehend

:

die Gleichung nimmt die Form an:

:

Das ist die ursprüngliche Form der Gleichung des Sinus-Gordon, weil es im neunzehnten Jahrhundert im Laufe der Untersuchung von Oberflächen der unveränderlichen Krümmung von Gaussian K = −1, auch genannt pseudokugelförmige Oberflächen betrachtet wurde. Wählen Sie ein Koordinatensystem für solch eine Oberfläche, in der das Koordinatenineinandergreifen u = unveränderlich, v = unveränderlich durch die asymptotischen in Bezug auf die Kreisbogen-Länge parametrisierten Linien gegeben wird. Die erste grundsätzliche Form der Oberfläche in diesen Koordinaten hat eine spezielle Form

:

wo Schnellzüge der Winkel zwischen den asymptotischen Linien, und für die zweite grundsätzliche Form, L = N = 0. Dann läuft die Codazzi-Mainardi Gleichung, die eine Vereinbarkeitsbedingung zwischen den ersten und zweiten grundsätzlichen Formen ausdrückt, auf die Gleichung des Sinus-Gordon hinaus. Die Studie dieser Gleichung und der verbundenen Transformationen von pseudokugelförmigen Oberflächen im 19. Jahrhundert durch Bianchi und Bäcklund hat zur Entdeckung von Transformationen von Bäcklund geführt.

Der Name "Gleichung des Sinus-Gordon" ist ein Wortspiel über die wohl bekannte Gleichung von Klein-Gordon in der Physik:

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Die Gleichung des Sinus-Gordon ist die Euler-Lagrange Gleichung des Feldes, dessen Dichte von Lagrangian durch gegeben wird

:

Mit der Reihenentwicklung von Taylor des Kosinus in Lagrangian,

:

es kann umgeschrieben werden, weil der Klein-Gordon Lagrangian plus die höhere Ordnung nennt

:\begin {richten }\aus

\mathcal {L} _ \text {SG} (\varphi) & = \frac {1} {2} (\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \frac {\\varphi^2} {2} + \sum_ {n=2} ^\\infty \frac {(-\varphi^2) ^n} {(2n)!} \\

& = \mathcal {L} _ \text {KG} (\varphi) + \sum_ {n=2} ^\\infty \frac {(-\varphi^2) ^n} {(2n)!}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Lösungen von Soliton

Eine interessante Eigenschaft der Gleichung des Sinus-Gordon ist die Existenz von soliton und multisoliton Lösungen.

1-soliton Lösungen

Die Gleichung des Sinus-Gordon hat die folgenden 1-soliton Lösungen:

:wo:

und die ein bisschen allgemeinere Form der Gleichung wird angenommen:

:

Die 1-soliton Lösung, für die wir die positive Wurzel dafür gewählt haben, wird einen Knick genannt, und vertritt eine Drehung in der Variable, die das System von einer Lösung bis einen angrenzenden damit nimmt. Die Staaten sind als Vakuumstaaten bekannt, weil sie unveränderliche Lösungen der Nullenergie sind. Die 1-soliton Lösung, in der wir die Verneinung nehmen, wühlt wird einen Antiknick genannt. Die Form der 1-soliton Lösungen kann durch die Anwendung von Bäcklund erhalten werden gestalten ins triviale (unveränderliches Vakuum) Lösung und die Integration der resultierenden Differenziale der ersten Ordnung um:

::

für alle Zeiten.

Die 1-soliton Lösungen können mit dem Gebrauch des elastischen Zierband-Modells des Sinus-Gordon, wie besprochen, von Dodd und Mitarbeitern vergegenwärtigt werden. Hier nehmen wir eine im Uhrzeigersinn (linkshändige) Drehung des elastischen Zierbandes, um ein Knick mit der topologischen Anklage zu sein. Die Alternative gegen den Uhrzeigersinn (rechtshändige) Drehung mit der topologischen Anklage wird ein Antiknick sein.

