Optik von Fourier ist die Studie der klassischen Optik mit Fourier verwandelt sich und kann als der Doppel-vom Grundsatz von Huygens-Fresnel gesehen werden. Im letzten Fall wird die Welle als eine Überlagerung von dehnbaren Kugelwellen betrachtet, die äußer von wirklichen (physisch identifizierbaren) aktuellen Quellen über eine Funktionsbeziehung eines Grüns ausstrahlen (sieh Doppelten Schlitz experimentieren). In der Optik von Fourier, im Vergleich, wird die Welle als eine Überlagerung von Flugzeug-Wellen betrachtet, die mit keinen identifizierbaren Quellen verbunden sind; stattdessen sind sie die natürlichen Weisen des Fortpflanzungsmediums selbst. Ein gekrümmter phasefront kann von einer unendlichen Zahl dieser "natürlichen Weisen" d. h., von der Flugzeug-Welle phasefronts orientiert in verschiedenen Richtungen im Raum synthetisiert werden. Weit von seinen Quellen ist eine dehnbare Kugelwelle lokal Tangente zu einer planaren Phase-Vorderseite (eine einzelne Flugzeug-Welle aus dem unendlichen Spektrum), der zur radialen Richtung der Fortpflanzung querlaufend ist. In diesem Fall wird ein Beugungsmuster von Fraunhofer geschaffen, der von einem einzelnen Kugelwelle-Phase-Zentrum ausgeht. In fast Feld besteht kein einzelnes bestimmtes Kugelwelle-Phase-Zentrum, so ist der wavefront nicht lokal Tangente zu einem kugelförmigen Ball. In diesem Fall würde ein Beugungsmuster von Fresnel geschaffen, der von einer verlängerten Quelle ausgeht, aus einem Vertrieb von (physisch identifizierbaren) Kugelwelle-Quellen im Raum bestehend. In fast Feld ist ein volles Spektrum von Flugzeug-Wellen notwendig, um die Welle des nahen Feldes von Fresnel sogar lokal zu vertreten. Eine "breite" Welle-Fortbewegung (wie eine dehnbare Ozeanwelle, die zur Küste kommt), kann als eine unendliche Zahl von "Flugzeug-Welle-Weisen", betrachtet werden, von denen alle gekonnt haben (wenn sie mit etwas im Weg kollidieren), die Streuung unabhängig von ein anderem. Diese mathematischen Vereinfachungen und Berechnungen sind der Bereich der Analyse von Fourier und Synthese - zusammen, sie können beschreiben, was geschieht, wenn Licht verschiedene Schlitze, Linsen oder Spiegel gebogen so oder so durchführt oder völlig oder teilweise widerspiegelt wird. Optik von Fourier bildet viel von der Theorie hinter Bildverarbeitungstechniken, sowie Entdeckung von Anwendungen, wo Information aus optischen Quellen solcher als in der Quant-Optik herausgezogen werden muss. Um auf eine ein bisschen kompliziertere Weise zu sagen, die dem Konzept der Frequenz und in traditionellem Fourier verwendete Zeit ähnlich ist, gestalten Theorie um, Optik von Fourier macht vom Raumfrequenzgebiet (k, k) als die verbundenen von den räumlichen (x, y) Gebiet Gebrauch. Begriffe und Konzepte, die Theorie, Spektrum, Bandbreite, Fensterfunktionen umgestalten und von einer dimensionaler Signalverarbeitung ausfallend, werden allgemein verwendet.

Übersicht der leichten Fortpflanzung in homogenen, quellfreien Medien

Licht kann als eine Wellenform beschrieben werden, die sich durch den freien Raum (Vakuum) oder ein materielles Medium (wie Luft oder Glas) fortpflanzt. Mathematisch (echt geschätzt) wird der Umfang eines Welle-Bestandteils durch eine Skalarwelle-Funktion u vertreten, der von beider Zeit und Raum abhängt:

:wo:

vertritt Position im dreidimensionalen Raum, und t vertritt Zeit.

Die Wellengleichung im Zeitabschnitt

Optik von Fourier beginnt mit der homogenen Skalarwellengleichung (gültig in quellfreien Gebieten):

:

\left (\nabla^2-\frac {1} {c^2 }\\frac {\\partial^2} {\\teilweise {t} ^2 }\\Recht) u (\mathbf {r}, t) =0.

</Mathematik>

wo u (r, t) ein echter geschätzter Kartesianischer Bestandteil einer elektromagnetischen Welle ist, die sich durch den freien Raum fortpflanzt.

Die Helmholtz Gleichung im Frequenzgebiet

Wenn das Licht einer festen Frequenz/Wellenlänge/Farbe (als von einem Laser) angenommen wird, dann wird die Zeitharmonische (Frequenzgebiet) Form des optischen Feldes als gegeben:

:

wo im Allgemeinen eine komplizierte Menge, mit dem getrennten Umfang und der Phase ist.

Das Zeitabschnitt-Feld ist mit dem Frequenzbereichsfeld über die Gleichung, verbunden

:.

Das Ersetzen dieses Ausdrucks in die Wellengleichung gibt die zeitunabhängige Form der Wellengleichung, auch bekannt als die Gleichung von Helmholtz nach:

:wo:

ist die Welle-Zahl, j ist die imaginäre Einheit, und ψ (r) ist der zeitunabhängige, Komplex-geschätzte Bestandteil der sich fortpflanzenden Welle. Bemerken Sie, dass die Fortpflanzung unveränderlich, k, und die Frequenz geradlinig mit einander, einer typischen Eigenschaft von (TEM) elektromagnetischen Querwellen in homogenen Medien verbunden ist.

Flugzeug-Wellen von Paraxial (Wird Sehachse z-directed angenommen)

Wie streng in der folgenden Abteilung gezeigt wird, nimmt eine elementare Produktlösung dieser Gleichung die Form an:

:wo:

ist der Welle-Vektor und

:

ist die Welle-Zahl. Dann mit der paraxial Annäherung wird es das angenommen

:

oder gleichwertig,

:

wo θ der Winkel zwischen dem Welle-Vektoren k und der Z-Achse ist.

