In der Mathematik ist eine Quartic-Funktion oder Gleichung des vierten Grads, eine Funktion der Form

:

wo Nichtnull ist; oder mit anderen Worten, ein Polynom des Grads vier. Solch eine Funktion wird manchmal eine Biquadratic-Funktion genannt, aber der letzte Begriff kann sich gelegentlich auch auf eine quadratische Funktion eines Quadrats beziehen, die Form habend

:

oder ein Produkt von zwei quadratischen Faktoren, die Form habend

:

Einstellung läuft auf eine quartic Gleichung der Form hinaus:

:

wo ein  0.

Die Ableitung einer Quartic-Funktion ist eine Kubikfunktion.

Da eine Quartic-Funktion ein Polynom sogar des Grads ist, hat sie dieselbe Grenze, wenn das Argument zur positiven oder negativen Unendlichkeit geht. Wenn positiv zu sein, dann nimmt die Funktion zur positiven Unendlichkeit an beiden Seiten zu; und so hat die Funktion ein globales Minimum. Ebenfalls, wenn negativ zu sein, es zur negativen Unendlichkeit abnimmt und ein globales Maximum hat.

Der quartic ist die höchste Ordnungspolynom-Gleichung, die von Radikalen im allgemeinen Fall gelöst werden kann (d. h., derjenige, wo die Koeffizienten jeden Wert nehmen können).

Geschichte

Lodovico Ferrari wird mit der Entdeckung der Lösung des quartic 1540 zugeschrieben, aber da diese Lösung, wie alle algebraischen Lösungen des quartic, verlangt, dass die Lösung eines kubischen gefunden wird, konnte es nicht sofort veröffentlicht werden. Die Lösung des quartic wurde zusammen mit diesem der kubischen vom Mentor von Ferrari Gerolamo Cardano im Buch Ars Magna (1545) veröffentlicht.

Es wird berichtet, dass noch früher, 1486, spanischer Mathematiker Paolo Valmes am Anteil verbrannt wurde, um zu behaupten, die quartic Gleichung gelöst zu haben. Untersuchungsbeamter General Tomás de Torquemada hat ihm angeblich gesagt, dass es der Wille des Gottes dass solch eine Lösung war, zum menschlichen Verstehen unzugänglich sein. Jedoch sind Versuche, Bekräftigen-Beweise für diese Geschichte, oder für die Existenz von Paolo Valmes zu finden, nicht erfolgreich gewesen.

Der Beweis, der vier der höchste Grad eines allgemeinen Polynoms ist, für das solche Lösungen gefunden werden können, wurde zuerst im Lehrsatz von Abel-Ruffini 1824 gegeben, beweisend, dass alle Versuche des Lösens der höheren Ordnungspolynome sinnlos sein würden. Die Zeichen, die von Évariste Galois vor dem Sterben in einem Duell 1832 später verlassen sind, haben zu einer eleganten ganzen Theorie der Wurzeln von Polynomen geführt, von denen dieser Lehrsatz ein Ergebnis war.

Anwendungen

Polynome von hohen Graden erscheinen häufig in Problemen, die Optimierung einschließen, und manchmal sind diese Polynome zufällig quartics, aber das ist ein Zufall.

Quartics entstehen häufig in der Computergrafik und während der Strahlenaufzeichnung gegen Oberflächen wie quadric oder Ring-Oberflächen, die das folgende Niveau außer dem Bereich und den Developable-Oberflächen sind.

Ein anderer häufiger Generator von quartics ist die Kreuzung von zwei Ellipsen.

In der computergestützten Herstellung ist der Ring eine allgemeine mit dem endmill Schneidenden vereinigte Gestalt. Um seine Position hinsichtlich einer triangulierten Oberfläche zu berechnen, muss die Position eines horizontalen Rings auf der Z-Achse gefunden werden, wo es Tangente zu einer festen Linie ist, und das verlangt, dass die Lösung einer allgemeinen quartic Gleichung berechnet wird. Mehr als 10 % der rechenbetonten Zeit mit einem NOCKEN-System können einfach verbraucht werden, die Lösung von Millionen von quartic Gleichungen berechnend.

Ein Programm, das verschiedene analytische Lösungen des quartic demonstriert, wurde im Grafikedelstein-Buch V zur Verfügung gestellt.

Jedoch ist keiner der drei durchgeführten Algorithmen unbedingt stabil.