2-soliton Lösungen

Multi-soliton Lösungen können durch die fortlaufende Anwendung von Bäcklund erhalten werden verwandeln sich zur 1-soliton Lösung, wie vorgeschrieben, durch ein Gitter von Bianchi, das die umgestalteten Ergebnisse verbindet. Die 2-soliton Lösungen der Gleichung des Sinus-Gordon zeigen einige der charakteristischen Eigenschaften des solitons. Die Reisen-Knicke des Sinus-Gordon und/oder Antiknicke führen einander durch, als ob vollkommen durchlässig, und die einzige beobachtete Wirkung eine Phase-Verschiebung ist. Seit dem Kollidieren erlangen solitons ihre Geschwindigkeit wieder und formen sich solche Art der Wechselwirkung wird eine elastische Kollision genannt.

Ein anderer interessante 2-soliton Lösungen entsteht aus der Möglichkeit des verbundenen als eine Verschnaufpause bekannten Verhaltens des Knick-Antiknicks. Dort sind drei Typen von Verschnaufpausen bekannt: Stehverschnaufpause, das Reisen große Umfang-Verschnaufpause und Reisen kleine Umfang-Verschnaufpause.

3-soliton Lösungen

3-soliton Kollisionen zwischen einem Reisen-Knick und einer Stehverschnaufpause oder einem Reisen-Antiknick und einer Stehverschnaufpause laufen auf eine Phase-Verschiebung der Stehverschnaufpause hinaus. Im Prozess der Kollision zwischen einem bewegenden Knick und einer Stehverschnaufpause,

durch die Verschiebung der Verschnaufpause wird gegeben:

:

wo die Geschwindigkeit des Knicks ist, und die Frequenz der Verschnaufpause ist. Wenn die alte Position der Stehverschnaufpause ist, nach der Kollision wird die neue Position sein.

Zusammenhängende Gleichungen

Gegeben durch zu sein

:

Das ist die Euler-Lagrange Gleichung von Lagrangian

:

Eine andere nah zusammenhängende Gleichung ist die elliptische Gleichung des Sinus-Gordon, die durch gegeben ist

:

wo jetzt eine Funktion der Variablen x und y ist. Das ist nicht mehr eine soliton Gleichung, aber sie hat viele ähnliche Eigenschaften, weil sie mit der Gleichung des Sinus-Gordon durch die analytische Verlängerung (oder Docht-Folge) y = es verbunden ist.

Die elliptische Gleichung von sinh-Gordon kann auf eine ähnliche Weise definiert werden.

Eine Generalisation wird durch die Feldtheorie von Toda gegeben.

Quant-Version

In der Quant-Feldtheorie enthält das Modell des Sinus-Gordon einen Parameter, es kann mit unveränderlichem Planck identifiziert werden. Das Partikel-Spektrum besteht aus einem soliton, einem anti-soliton und einem begrenzten (vielleicht Null) Zahl von Verschnaufpausen. Die Zahl der Verschnaufpausen hängt vom Wert des Parameters ab. Vielpartikel-Produktion annulliert auf der Massenschale. Das Verschwinden zwei in vier Umfang wurde in einer Schleife-Annäherung ausführlich überprüft.

Halbklassischer quantization des Modells des Sinus-Gordon wurde von Ludwig Faddeev und Vladimir Korepin getan. Genaue Quant-Streumatrix wurde von Alexander Zamolodchikov entdeckt.

Dieses Modell ist S-dual zum Modell von Thirring.

Im begrenzten Volumen und auf einer halben Linie

Man kann auch das Modell des Sinus-Gordon auf einem Kreis, auf einem Liniensegment, oder auf einer halben Linie denken. Es ist möglich, Grenzbedingungen zu finden, die den integrability des Modells bewahren. Auf einem halben stellen sich auf das Spektrum enthält gebundene Staaten der Grenze zusätzlich zum solitons und den Verschnaufpausen.

Supersymmetrisches Modell des Sinus-Gordon

Eine supersymmetrische Erweiterung des Modells des Sinus-Gordon besteht auch. Integrability, der Grenzbedingungen für diese Erweiterung bewahrt, kann ebenso gefunden werden.

Siehe auch

• Wirkung von Josephson
• Fluxon
• Gestalt-Wellen

Links

• Gleichung des Sinus-Gordon an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Gleichung von Sinh-Gordon an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Gleichung des Sinus-Gordon an NEQwiki, der nichtlinearen Gleichungsenzyklopädie.