Infolgedessen,

:und:

Die paraxial Wellengleichung

Diesen Ausdruck in die Gleichung von Helmholtz einsetzend, wird die paraxial Wellengleichung abgeleitet:

:wo:

ist der Quermaschinenbediener von Laplacian, gezeigt hier in Kartesianischen Koordinaten.

Das Flugzeug-Welle-Spektrum: das Fundament der Optik von Fourier

Optik von Fourier ist von der gewöhnlichen Strahl-Optik etwas verschieden, die normalerweise in der Analyse und dem Design von eingestellten Bildaufbereitungssystemen wie Kameras, Fernrohre und Mikroskope verwendet ist. Strahl-Optik ist der allererste Typ der Optik, auf die die meisten von uns in unseren Leben stoßen; es ist einfach, begrifflich zu denken und zu verstehen, und arbeitet sehr gut in der Gewinnung eines Grundlinie-Verstehens von allgemeinen optischen Geräten. Leider erklärt Strahl-Optik die Operation von Fourier optische Systeme nicht, die im Allgemeinen nicht eingestellte Systeme sind. Strahl-Optik ist eine Teilmenge der Wellenoptik (im Jargon, es ist "die asymptotische Nullwellenlänge-Grenze" der Wellenoptik), und hat deshalb Anwendbarkeit beschränkt. Wir müssen wissen, wenn es gültig ist, und wenn es ist nicht - und das eine jener Zeiten ist, wenn es nicht ist. Für unsere aktuelle Aufgabe müssen wir unser Verstehen von optischen Phänomenen ausbreiten, um Wellenoptik zu umfassen, in der das optische Feld als eine Lösung der Gleichungen von Maxwell gesehen wird. Diese allgemeinere Wellenoptik erklärt genau die Operation von Optik-Geräten von Fourier.

In dieser Abteilung werden wir den ganzen Weg zurück zu den Gleichungen von Maxwell nicht gehen, aber werden stattdessen mit der homogenen Gleichung von Helmholtz anfangen (gültig in quellfreien Medien), der ein Niveau der Verbesserung von den Gleichungen von Maxwell (Scott [1998]) ist. Von dieser Gleichung werden wir zeigen, wie unendliche gleichförmige Flugzeug-Wellen eine Feldlösung (aus vielen möglich) im freien Raum umfassen. Diese gleichförmigen Flugzeug-Wellen bilden die Basis, um Optik von Fourier zu verstehen.

Das Flugzeug-Welle-Spektrum-Konzept ist das grundlegende Fundament der Optik von Fourier. Das Flugzeug-Welle-Spektrum ist ein dauerndes Spektrum von gleichförmigen Flugzeug-Wellen, und es gibt einen Flugzeug-Welle-Bestandteil im Spektrum für jeden Tangente-Punkt auf der Fernbereich-Phase-Vorderseite. Der Umfang dieses Flugzeug-Welle-Bestandteils würde der Umfang des optischen Feldes an diesem Tangente-Punkt sein. Wieder ist das nur im weiten Feld, definiert als wahr: Reihe = 2 D / λ, wo D das maximale geradlinige Ausmaß der optischen Quellen und des λ ist, ist die Wellenlänge (Scott [1998]). Das Flugzeug-Welle-Spektrum wird häufig betrachtet als, getrennt für bestimmte Typen von periodischem gratings zu sein, obwohl in Wirklichkeit die Spektren von gratings ebenso dauernd sind, da kein reales Gerät erforderlich lassen kann, dass das unendliche Ausmaß ein wahres Linienspektrum erzeugt.

Als im Fall von elektrischen Signalen ist Bandbreite ein Maß dessen, wie fein ausführlich ein Image ist; je feiner das Detail, desto größer die Bandbreite, die erforderlich ist, es zu vertreten. Ein Gleichstrom ist elektrisches Signal unveränderlich und hat keine Schwingungen; eine Flugzeug-Welle-Fortpflanzen-Parallele zur Sehachse hat unveränderlichen Wert in jedem x-y Flugzeug, und ist deshalb dem (unveränderlichen) Gleichstrom-Bestandteil eines elektrischen Signals analog. Die Bandbreite in elektrischen Signalen bezieht sich auf den Unterschied zwischen der höchsten und niedrigsten Frequenzgegenwart im Spektrum des Signals. Für optische Systeme bezieht sich Bandbreite auch auf den Raumfrequenzinhalt (Raumbandbreite), aber es hat auch eine sekundäre Bedeutung. Es misst auch, wie weit von der Sehachse die entsprechenden Flugzeug-Wellen gekippt werden, und so wird auf diesen Typ der Bandbreite häufig auch als winkelige Bandbreite verwiesen. Man braucht mehr Frequenzbandbreite, um einen kurzen Puls in einem elektrischen Stromkreis, und winkeliger (oder, Raumfrequenz) Bandbreite zu erzeugen, um einen scharfen Punkt in einem optischen System zu erzeugen (sieh Diskussion, die mit der Punkt-Ausbreitungsfunktion verbunden ist).

Das Flugzeug-Welle-Spektrum entsteht natürlich als der eigenfunction oder "die natürliche Weise" Lösung der homogenen elektromagnetischen Wellengleichung in rechteckigen Koordinaten (sieh auch Elektromagnetische Radiation, die die Wellengleichung von den Gleichungen von Maxwell in quellfreien Medien oder Scott [1998] ableitet). Im Frequenzgebiet, mit einer angenommenen (technik)-Zeittagung,

die homogene elektromagnetische Wellengleichung ist als die Gleichung von Helmholtz bekannt und nimmt die Form an:

:

wo u = x, y, z und k = 2π/λ der wavenumber des Mediums ist.