In einer aktualisierten Version des Papiers, das die 3 Algorithmen vom ursprünglichen Papier und 2 andere vergleicht, wird es demonstriert, dass rechenbetont stabile Lösungen nur für 4 der möglichen 16 Zeichen-Kombinationen der quartic Koeffizienten bestehen.

Das Lösen einer quartic Gleichung

Spezielle Fälle

Denken Sie den quartic

:

Degenerierter Fall

Wenn dann, und eine Lösung auch. Hieraus folgt dass Q (x) faktorisiert werden kann, weil Die restlichen drei Wurzeln - sehen, dass der Hauptsatz der Algebra - durch das Lösen der kubischen Gleichung gefunden werden kann.

Offensichtliche Wurzeln: 1 und −1 und −k

Wenn

dann

so ist eine Wurzel.

Ähnlich, wenn

das, ist

dann ist eine Wurzel.

Wenn eine Wurzel ist, können wir uns durch teilen

und bekommen Sie

:

wo ein ist

Kubikpolynom,

der gelöst werden kann, um 's andere Wurzeln zu finden.

Ähnlich, wenn eine Wurzel, ist

:

wo ein Kubikpolynom ist.

Wenn

dann −k ist eine Wurzel

und wir, können ausklammern

:

\begin {richten }\aus

Q (x)

&=a_4 x^4 + k a_4 x^3 + a_1 x + ka_1

\\

&= (x + k) a_4x^3 + (x + k) a_1

\\

&= (x + k) (a_4x^3 + a_1).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Und wenn

dann sind beide und Wurzeln

Jetzt können wir ausklammern

und bekommen Sie

:\begin {richten }\ausQ (x)

&=x (a_4x^3+ka_4x^2+a_2x+ka_2)

\\

&=x (x+k) (a_4x^2+a_2).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Um Q 's andere Wurzeln zu bekommen, lösen wir einfach den quadratischen Faktor.

Gleichungen von Biquadratic

Wenn dann

:

Q (x) = a_4x^4+a_2x^2+a_0. \, \!

</Mathematik>

Wir nennen solch ein Polynom einen biquadratic, der leicht ist zu lösen.

Lassen Sie

Dann wird Q ein quadratischer q in

:

q (z) = a_4z^2+a_2z+a_0. \, \!

</Mathematik>

Lassen Sie und seien Sie die Wurzeln von q.

Dann sind die Wurzeln unseres quartic Q

:\begin {richten }\aus

x_1&=+ \sqrt {z _ +},

\\

x_2&=-\sqrt {z _ +},

\\

x_3&=+ \sqrt {z_-},

\\

x_4&=-\sqrt {z_-}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Quasisymmetrische Gleichungen

:

Schritte:

1) Teilen Sie sich durch x.

2) Verwenden Sie variable Änderung z = x + m/x.

Der allgemeine Fall, entlang den Linien von Ferrari

Um zu beginnen, muss der quartic zuerst zu einem niedergedrückten quartic umgewandelt werden.

Das Umwandeln zu einem niedergedrückten quartic

Lassen Sie:

seien Sie die allgemeine quartic Gleichung, die wir lösen wollen. Teilen Sie beide Seiten durch, um ein monic Polynom, zu erzeugen

:

Der erste Schritt sollte sein, den X-Begriff zu beseitigen. Um das zu tun, ändern Sie Variablen von x bis u, solch dass

:.

Dann

:

Erweiterung der Mächte der Binome erzeugt

:

+ {B \over Ein }\

\left (u^3 - {3 u^2 B \over 4} + {3 u B^2 \over 16 A^2} - {B^3 \over 64 A^3} \right)

+ {C \over Ein }\

\left (u^2 - {u B \over 2} + {B^2 \over 16 A^2} \right) + {D \over} \left (u - {B \over 4} \right) + {E \over} = 0. </Mathematik>

Das Sammeln derselben Mächte von u gibt nach

:

Benennen Sie jetzt die Koeffizienten von u um. Lassen Sie

:

\alpha & = {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over}, \\

\beta & = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over}, \\

\gamma & = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die resultierende Gleichung ist

:

der eine niedergedrückte quartic Gleichung ist.

Wenn dann wir eine biquadratic Gleichung haben, die (wie erklärt, oben) leicht gelöst wird; mit dem Rückersatz können wir unsere Werte dafür finden.

