In der Mathematik ist ein equaliser oder Equalizer, eine Reihe von Argumenten, wo zwei oder mehr Funktionen gleiche Werte haben.

Ein equaliser ist der Lösungssatz einer Gleichung.

In bestimmten Zusammenhängen ist ein Unterschied-Kern der equaliser von genau zwei Funktionen.

Definitionen

Lassen Sie X und Y Sätze sein.

Lassen Sie f und g Funktionen, beide von X bis Y sein.

Dann ist der equaliser von f und g der Satz von Elementen x von X solch, dass f (x) g (x) in Y gleichkommt.

Symbolisch:

:

Der equaliser kann angezeigter Eq (f, g) oder eine Schwankung auf diesem Thema (solcher als mit Kleinbuchstaben "eq") sein.

In informellen Zusammenhängen ist die Notation {f = g} üblich.

Die Definition hat oben zwei Funktionen f und g verwendet, aber es gibt kein Bedürfnis, auf nur zwei Funktionen, oder sogar auf nur begrenzt viele Funktionen einzuschränken.

Im Allgemeinen, wenn F eine Reihe von Funktionen von X bis Y ist, dann ist der equaliser der Mitglieder von F der Satz von Elementen x von X solch, dass, in Anbetracht irgendwelcher zwei Mitglieder f und g von F, f (x) g (x) in Y gleichkommt.

Symbolisch::

Dieser equaliser kann als Eq geschrieben werden (f, g, h...), wenn der Satz {f, g, h ist...}.

Im letzten Fall kann man auch {f = g = h = finden ···} in informellen Zusammenhängen.

Als ein degenerierter Fall der allgemeinen Definition, lassen Sie F ein Singleton {f} sein.

Seitdem f (x) kommt immer sich gleich, der equaliser muss das komplette Gebiet X sein.

Als noch mehr degenerierter Fall, lassen Sie F der leere Satz {} sein.

Dann ist der equaliser wieder das komplette Gebiet X, da die universale Quantifizierung in der Definition ausdruckslos wahr ist.

Unterschied-Kerne

Ein binärer equaliser (d. h. ein equaliser von gerade zwei Funktionen) werden auch einen Unterschied-Kern genannt.

Das kann auch angezeigter DiffKer (f, g), Ker (f, g), oder Ker sein (f − g).

Die letzte Notation zeigt, wo diese Fachsprache herkommt, und warum es im Zusammenhang der abstrakten Algebra am üblichsten ist:

Der Unterschied-Kern von f und g ist einfach der Kern des Unterschieds f − g.

Außerdem kann der Kern einer einzelnen Funktion f als der Unterschied-Kern Eq wieder aufgebaut werden (f, 0), wo 0 die unveränderliche Funktion mit der Wertnull ist.

Natürlich wagt all dieser einen algebraischen Zusammenhang, wo der Kern einer Funktion sein Vorimage unter der Null ist; das ist in allen Situationen nicht wahr.

Jedoch hat die Fachsprache "Unterschied-Kern" keine andere Bedeutung.

In der Kategorie-Theorie

Equalisers kann durch ein universales Eigentum definiert werden, das dem Begriff erlaubt, von der Kategorie von Sätzen zu willkürlichen Kategorien verallgemeinert zu werden.

Im allgemeinen Zusammenhang, X und Y sind Gegenstände, während f und g morphisms von X bis Y sind.

Diese Gegenstände und morphisms bilden ein Diagramm in der fraglichen Kategorie, und der equaliser ist einfach die Grenze dieses Diagramms.

In ausführlicheren Begriffen besteht der equaliser aus einem Gegenstand E und einem morphism eq: E  X Zufriedenheit,

und solch dass, in Anbetracht jedes Gegenstands O und morphism M: O  X, wenn, dann dort besteht ein einzigartiger morphism u: O  E solch dass.

In jeder universalen algebraischen Kategorie einschließlich der Kategorien, wo Unterschied-Kerne, sowie die Kategorie von Sätzen selbst verwendet werden, kann der Gegenstand E immer genommen werden, um der gewöhnliche Begriff von equaliser zu sein, und der morphism eq kann in diesem Fall genommen werden, um die Einschließungsfunktion von E als eine Teilmenge X zu sein.

Die Verallgemeinerung davon zu mehr als zwei morphisms ist aufrichtig; verwenden Sie einfach ein größeres Diagramm mit mehr morphisms darin.

Der degenerierte Fall von nur einem morphism ist auch aufrichtig; dann kann eq jeder Isomorphismus von einem Gegenstand E zu X sein.

Das richtige Diagramm für den degenerierten Fall ohne morphisms ist ein bisschen fein: Man könnte das Diagramm als bestehend aus den Gegenständen X und Y und keinem morphisms am Anfang ziehen. Das ist jedoch falsch, da die Grenze solch eines Diagramms das Produkt X und Y, aber nicht der Equalizer ist. (Und tatsächlich sind Produkte und Equalizer verschiedene Konzepte: Die mit dem Satz theoretische Definition des Produktes stimmt mit der mit dem Satz theoretischen Definition des Equalizers nicht überein, der oben erwähnt ist, folglich sind sie wirklich verschieden.) Statt dessen ist die passende Scharfsinnigkeit, dass jedes Equalizer-Diagramm im Wesentlichen X, einschließlich Y beschäftigt ist, nur weil Y der codomain von morphisms ist, die im Diagramm erscheinen. Mit dieser Ansicht sehen wir, dass, wenn es keinen beteiligten morphisms gibt, Y kein Äußeres macht und das Equalizer-Diagramm aus X allein besteht. Die Grenze dieses Diagramms ist dann jeder Isomorphismus zwischen E und X.

Es kann bewiesen werden, dass jeder equaliser in jeder Kategorie ein monomorphism ist.

Wenn das gegenteilige in einer gegebenen Kategorie hält, dann, wie man sagt, ist diese Kategorie (im Sinne monomorphisms) regelmäßig.

Mehr allgemein ist ein regelmäßiger monomorphism in jeder Kategorie jede morphism M, die ein equaliser von einem Satz von morphisms ist.

Einige Behörden verlangen (strenger), dass M ein binärer equaliser ist, der ein equaliser von genau zwei morphisms ist.

Jedoch, wenn die fragliche Kategorie abgeschlossen ist, dann stimmen beide Definitionen zu.

Der Begriff des Unterschied-Kerns hat auch Sinn in einem mit der Kategorie theoretischen Zusammenhang.

Die Fachsprache "Unterschied-Kern" ist überall in der Kategorie-Theorie für jeden binären equaliser üblich.

Im Fall von einer vorzusätzlichen Kategorie (eine Kategorie, die über die Kategorie von Gruppen von Abelian bereichert ist), kann der Begriff "Unterschied--Kern" wörtlich interpretiert werden, da die Subtraktion von morphisms Sinn hat.

D. h. Eq (f, g) = Ker (f - g), wo Ker den mit der Kategorie theoretischen Kern anzeigt.

Jede Kategorie mit Faser-Produkten (ziehen Rücken), und Produkten hat equalisers.

Außenverbindungen

• Interaktive Webseite, die Beispiele von Equalizern in der Kategorie von begrenzten Sätzen erzeugt. Geschrieben von Jocelyn Paine.

Siehe auch

• Coequaliser, der Doppelbegriff, der durch das Umkehren der Pfeile in der equaliser Definition erhalten ist.
• Zufall-Theorie, eine topologische Annäherung an den Equalizer geht in topologischen Räumen unter.
• Hemmnis, eine spezielle Grenze, die von equalisers und Produkten gebaut werden kann.