Eigenfunction (natürliche Weise) Lösungen: Hintergrund und Übersicht

Im Fall von Differenzialgleichungen, als im Fall von Matrixgleichungen, wann auch immer die Rechte einer Gleichung Null ist (d. h., die Zwingen-Funktion / das Zwingen des Vektoren ist Null), kann die Gleichung noch eine nichttriviale Lösung zulassen, die in der angewandten Mathematik als eine eigenfunction Lösung, in der Physik als eine "natürliche Weise" Lösung und in der elektrischen Stromkreis-Theorie als die "Nulleingangsantwort bekannt ist." Das ist ein Konzept, das eine breite Reihe von physischen Disziplinen abmisst. Allgemeine physische Beispiele von widerhallenden natürlichen Weisen würden die widerhallenden Schwingweisen von Saiteninstrumenten (1D), Schlagzeug-Instrumente (2.) oder die ehemalige (3D) Tacoma Narrows Bridge einschließen. Beispiele, natürliche Weisen fortzupflanzen, würden Wellenleiter-Weisen, Glasfaserleiter-Weisen, solitons und Wellen von Bloch einschließen. Unendliche homogene Medien lassen die rechteckigen, kreisförmigen und kugelförmigen harmonischen Lösungen der Gleichung von Helmholtz abhängig vom Koordinatensystem unter der Rücksicht zu. Die sich fortpflanzenden Flugzeug-Wellen, die wir in diesem Artikel studieren werden, sind vielleicht der einfachste Typ von sich fortpflanzenden in jedem Typ von Medien gefundenen Wellen.

Es gibt eine bemerkenswerte Ähnlichkeit zwischen der Gleichung von Helmholtz (2.0) oben, der geschrieben werden kann

:

und die übliche Gleichung für den eigenvalues/eigenvectors einer Quadratmatrix, A,

:

besonders seitdem sowohl Skalarlaplacian als auch die Matrix, A sind geradlinige Maschinenbediener auf ihrer jeweiligen Funktion/Vektorräumen (minus das Zeichen in der zweiten Gleichung, ist für alle Absichten und Zwecke, immateriell; das Pluszeichen in der ersten Gleichung ist jedoch bedeutend). Es ist vielleicht lohnend zu bemerken, dass sowohl der eigenfunction als auch die Eigenvektor-Lösungen dieser zwei Gleichungen beziehungsweise, häufig einen orthogonalen Satz von Funktionen/Vektoren nachgeben Sie, die abmessen (d. h., bilden Sie einen Basissatz für) die Funktion/Vektorräume unter der Rücksicht. Der interessierte Leser kann andere funktionelle geradlinige Maschinenbediener untersuchen, die verschiedene Arten von orthogonalem eigenfunctions wie Polynome von Legendre, Polynome von Tschebyscheff und Polynome von Hermite verursachen.

Im Matrixfall kann eigenvalues durch das Setzen der Determinante der Matrix gefunden werden, die der Null, d. h. die Entdeckung gleich ist, wo die Matrix kein Gegenteil hat. Begrenzte matrices haben nur eine begrenzte Zahl von eigenvalues/eigenvectors, wohingegen geradlinige Maschinenbediener zählbar unendliche Zahl von eigenvalues/eigenfunctions (in beschränkten Gebieten) oder unzählbar unendliche (dauernde) Spektren von Lösungen, als in unbegrenzten Gebieten haben können.

In bestimmten Physik-Anwendungen ist es häufig der Fall, dass die Elemente einer Matrix Funktionen der Frequenz und wavenumber sein werden, und die Matrix für die meisten Kombinationen der Frequenz und wavenumber nichtsingulär sein wird, aber auch sicher andere Kombinationen einzigartig sein wird. Durch die Entdeckung, welche Kombinationen der Frequenz und wavenumber die Determinante der Matrix zur Null steuern, können die Fortpflanzungseigenschaften des Mediums bestimmt werden. Beziehungen dieses Typs, zwischen Frequenz und wavenumber, sind als Streuungsbeziehungen bekannt, und einige physische Systeme können viele verschiedene Arten von Streuungsbeziehungen zulassen. Ein Beispiel von electromagnetics ist der gewöhnliche Wellenleiter, der zahlreiche Streuungsbeziehungen, jeder zulassen kann, der mit einer einzigartigen Weise des Wellenleiters vereinigt ist. Jede Fortpflanzungsweise des Wellenleiters ist als eine eigenfunction Lösung (oder eigenmode Lösung) zu den Gleichungen von Maxwell im Wellenleiter bekannt. Freier Raum lässt auch eigenmode (natürliche Weise) Lösungen zu (bekannt allgemeiner als Flugzeug-Wellen), aber mit der Unterscheidung, dass für jede gegebene Frequenz freier Raum ein dauerndes modales Spektrum zulässt, wohingegen Wellenleiter ein getrenntes Weise-Spektrum haben. In diesem Fall ist die Streuungsbeziehung, als im Abschnitt 1.2 geradlinig.

Das Lösen der Gleichung von Helmholtz: Trennung von Variablen und elementaren Produktlösungen

Lösungen der Gleichung von Helmholtz (2.0) können in rechteckigen Koordinaten über den Grundsatz der Trennung von Variablen für teilweise Differenzialgleichungen sogleich gefunden werden. Dieser Grundsatz sagt, dass in trennbaren orthogonalen Koordinaten eine elementare Produktlösung dieser Wellengleichung der folgenden Form gebaut werden kann:

:

d. h., als das Produkt einer Funktion von x, Zeiten eine Funktion von y, Zeiten eine Funktion von z. Wenn diese elementare Produktlösung in die Wellengleichung (2.0), mit Skalarlaplacian in rechteckigen Koordinaten eingesetzt wird:

:

dann wird die folgende Gleichung für die 3 individuellen Funktionen erhalten

:

der in die Form umgeordneter readliy ist:

:

Es kann jetzt behauptet werden, dass jeder der Quotienten in der Gleichung oben, notwendig muss, unveränderlich sein. Da sagen, dass der erste Quotient nicht unveränderlich ist, und eine Funktion von x ist. Keiner der anderen Begriffe in der Gleichung hat jede Abhängigkeit von der Variable x. Deshalb kann der erste Begriff keine X-Abhängigkeit auch haben; es muss unveränderlich sein. Die Konstante wird als-k ² angezeigt. Wenn man auf eine ähnliche Weise für den y und die z Quotienten vernünftig urteilt, werden drei gewöhnliche Differenzialgleichungen für den f, f und f zusammen mit einer Trennungsbedingung erhalten:

::::

Jede dieser 3 Differenzialgleichungen hat dieselbe Lösung: Sinus, Kosinus oder Komplex exponentials. Wir werden mit dem Komplex gehen, der für die notational Einfachheit, Vereinbarkeit mit der üblichen FT Notation und die Tatsache Exponential-ist, dass ein zweiseitiges Integral des Komplexes exponentials sowohl den Sinus als auch die Kosinus-Beiträge aufnimmt. Infolgedessen ist die elementare Produktlösung für E:

:

:::::

:::::

der ein Fortpflanzen oder exponential das Verfallen gleichförmiger Flugzeug-Welle-Lösung der homogenen Wellengleichung vertritt. - Zeichen wird für eine Welle verwendet, die sich in der +z Richtung und +/verfällt fortpflanzt, Zeichen wird für eine Welle verwendet, die sich in der-z Richtung/verfällt fortpflanzt (das folgt der Technikzeittagung, die eine e Zeitabhängigkeit annimmt). Dieses Feld vertritt eine sich fortpflanzende Flugzeug-Welle, wenn die Menge unter dem Radikalen, und eine exponential verfallende Welle positiv ist, wenn es negativ ist (in passiven Medien muss die Wurzel mit einem nichtpositiven imaginären Teil immer gewählt werden, um gleichförmige Fortpflanzung oder Zerfall, aber nicht Erweiterung zu vertreten).

Produktlösungen der Gleichung von Helmholtz werden auch in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten sogleich erhalten, zylindrische und kugelförmige Obertöne (mit den restlichen trennbaren Koordinatensystemen nachgebend, die viel weniger oft verwenden werden).

Die vollständige Lösung: die integrierte Überlagerung

Eine allgemeine Lösung der homogenen elektromagnetischen Wellengleichung in rechteckigen Koordinaten kann als eine belastete Überlagerung aller möglichen elementaren Flugzeug-Welle-Lösungen als gebildet werden:

:

wo sich die Integrale von minus die Unendlichkeit zur Unendlichkeit ausstrecken.

Diese Flugzeug-Welle-Spektrum-Darstellung des elektromagnetischen Feldes ist das grundlegende Fundament der Optik von Fourier (dieser Punkt kann stark genug nicht betont werden), weil, wenn z=0, die Gleichung oben einfach eine Beziehung des Fouriers verwandelt Sich (FT) zwischen dem Feld und seinem Flugzeug-Welle-Inhalt (folglich der Name, "Optik von Fourier") wird.

Die ganze Raumabhängigkeit der individuellen Flugzeug-Welle-Bestandteile wird ausführlich über die Exponentialfunktionen beschrieben. Die Koeffizienten des exponentials sind nur Funktionen von räumlichem wavenumber k, k, gerade als sich in der gewöhnlichen Analyse von Fourier und Fourier verwandelt.

Freier Raum als ein Filter des niedrigen Passes

Wenn

:

die Flugzeug-Wellen sind (das Verfallen) flüchtig, so dass jeder Raumfrequenzinhalt in einer Gegenstand-Flugzeug-Durchsichtigkeit, die feiner ist als eine Wellenlänge, dem Bildflugzeug einfach nicht übertragen wird, weil sich die Flugzeug-Wellen entsprechend diesem Inhalt nicht fortpflanzen können. Im Zusammenhang mit dem Steindruckverfahren von elektronischen Bestandteilen ist dieses Phänomen als die Beugungsgrenze bekannt und ist der Grund, warum das Licht der progressiv höheren Frequenz (kleinere Wellenlänge) erforderlich ist, um progressiv feinere Eigenschaften in einheitlichen Stromkreisen zu ätzen.

Die weite Feldannäherung und das Konzept der winkeligen Bandbreite

Die Gleichung kann oben asymptotisch im weiten Feld (das Verwenden der stationären Phase-Methode) bewertet werden, um zu zeigen, dass das Feld am Punkt (x, y, z) tatsächlich allein zum Flugzeug-Welle-Bestandteil erwartet ist (k, k, k), der Parallele zum Vektoren (x, y, z) fortpflanzt, und dessen Flugzeug Tangente zum phasefront an (x, y, z) ist. Die mathematischen Details dieses Prozesses können in Scott [1998] oder Scott [1990] gefunden werden. Das Ergebnis, eine stationäre Phase-Integration auf dem Ausdruck durchzuführen, ist oben der folgende Ausdruck,

:

der klar anzeigt, dass das Feld an (x, y, z) zum geisterhaften Bestandteil in der Richtung auf (x, y, z), wo, direkt proportional

ist:::und:::

Festgesetzt ein anderer Weg, das Strahlenmuster jedes planaren Feldvertriebs ist der FT dieses Quellvertriebs (sieh Grundsatz von Huygens-Fresnel, worin dieselbe Gleichung mit einer Funktionsannäherung eines Grüns entwickelt wird). Bemerken Sie, dass das NICHT eine Flugzeug-Welle ist, wie viele denken könnten. Die radiale Abhängigkeit ist eine Kugelwelle - sowohl im Umfang als auch in der Phase - wessen lokaler Umfang der FT des Quellflugzeug-Vertriebs in diesem weiten Feldwinkel ist. Das Flugzeug-Welle-Spektrum hat nichts, um mit dem Ausspruch zu tun, dass sich das Feld etwas wie eine Flugzeug-Welle für weite Entfernungen benimmt.

Gleichung (2.2) ist oben zum Bilden der Verbindung zwischen Raumbandbreite (einerseits) und winkeliger Bandbreite (auf dem anderen) im weiten Feld kritisch. Bemerken Sie, dass der Begriff "weites Feld" gewöhnlich bedeutet, dass wir über ein Zusammenlaufen oder abweichende Kugelwelle mit einem ziemlich gut definierten Phase-Zentrum sprechen. Die Verbindung zwischen der räumlichen und winkeligen Bandbreite im weiten Feld ist im Verstehen des niedrigen Pass-Entstörungseigentums von dünnen Linsen notwendig. Sieh Abschnitt 5.1.3 für die Bedingung, die das weite Feldgebiet definiert.