Wenn dann eine der Wurzeln ist und die anderen Wurzeln durch das Teilen durch und das Lösen der resultierenden niedergedrückten kubischen Gleichung, gefunden werden können

:

Mit dem Rückersatz können wir unsere Werte dafür finden.

Die Lösung von Ferrari

Sonst kann der niedergedrückte quartic mittels einer von Lodovico Ferrari entdeckten Methode gelöst werden. Sobald der niedergedrückte quartic erhalten worden ist, soll der nächste Schritt die gültige Identität hinzufügen

:

zur Gleichung (1), tragend

:

Die Wirkung ist gewesen, den U-Begriff in ein vollkommenes Quadrat zusammenzufalten: (u + α). Der zweite Begriff, αu ist nicht verschwunden, aber sein Zeichen hat sich geändert, und er ist zur richtigen Seite bewegt worden.

Der nächste Schritt soll eine Variable y ins vollkommene Quadrat auf der linken Seite der Gleichung (2), und ein Entsprechen 2y in den Koeffizienten von u in der richtigen Seite einfügen. Um diese Einfügungen zu vollbringen, werden die folgenden gültigen Formeln zur Gleichung (2), hinzugefügt

:

\begin {Matrix-}\

(U^2 +\alpha+y) ^2-(U^2 +\alpha) ^2 & = & 2y (U^2 +\alpha) + y^2 \\

\\

& = & 2yu^2+2y\alpha+y^2,

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

und:

Diese zwei Formeln, zusätzlich zusammen, erzeugen

:

der hinzugefügt zur Gleichung (2) erzeugt

:

Das ist zu gleichwertig

:

Das Ziel ist jetzt, einen Wert für solchen y zu wählen, dass die richtige Seite der Gleichung (3) ein vollkommenes Quadrat wird. Das kann getan werden, indem es den discriminant der quadratischen Funktion Null werden lässt. Um das zu erklären, breiten Sie zuerst ein vollkommenes Quadrat aus, so dass es einer quadratischen Funktion gleichkommt:

:

Die quadratische Funktion hat rechts drei Koeffizienten. Es kann nachgeprüft werden, dass Quadrieren der zweite Koeffizient und dann das Abziehen viermal des Produktes der ersten und dritten Koeffizienten Null nachgibt:

:

Um deshalb die richtige Seite der Gleichung (3) in ein vollkommenes Quadrat zu machen, muss die folgende Gleichung gelöst werden:

:

Multiplizieren Sie das Binom mit dem Polynom,

:

Teilen Sie beide Seiten durch &minus;4, und bewegen Sie sich &minus;/4 nach rechts,

:

+ 5 \alpha y^2

+ (4 \alpha^2 - 2 \gamma) y

+ \left (\alpha^3 - \alpha \gamma - {\\Beta^2 \over 4} \right)

0 \qquad \qquad </Mathematik>

Das ist eine kubische Gleichung für y. Teilen Sie beide Seiten durch 2,

:

Konvertierung des verschachtelten kubischen in einen niedergedrückten kubischen

Gleichung (4) ist eine innerhalb der quartic Gleichung verschachtelte kubische Gleichung. Es muss gelöst werden, um den quartic zu lösen. Um das kubische zu lösen, gestalten Sie es zuerst in einen niedergedrückten kubischen mittels des Ersatzes um

:

Gleichung (4) wird

:

Breiten Sie die Mächte der Binome, aus

:

Verteilen Sie, versammeln Sie sich wie Mächte von v, und annullieren Sie das Paar von V-Begriffen,

:

Das ist eine niedergedrückte kubische Gleichung.

Etikettieren Sie seine Koeffizienten, wieder

::

Das niedergedrückte kubische ist jetzt

:

Das Lösen des verschachtelten hat kubisch niedergedrückt

Die Lösungen (wird jede Lösung, so Auswahl-einige der drei komplizierten Wurzeln tun), der Gleichung (5) werden als geschätzt (sieh Kubische Gleichung)

:wo

:::

und V wird gemäß den zwei Definieren-Gleichungen und, so geschätzt

:::

V = \begin {Fälle }\

- \frac {P} {3U} &\\Text {wenn} U\ne 0\text {und }\\\

- \sqrt [3] {Q} &\\Text {wenn} U=0\.

