In der Mathematik ist ein bialgebra über Feld K ein Vektorraum über K, der sowohl eine unital assoziative Algebra als auch ein coalgebra, solch ist, dass diese Strukturen vereinbar sind.

Vereinbarkeit bedeutet, dass der comultiplication und der counit sowohl unital Algebra-Homomorphismus, oder gleichwertig, dass die Multiplikation als auch die Einheit der Algebra beide sind, coalgebra morphisms sein: Diese Behauptungen sind darin gleichwertig sie werden durch dieselben Diagramme ausgedrückt. Ein bialgebra Homomorphismus ist eine geradlinige Karte, die sowohl eine Algebra als auch ein coalgebra Homomorphismus ist.

Wie widerspiegelt, in der Symmetrie der Diagramme ist die Definition von bialgebra so Selbstdoppel-, wenn man einen Doppel-von B definieren kann (der immer möglich ist, wenn B endlich-dimensional ist), dann ist es automatisch ein bialgebra.

Formelle Definition

ist ein bialgebra über K, wenn er die folgenden Eigenschaften hat:

• B ist ein Vektorraum über K;
• es gibt K-Linear-Karte-(Multiplikation) (gleichwertig zur K-Multilinear-Karte) und (Einheit), solch, der eine unital assoziative Algebra ist;
• es gibt K-Linear-Karten (comultiplication) und (counit), solch, der (counital coassociative) coalgebra ist;
• Vereinbarkeitsbedingungen durch die folgenden Ersatzdiagramme ausgedrückt:

: (1): Multiplikation und comultiplication

:: wo die geradlinige Karte ist, die durch für den ganzen x und y in B, definiert ist

: (2): Multiplikation und counit

::

: (3): comultiplication und Einheit

::

: (4): Einheit und counit

::

Coassociativity und counit

Die K-Linear-Karten sind coassociative wenn

Die K-Linear-Karte ist ein counit wenn

.

Coassociativy und counit werden durch den commutativity der folgenden zwei Diagramme mit B im Platz von C ausgedrückt (sie sind der duals der Diagramme, die associativity und Einheit einer Algebra ausdrücken):

Vereinbarkeitsbedingungen

Die vier Ersatzdiagramme können entweder als "comultiplication gelesen werden, und counit sind Homomorphismus von Algebra" oder gleichwertig, "Multiplikation und Einheit sind Homomorphismus von coalgebras".

Diese Behauptungen sind wir einmal ausführlich die natürlichen Strukturen der Algebra und coalgebra in allen Vektorräumen bedeutungsvoll, die außerdem beteiligt sind:. Ist eine unital assoziative Algebra auf eine offensichtliche Weise und ist eine unital assoziative Algebra mit der Einheit und Multiplikation

so dass oder, weglassend und Multiplikation als Nebeneinanderstellung schreibend;

ähnlich ist ein coalgebra auf eine offensichtliche Weise und ist ein coalgebra mit counit und comultiplication

.

Dann sagen Diagramme 1 und 3, dass das ein Homomorphismus von unital (assoziative) Algebra ist und:

, oder einfach und

, oder einfach;

Diagramme 2 und 4 sagen, dass das ein Homomorphismus von unital (assoziative) Algebra ist und:

, oder einfach und

, oder einfach.

Gleichwertig sagen Diagramme 1 und 2, dass das ein Homomorphismus (counital coassociative) coalgebras ist und:

und

;

Diagramme 3 und 4 sagen, dass das ein Homomorphismus (counital coassociative) coalgebras ist und:

und.

Beispiele

Beispiele von bialgebras schließen die Algebra von Hopf ein. Ähnliche Strukturen mit der verschiedenen Vereinbarkeit zwischen dem Produkt und coproduct oder verschiedenen Typen des Produktes und coproduct, schließen ein Liegen bialgebras und Algebra von Frobenius. Zusätzliche Beispiele werden im Artikel über coalgebras angeführt.

Siehe auch

• Quasi-bialgebra
• Algebra von Frobenius
• Algebra von Hopf

Zeichen

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