Sobald das Konzept der winkeligen Bandbreite verstanden wird, kann der optische Wissenschaftler hin und her" zwischen den räumlichen und geisterhaften Gebieten "springen, um Einblicke schnell zu gewinnen, die normalerweise gerade durch das Raumgebiet oder die Strahl-Optik-Rücksichten allein nicht so sogleich verfügbar sein würden. Zum Beispiel wird jede Quellbandbreite, die vorbei am Rand-Winkel zur ersten Linse liegt (setzt dieser Rand-Winkel die Bandbreite des optischen Systems), durch das zu bearbeitende System nicht gewonnen.

Als ein Seitenzeichen, electromagnetics Wissenschaftler haben ein alternatives Mittel ausgedacht, für das weite elektrische Zonenfeld zu berechnen, das stationäre Phase-Integration nicht einschließt. Sie haben ein Konzept ausgedacht, das als "magnetische Romanströme" gewöhnlich bekannt ist, die durch die M angezeigt sind, und haben als definiert

:.

In dieser Gleichung wird es angenommen, dass der Einheitsvektor in der Z-Richtung in den Halbraum hinweist, wo die weiten Feldberechnungen gemacht werden. Diese gleichwertigen magnetischen Ströme werden mit Gleichwertigkeitsgrundsätzen erhalten, die, im Fall von einer unendlichen planaren Schnittstelle, irgendwelchen elektrischen Strömen, J erlauben, weg "dargestellt zu werden", während die magnetischen Romanströme bei zweimal der Öffnung elektrisches Feld erhalten werden (sieh Scott [1998]). Dann wird das ausgestrahlte elektrische Feld von den magnetischen Strömen mit einer Gleichung berechnet, die der Gleichung für das magnetische durch einen elektrischen Strom ausgestrahlte Feld ähnlich ist. Auf diese Weise wird eine Vektor-Gleichung für das ausgestrahlte elektrische Feld in Bezug auf die Öffnung erhalten elektrisches Feld und die Abstammung verlangen keinen Gebrauch von stationären Phase-Ideen.

K-Raum

Die Trennungsbedingung,

:

der zur Gleichung für das Euklidische metrische im dreidimensionalen Konfigurationsraum identisch ist, deutet den Begriff eines K-Vektoren im dreidimensionalen "K-Raum", definiert an (um Flugzeug-Wellen fortzupflanzen), in rechteckigen Koordinaten als:

:

und im kugelförmigen Koordinatensystem als

:::

Gebrauch wird aus diesen kugelförmigen Koordinatensystembeziehungen in der folgenden Abteilung gemacht.

Der Begriff des K-Raums ist zu vielen Disziplinen in der Technik und Physik, besonders in der Studie von periodischen Volumina, solcher als in der Kristallographie und der Band-Theorie von Halbleiter-Materialien zentral.

Der Lehrsatz von Fourier: Fourier gestaltet Paare um

Der zweidimensionale Fourier gestaltet Paare um

Analyse-Gleichung (das Rechnen des Spektrums der Funktion):

:

Synthese-Gleichung (die Funktion von seinem Spektrum wieder aufbauend):

:

Referenzen: der Normalisieren-Faktor: Ist da, wann auch immer winkelige Frequenz (radians) verwendet wird, aber nicht, wenn gewöhnliche Frequenz (Zyklen) verwendet wird.

Optische Systeme: Allgemeine Übersicht und Analogie mit elektrischen Signalverarbeitungssystemen

Ein optisches System besteht aus einem Eingangsflugzeug, und Produktionsflugzeug und einer Reihe von Bestandteilen, der das Image f gebildet am Eingang in ein verschiedenes Image g gebildet an der Produktion umgestaltet. Das Produktionsimage ist mit dem Eingangsimage durch convolving das Eingangsimage mit der optischen Impuls-Antwort, h (bekannt als die Funktion der Punkt-ausgebreiteten, für eingestellte optische Systeme) verbunden. Die Impuls-Antwort definiert einzigartig das Eingangsproduktionsverhalten des optischen Systems. Durch die Tagung wird die Sehachse des Systems als die Z-Achse genommen. Infolgedessen sind die zwei Images und die Impuls-Antwort alle Funktionen der Querkoordinaten, x und y.

Die Impuls-Antwort eines optischen Bildaufbereitungssystems ist das Produktionsflugzeug-Feld, das erzeugt wird, wenn eine ideale mathematische Punkt-Quelle des Lichtes ins Eingangsflugzeug (gewöhnlich auf der Achse) gelegt wird. In der Praxis ist es nicht notwendig, eine ideale Punkt-Quelle zu haben, um eine genaue Impuls-Antwort zu bestimmen. Das ist, weil jede Quellbandbreite, die außerhalb der Bandbreite des Systems liegt, irgendwie nicht von Bedeutung sein wird (da es durch das optische System nicht sogar gewonnen werden kann), so deshalb ist es in der Bestimmung der Impuls-Antwort nicht notwendig. Die Quelle muss nur mindestens so viel (winkelige) Bandbreite haben wie das optische System.

Optische Systeme fallen normalerweise in eine von zwei verschiedenen Kategorien. Das erste ist das gewöhnliche eingestellte optische Bildaufbereitungssystem, worin das Eingangsflugzeug das Gegenstand-Flugzeug genannt wird und das Produktionsflugzeug das Bildflugzeug genannt wird. Das Feld im Bildflugzeug wird gewünscht, um eine Qualitätsfortpflanzung des Feldes im Gegenstand-Flugzeug zu sein. In diesem Fall wird die Impuls-Antwort des optischen Systems gewünscht, um einer 2. Delta-Funktion, an derselben Position (oder einer linear schuppigen Position) im Produktionsflugzeug entsprechend der Position des Impulses im Eingangsflugzeug näher zu kommen. Die wirkliche Impuls-Antwort ähnelt normalerweise einer Luftfunktion, deren Radius auf der Ordnung der Wellenlänge des verwendeten Lichtes ist. In diesem Fall wird die Impuls-Antwort normalerweise eine Punkt-Ausbreitungsfunktion genannt, seitdem der mathematische Punkt des Lichtes im Gegenstand-Flugzeug in eine Luftfunktion im Bildflugzeug ausgedehnt worden ist.