\end {Fälle} </Mathematik>

Die Falte des zweiten vollkommenen Quadrats

Mit dem Wert für y, der durch die Gleichung (6) gegeben ist, ist es jetzt bekannt, dass die richtige Seite der Gleichung (3) ein vollkommenes Quadrat der Form ist

::

:: (Das ist für beide Zeichen der Quadratwurzel richtig, so lange dasselbe Zeichen für beide Quadratwurzeln genommen wird. &plusmn; ist überflüssig, weil es von einem anderen &plusmn gefesselt sein würde; einige Gleichungen weiter unter diese Seite.)

so dass es gefaltet werden kann:

:.

:: Zeichen: Wenn &beta; &ne; 0 dann &alpha; + 2y &ne; 0. Wenn &beta; = 0 dann würde das eine biquadratic Gleichung sein, die wir früher gelöst haben.

Deshalb wird Gleichung (3)

:.

Gleichung (7) hat ein Paar von gefalteten vollkommenen Quadraten, ein auf jeder Seite der Gleichung. Die zwei vollkommenen Quadrate erwägen einander.

Wenn zwei Quadrate gleich sind, dann sind die Seiten der zwei Quadrate auch, wie gezeigt, gleich durch:

:.

Das Sammeln wie Mächte von u erzeugt

:.

:: Zeichen: Die Subschrift s dessen und soll bemerken, dass sie abhängig sind.

Gleichung (8) ist eine quadratische Gleichung für u. Seine Lösung ist

:

Vereinfachung, man bekommt

:

Das ist die Lösung des niedergedrückten quartic, deshalb sind die Lösungen der ursprünglichen quartic Gleichung

:

:: Erinnern Sie sich: Die zwei kommen aus demselben Platz in der Gleichung (7'), und sollten beide dasselbe Zeichen haben, während das Zeichen dessen unabhängig ist.

Zusammenfassung der Methode von Ferrari

In Anbetracht der quartic Gleichung

:

seine Lösung kann mittels der folgenden Berechnungen gefunden werden:

:::Wenn dann::

Machen Sie sonst mit weiter

:::

(jedes Zeichen der Quadratwurzel wird tun)

:

(es gibt 3 komplizierte Wurzeln, irgendwelche von ihnen wird tun)

:

- {5 \over 6} \alpha + U - \frac {P} {3U} & \text {wenn} U\ne 0 \\

- {5\over 6} \alpha + U - \sqrt [3] {Q} & \text {wenn} U=0

\end {Fälle }\

</Mathematik>::

Wie oben angegeben hat Cardano Ferrari als das erste geglaubt, um eine dieser labyrinthischen Lösungen zu entdecken. Die Gleichung, die er gelöst hat, war:

:

der bereits in der niedergedrückten Form war. Es hat ein Paar von Lösungen, die mit dem Satz von Formeln gefunden werden können, die oben gezeigt sind.

Die Lösung von Ferrari im speziellen Fall von echten Koeffizienten

Wenn die Koeffizienten der quartic Gleichung dann echt sind, hat die verschachtelte niedergedrückte kubische Gleichung (5) auch echte Koeffizienten, so hat es mindestens eine echte Wurzel.

Außerdem die Kubikfunktion

wo P und Q durch (5) gegeben werden, hat die Eigenschaften das

:

wo α und β durch (1) gegeben werden.

Das bedeutet, dass (5) eine echte Wurzel hat, die größer ist als,

und deshalb dass (4) eine echte Wurzel hat, die größer ist als.

Mit dieser Wurzel der Begriff in (8) ist immer echt, der sicherstellt, dass die zwei quadratischen Gleichungen (8) echte Koeffizienten haben Sie.

Das Erreichen von Alternativlösungen durch das Ausklammern des Komplexes konjugiert Lösungen

Es konnte geschehen, dass ein einziger eine Lösung durch die sieben Formeln oben erhalten hat, weil nicht alle vier Zeichen-Muster für vier Lösungen versucht werden, und die erhaltene Lösung kompliziert ist. Es kann auch der Fall sein, dass man nur nach einer echten Lösung sucht. Lassen Sie x die komplizierte Lösung anzeigen. Wenn alle ursprünglichen Koeffizienten A, B, C, D und E echt sind - der der Fall sein sollte, wenn man nur echte Lösungen wünscht - dann gibt es eine andere komplizierte Lösung x, die der von x verbundene Komplex ist. Wenn die anderen zwei Wurzeln als x und x dann angezeigt werden, kann die quartic Gleichung als ausgedrückt werden

:

aber diese quartic Gleichung ist zum Produkt von zwei quadratischen Gleichungen gleichwertig:

:und:

Seitdem

:dann: \begin {Matrix-}\

(x-x_1) (x-x_2) &=&x^2 - (x_1+x_1^\\Stern) x+x_1x_1^\\star\qquad\qquad\qquad\quad

\\

&=&x^2-2 \,\mathrm {Re} (x_1) x + [\mathrm {Re} (x_1)] ^2 + [\mathrm {Im} (x_1)] ^2.