Der zweite Typ ist das optische Bildverarbeitungssystem, in dem eine bedeutende Eigenschaft im Eingangsflugzeug-Feld gelegen und isoliert werden soll. In diesem Fall wird die Impuls-Antwort des Systems gewünscht, um eine nahe Replik (Bild) dieser Eigenschaft zu sein, nach der im Eingangsflugzeug-Feld gesucht wird, so dass eine Gehirnwindung der Impuls-Antwort (ein Image der gewünschten Eigenschaft) gegen das Eingangsflugzeug-Feld einen hellen Punkt an der Eigenschaft-Position im Produktionsflugzeug erzeugen wird. Es ist dieser letzte Typ des optischen Bildverarbeitungssystems, das das Thema dieser Abteilung ist. Abschnitt 5.2 präsentiert eine Hardware-Durchführung der optischen in dieser Abteilung beschriebenen Bildverarbeitungsoperationen.

Eingangsflugzeug

Das Eingangsflugzeug wird als der geometrische Ort aller solcher Punkte dass z = 0 definiert. Das Eingangsimage f ist deshalb

:

Produktionsflugzeug

Das Produktionsflugzeug wird als der geometrische Ort aller solcher Punkte dass z = d definiert. Das Produktionsimage g ist deshalb

:

Die 2. Gehirnwindung des Eingangs fungiert gegen die Impuls-Ansprechfunktion

:

d. h.,

:

Der wachsame Leser wird bemerken, dass das Integral oben stillschweigend annimmt, dass die Impuls-Antwort NICHT eine Funktion der Position (x', y') vom Impuls des Lichtes im Eingangsflugzeug ist (wenn das nicht der Fall wäre, würde dieser Typ der Gehirnwindung nicht möglich sein). Dieses Eigentum ist als Verschiebung invariance (Scott [1998]) bekannt. Kein optisches System ist vollkommen Verschiebung invariant: Da der ideale, mathematische Punkt des Lichtes weg von der Sehachse gescannt wird, werden Abweichungen schließlich die Impuls-Antwort (bekannt als ein Koma in eingestellten Bildaufbereitungssystemen) erniedrigen. Jedoch wechselt hohe Qualität, die optische Systeme häufig sind, "invariant genug" über bestimmte Gebiete des Eingangsflugzeugs aus, dass wir die Impuls-Antwort als seiend eine Funktion nur des Unterschieds zwischen Eingang und Produktionsflugzeug-Koordinaten betrachten können, und dadurch die Gleichung oben ungestraft verwenden.

Außerdem nimmt diese Gleichung Einheitsvergrößerung an. Wenn Vergrößerung, dann eqn da ist. (4.1) wird

:

der grundsätzlich die Impuls-Ansprechfunktion, h , von x' zu x=Mx übersetzt'. In (4.2), h wird eine vergrößerte Version der Impuls-Ansprechfunktion h eines ähnlichen, unvergrößerten Systems, so dass h (x, y) =h (x/M, y/M) sein.

Abstammung der Gehirnwindungsgleichung

Die Erweiterung auf zwei Dimensionen ist abgesehen vom Unterschied trivial, dass Kausalität im Zeitabschnitt, aber nicht im Raumgebiet besteht. Kausalität bedeutet, dass die Impuls-Antwort h (t - t') eines elektrischen Systems, wegen eines Impulses, der in der Zeit t angewandt ist', notwendig muss, Null seit allen Zeiten t solch dass t - t' sein

Es wird dann gewagt, dass das System unter der Rücksicht das heißt geradlinig ist, dass die Produktion des Systems wegen zwei verschiedener Eingänge (vielleicht in zwei verschiedenen Malen) die Summe der individuellen Produktionen des Systems zu den zwei Eingängen, wenn eingeführt, individuell ist. So kann das optische System keine nichtlinearen Materialien noch aktive Geräte (außer vielleicht, äußerst geradlinige aktive Geräte) enthalten. Die Produktion des Systems, für einen einzelnen Delta-Funktionseingang wird als die Impuls-Antwort des Systems, h (t - t') definiert. Und, durch unsere Linearitätsannahme (d. h., dass die Produktion des Systems zu einem Pulszugeingang die Summe der Produktionen wegen jedes individuellen Pulses ist), können wir jetzt sagen, dass die allgemeine Eingangsfunktion f (t) die Produktion erzeugt:

:

wo h (t - t') (Impuls) ist, hat die Antwort des geradlinigen Systems zur Delta-Funktion δ (t - t'), angewandt in der Zeit t eingegeben'. Das ist, wo die Gehirnwindungsgleichung oben herkommt. Die Gehirnwindungsgleichung ist nützlich, weil es häufig viel leichter ist, die Antwort eines Systems zu einem Delta-Funktionseingang zu finden - und dann die Gehirnwindung oben durchzuführen, um die Antwort auf einen willkürlichen Eingang zu finden - als es versuchen soll, die Antwort auf den willkürlichen Eingang direkt zu finden. Außerdem gibt die Impuls-Antwort (entweder in der Zeit oder in den Frequenzgebieten) gewöhnlich Scharfsinnigkeit zu relevanten Zahlen des Verdiensts des Systems nach. Im Fall von den meisten Linsen ist die Punkt-Ausbreitungsfunktion (PSF) eine ziemlich allgemeine Zahl des Verdiensts zu Einschätzungszwecken.

Dieselbe Logik wird im Zusammenhang mit dem Grundsatz von Huygens-Fresnel oder Formulierung von Stratton-Chu verwendet, worin die "Impuls-Antwort" die Funktion des Grüns des Systems genannt wird. So ist die Raumbereichsoperation eines geradlinigen optischen Systems auf diese Weise dem Grundsatz von Huygens-Fresnel analog.

Systemübertragungsfunktion

Wenn die letzte Gleichung oben umgestalteter Fourier ist, wird es:

:wo

: ist das Spektrum des Produktion Signal

: ist die Systemübertragungsfunktion

: ist das Spektrum des Eingang Signal

Auf die ähnliche Mode, (4.1) kann in den Ertrag umgestalteter Fourier sein:

:

Wieder kann es von der Diskussion über die Sinus-Bedingung von Abbe bemerkt werden, dass diese Gleichung Einheitsvergrößerung annimmt.

Diese Gleichung übernimmt seine echte Bedeutung, wenn sich der Fourier verwandelt, wird mit dem Koeffizienten der Flugzeug-Welle vereinigt, deren querlaufende wavenumbers sind. So wird das eingangsstufige Flugzeug-Welle-Spektrum ins mit der Produktion stufige Flugzeug-Welle-Spektrum durch die multiplicative Handlung der Systemübertragungsfunktion umgestaltet. Es ist in dieser Bühne des Verstehens, dass der vorherige Hintergrund auf dem Flugzeug-Welle-Spektrum unschätzbar zur Konzeptualisierung von Fourier optische Systeme wird.

Anwendungen von Optik-Grundsätzen von Fourier

Optik von Fourier wird im Feld der optischen Informationsverarbeitung verwendet, deren Heftklammer das klassische 4F Verarbeiter ist.

Der Fourier verwandelt sich Eigenschaften einer Linse stellen zahlreiche Anwendungen im optischen Signal zur Verfügung, das wie Raumentstörung in einer Prozession geht, optische Korrelation und Computer haben Hologramme erzeugt.

Fourier optische Theorie wird in interferometry, optischer Pinzette, Atom-Fallen und Quant-Computerwissenschaft verwendet. Konzepte der Optik von Fourier werden verwendet, um die Phase der leichten Intensität im Raumfrequenzflugzeug wieder aufzubauen (sieh anpassungsfähig-zusätzlichen Algorithmus).

Fourier, der Eigentum von Linsen umgestaltet

Wenn ein übertragbarer Gegenstand eine im Brennpunkt stehende Länge vor einer Linse gelegt wird, dann verwandelt sich sein Fourier wird eine im Brennpunkt stehende Länge hinter der Linse gebildet. Denken Sie die Zahl nach rechts (Klick, um sich zu vergrößern)

,

In dieser Zahl wird ein Flugzeug-Welle-Ereignis vom links angenommen. Die Durchlässigkeitsgrad-Funktion im im Brennpunkt stehenden Vorderflugzeug (d. h., Flugzeug 1) stimmt räumlich die Ereignis-Flugzeug-Welle im Umfang und der Phase, wie auf der linken Seite eqn ab. (2.1) (angegeben zu z=0), und auf diese Weise, erzeugt ein Spektrum von Flugzeug-Wellen entsprechend dem FT der Durchlässigkeitsgrad-Funktion, wie auf der rechten Seite eqn. (2.1) (für z> 0). Die verschiedenen Flugzeug-Welle-Bestandteile pflanzen sich in verschiedenen Neigungswinkeln in Bezug auf die Sehachse der Linse (d. h., die horizontale Achse) fort. Je feiner die Eigenschaften in der Durchsichtigkeit, desto breiter die winkelige Bandbreite des Flugzeug-Welle-Spektrums. Wir werden einen solchen Flugzeug-Welle-Bestandteil denken, sich im Winkel θ in Bezug auf die Sehachse fortpflanzend. Es wird angenommen, dass θ (paraxial Annäherung), so dass klein

ist:

und

:und:

In der Zahl ist die Flugzeug-Welle-Phase, sich horizontal vom im Brennpunkt stehenden Vorderflugzeug bis das Linse-Flugzeug bewegend,

:

und die Kugelwelle-Phase von der Linse bis den Punkt im Rücken im Brennpunkt stehendes Flugzeug ist:

:

und die Summe der zwei Pfad-Längen ist f (1 + θ/2 + 1 - θ/2) = 2f, d. h. es ist ein unveränderlicher Wert, der des Neigungswinkels, θ für paraxial Flugzeug-Wellen unabhängig ist. Jeder paraxial Flugzeug-Welle-Bestandteil des Feldes im im Brennpunkt stehenden Vorderflugzeug erscheint als ein Punkt-Ausbreitungsfunktionspunkt im Rücken im Brennpunkt stehendes Flugzeug, mit einer Intensität und Phase, die der Intensität und Phase des ursprünglichen Flugzeug-Welle-Bestandteils im im Brennpunkt stehenden Vorderflugzeug gleich ist. Mit anderen Worten verwandelt sich das Feld im Rücken im Brennpunkt stehendes Flugzeug ist der Fourier, des Feldes im im Brennpunkt stehenden Vorderflugzeug.

Alle FT Bestandteile werden gleichzeitig - in der Parallele - mit der Geschwindigkeit des Lichtes geschätzt. Als ein Beispiel reist Licht mit einer Geschwindigkeit grob. / ns so wenn eine Linse a. im Brennpunkt stehende Länge hat, kann ein kompletter 2. FT in ungefähr 2 ns (2 x 10 Sekunden) geschätzt werden. Wenn die im Brennpunkt stehende Länge 1 darin ist., dann ist die Zeit unter 200 ps. Kein elektronischer Computer kann sich mit diesen Arten von Zahlen bewerben oder vielleicht jemals hoffen, obwohl sich neue Supercomputer wie petaflop IBM Roadrunner wirklich schneller erweisen können als Optik, so unwahrscheinlich, wie das scheinen kann. Jedoch wird ihre Geschwindigkeit durch das Kombinieren zahlreicher Computer erhalten, die noch individuell langsamer sind als Optik. Der Nachteil des optischen FT ist, dass, weil sich die Abstammung zeigt, die FT Beziehung nur für paraxial Flugzeug-Wellen hält, so ist dieser FT "Computer" von Natur aus bandlimited. Andererseits, da die Wellenlänge des sichtbaren Lichtes so Minute in Bezug auf sogar die kleinsten sichtbaren Eigenschaft-Dimensionen im Image d. h., ist

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(für den ganzen k, k innerhalb der Raumbandbreite des Images, so dass k fast k gleich ist), beschränkt die paraxial Annäherung in der Praxis nicht schrecklich. Und, natürlich, ist das ein Analogon - nicht ein digitaler - Computer, so wird Präzision beschränkt. Außerdem kann Phase zum Extrakt schwierig sein; häufig wird es interferometrically abgeleitet.