\end {Matrix-}\ </Mathematik>Lassen Sie::

so dass Gleichung (9) wird

:

Lassen Sie auch dort (unbekannte) Variablen w und solcher v zu sein, dass Gleichung (10) wird

:

Das Multiplizieren von Gleichungen (11) und (12) erzeugt

:

Gleichung (13) zur ursprünglichen quartic Gleichung vergleichend, kann es das gesehen werden

:::und:

Deshalb

::

[\mathrm {Re} (x_1)] ^2 + [\mathrm {Im} (x_1)] ^2 \right)}. </Mathematik>

Gleichung (12) kann für x gelöst werden, der trägt

::

Diese zwei Lösungen sind die gewünschten echten Lösungen, wenn echte Lösungen bestehen.

Alternative Methoden

Factorization in quadratics

Man kann einen quartic durch das Factoring es in ein Produkt von zwei quadratics lösen. Lassen Sie

:

\begin {Reihe} {lcl }\

0 = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e & = & (x^2 + px + q) (x^2 + rx + s) \\

& = & x^4 + (p + r) x^3 + (q + s + pr) x^2 + (ps + qr) x + qs

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Durch die Gleichstellung von Koeffizienten läuft das auf den folgenden Satz von gleichzeitigen Gleichungen hinaus:

: \begin {Reihe} {lcl }\

b & = & p + r \\

c & = & q + s + pr \\

d & = & ps + qr \\

e & = & qs

\end {ordnen }\ </Mathematik>

Das kann durch das Starten wieder mit einem niedergedrückten quartic vereinfacht werden, wo, der durch das Ersetzen dann erhalten werden kann, und:

: \begin {Reihe} {lcl }\

c + p^2 & = & s + q \\

d/p & = & s - q \\

e & = & sq

\end {ordnen }\ </Mathematik>

Es ist jetzt leicht, beide und durch das Tun des folgenden zu beseitigen:

: \begin {Reihe} {lcl }\

(c + p^2) ^2 - (d/p) ^2 & = & (s + q) ^2 - (s - q) ^2 \\

& = & 4sq \\

& = & 4e

\end {ordnen }\ </Mathematik>

Wenn wir untergehen, dann verwandelt sich diese Gleichung in die wiederlösende kubische Gleichung

:

der anderswohin gelöst wird. Dann:

: \begin {Reihe} {lcl }\

r & = &-p \\

2s & = & c + p^2 + d/p \\

2q & = & c + p^2 - d/p

\end {ordnen }\ </Mathematik>

Die symmetries in dieser Lösung sind leicht zu sehen. Es gibt drei Wurzeln des kubischen entsprechend den drei Weisen, wie ein quartic factored in zwei quadratics und Auswahl positiver oder negativer Werte für die Quadratwurzel bloß des Austausches die zwei quadratics miteinander sein kann.

Die obengenannte Lösung zeigt, dass das quartic Polynom mit einem Nullkoeffizienten zum Kubikbegriff factorable in quadratics mit vernünftigen Koeffizienten ist, wenn, und nur wenn das kubische Wiederlösungsmittel eine Wurzel hat, die das Quadrat eines vernünftigen ist; das kann mit dem vernünftigen Wurzeltest sogleich überprüft werden.

Theorie von Galois und factorization

Die symmetrische Gruppe S auf vier Elementen hat den als eine normale Untergruppe vier-Gruppen-Klein. Sich das deutet an, zu verwenden, wessen Wurzeln verschiedenartig beschrieben werden können, weil sich ein getrennter Fourier verwandelt oder eine Matrix von Hadamard der Wurzeln verwandeln; sieh Wiederlösungsmittel von Lagrange für die allgemeine Methode. Nehmen Sie r an, weil ich von 0 bis 3 Wurzeln von bin

:

Wenn wir jetzt setzen

:

s_0 &= \tfrac12 (r_0 + r_1 + r_2 + r_3), \\

s_1 &= \tfrac12 (r_0 - r_1 + r_2 - r_3), \\

s_2 &= \tfrac12 (r_0 + r_1 - r_2 - r_3), \\

s_3 &= \tfrac12 (r_0 - r_1 - r_2 + r_3),

\end {richten} </Mathematik> {aus}

dann, da die Transformation eine Involution ist, können wir die Wurzeln in Bezug auf die vier s auf genau dieselbe Weise ausdrücken. Da wir den Wert s =-b/2 wissen, brauchen wir wirklich nur die Werte für s, s und s. Diese können wir finden, indem wir das Polynom ausbreiten

:

der, wenn wir die Vereinfachungsannahme machen, dass b=0, gleich

ist:

Dieses Polynom ist vom Grad sechs, aber nur vom Grad drei in z, und so ist die entsprechende Gleichung lösbar. Durch die Probe können wir bestimmen, den drei Wurzeln die richtigen sind, und folglich die Lösungen des quartic finden.

Wir können jede Voraussetzung für die Probe entfernen, indem wir eine Wurzel desselben wiederlösenden Polynoms für das Factoring verwenden; wenn w eine Wurzel (3), und wenn ist

::

{x} ^ {2}-wx+1/2 \, {w} ^ {2} +1/2 \, c+1/2 \, {\\frac {d}} + {\\frac {c {w} ^ {3}} {d}}-2 \, {\\frac {ew} {d}} +1/2 \, {\\frac </Mathematik>

dann:

Wir können deshalb den quartic lösen, indem wir für w lösen und dann für die Wurzeln der zwei Faktoren mit der quadratischen Formel lösen.

Algebraische Geometrie

Eine Alternativlösung mit der algebraischen Geometrie wird eingereicht, und geht wie folgt (ausführlichere Diskussion in der Verweisung) weiter. Kurz gesagt man interpretiert die Wurzeln als die Kreuzung von zwei quadratischen Kurven, findet dann die drei reduzierbaren quadratischen Kurven (Paare von Linien), die diese Punkte durchführen (das entspricht dem Wiederlösungsmittel kubisch, die Paare von Linien, die die Wiederlösungsmittel von Lagrange sind), und dann verwenden Sie diese geradlinigen Gleichungen, um das quadratische zu lösen.

Die vier Wurzeln des niedergedrückten quartic können auch als die x Koordinaten der Kreuzungen der zwei quadratischen Gleichungen d. h. mit dem Ersatz ausgedrückt werden, den zwei quadratics in vier Punkten durchschneiden, ist ein Beispiel des Lehrsatzes von Bézout. Ausführlich sind die vier Punkte für die vier Wurzeln des quartic.

Diese vier Punkte sind nicht collinear, weil sie auf dem nicht zu vereinfachenden quadratischen liegen und so es eine 1-Parameter-Familie von quadratics (ein Bleistift von Kurven) gibt, diese Punkte durchführend. Das Schreiben des projectivization der zwei quadratics als quadratische Formen in drei Variablen:

:

F_1 (X, Y, Z) &:= Y^2 + pYZ + qXZ + rZ^2, \\

F_2 (X, Y, Z) &:= YZ - X^2

\end {richten} </Mathematik> {aus}

der Bleistift wird durch die Formen für jeden Punkt in der projektiven Linie - mit anderen Worten gegeben, wo und nicht sowohl Null sind, als auch das Multiplizieren einer quadratischen Form durch eine Konstante ändert seine quadratische Kurve von Nullen nicht.

Dieser Bleistift enthält drei reduzierbare quadratics, jeden entsprechend einem Paar von Linien, jeder, zwei der vier Punkte durchführend, die verschiedene Wege getan werden können. Zeigen Sie diese Gegeben irgendwelche zwei von diesen an, ihre Kreuzung ist genau die vier Punkte.

Der reduzierbare quadratics kann abwechselnd durch das Ausdrücken der quadratischen Form als 3&times;3 Matrix bestimmt werden: Reduzierbare quadratics entsprechen dieser Matrix, die einzigartig ist, der eine Entsprechung zu seiner Determinante ist, die Null ist, und die Determinante ein homogener Grad drei Polynom darin ist und und dem kubischen Wiederlösungsmittel entspricht.

Siehe auch

• Geradlinige Funktion
• Quadratische Funktion
• Kubikfunktion
• Quintic fungieren
• Polynom
• Die Methode des Newtons

Weiterführende Literatur

Links

• Das Zu-Stande-Bringen von Ferrari
• Rechenmaschine, für Quartics zu lösen (löst auch Cubics und Quadratics)