Optische Verarbeitung ist in Realtime Anwendungen besonders nützlich, wo die schnelle Verarbeitung von massiven Beträgen von 2. Daten besonders in Bezug auf die Muster-Anerkennung erforderlich ist.

Gegenstand-Stutzung und Phänomen von Gibbs

Das räumlich abgestimmte elektrische Feld, gezeigt auf der linken Seite eqn. (2.1), besetzt normalerweise nur einen begrenzten (gewöhnlich rechteckig) Öffnung im x, y Flugzeug. Die rechteckige Öffnung fungiert Taten wie eine 2. Quadratspitzenpulsfunktion, wo, wie man annimmt, das Feld Null außerhalb dieses 2. Rechtecks ist. Die Raumbereichsintegrale, für die FT Koeffizienten auf der rechten Seite eqn zu berechnen. (2.1) sind an der Grenze dieser Öffnung gestutzt. Diese Schritt-Stutzung kann Ungenauigkeiten sowohl in theoretischen Berechnungen als auch in gemessenen Werten der Flugzeug-Welle-Koeffizienten auf dem RHS von eqn einführen. (2.1).

Wann auch immer eine Funktion in einem FT Gebiet diskontinuierlich gestutzt ist, werden das Verbreitern und in wellenartige Bewegungen zu versetzen, im anderen FT Gebiet eingeführt. Ein Beispiel von der Optik ist im Zusammenhang mit der Punkt-Ausbreitungsfunktion, die für die Flugzeug-Welle-Beleuchtung auf der Achse einer quadratischen Linse (mit der kreisförmigen Öffnung), eine Luftfunktion, J (x)/x ist. Wörtlich ist die Punkt-Quelle (mit Kräuselungen hinzugefügt) "ausgedehnt" worden, um die Luftpunkt-Ausbreitungsfunktion (als das Ergebnis der Stutzung des Flugzeug-Welle-Spektrums durch die begrenzte Öffnung der Linse) zu bilden. Diese Quelle des Fehlers ist als Phänomen von Gibbs bekannt, und es kann durch das einfache Sicherstellen gelindert werden, dass der ganze bedeutende Inhalt in der Nähe vom Zentrum der Durchsichtigkeit, oder durch den Gebrauch von Fensterfunktionen liegt, die glatt das Feld zur Null an den Rahmengrenzen zuspitzen. Durch den Gehirnwindungslehrsatz ist der FT einer willkürlichen Durchsichtigkeitsfunktion - multipliziert (oder gestutzt) durch eine Öffnungsfunktion - dem FT der nichtgestutzten Durchsichtigkeitsfunktion convolved gegen den FT der Öffnungsfunktion gleich, die in diesem Fall ein Typ der "Grüne-Funktion" oder "Impuls-Ansprechfunktion" im geisterhaften Gebiet wird. Deshalb ist das Image einer kreisförmigen Linse der Gegenstand-Flugzeug-Funktion convolved gegen die Luftfunktion gleich (der FT einer kreisförmigen Öffnungsfunktion ist J (x)/x und der FT einer rechteckigen Öffnungsfunktion sind ein Produkt von Sinc-Funktionen, Sünde x/x).

Analyse von Fourier und funktionelle Zergliederung

Wenn auch die Eingangsdurchsichtigkeit nur einen begrenzten Teil des x-y Flugzeugs besetzt (Flugzeug 1), besetzen die gleichförmigen Flugzeug-Wellen, die das Flugzeug-Welle-Spektrum umfassen, das komplette x-y Flugzeug, das ist, warum (für diesen Zweck) nur die Längsflugzeug-Welle-Phase (in der Z-Richtung, vom Flugzeug 1 zum Flugzeug 2), und nicht die zur Z-Richtung querlaufende Phase betrachtet werden muss. Es ist natürlich, sehr verführerisch zu denken, dass, wenn eine Flugzeug-Welle, die von der begrenzten Öffnung der Durchsichtigkeit ausgeht, alles andere als horizontal gekippt wird, es irgendwie die Linse zusammen "verpassen" wird, aber wieder da sich die gleichförmige Flugzeug-Welle ungeheuer weit in allen Richtungen im querlaufenden (x-y) Flugzeug ausstreckt, können die planaren Welle-Bestandteile nicht die Linse verpassen.

Dieses Problem bringt vielleicht die vorherrschende Schwierigkeit mit der Analyse von Fourier nämlich herauf, dass die eingangsstufige Funktion, die über eine begrenzte Unterstützung definiert ist (d. h., über seine eigene begrenzte Öffnung), wird mit anderen Funktionen (sinusiods) näher gekommen, die unendliche Unterstützung haben (d. h., sie über das komplette unendliche x-y Flugzeug definiert werden). Das ist rechenbetont unglaublich ineffizient, und ist der Hauptgrund, warum Elementarwellen konzipiert wurden, der ist, eine Funktion (defiined auf einem begrenzten Zwischenraum oder Gebiet) in Bezug auf Schwingungsfunktionen zu vertreten, die auch über begrenzte Zwischenräume oder Gebiete definiert werden. So, anstatt den Frequenzinhalt des kompletten Images plötzlich (zusammen mit dem Frequenzinhalt des kompletten Rests des x-y Flugzeugs zu bekommen, über das das Image Nullwert hat), ist das Ergebnis stattdessen der Frequenzinhalt von verschiedenen Teilen des Images, das gewöhnlich viel einfacher ist. Leider entsprechen Elementarwellen im x-y Flugzeug keinem bekannten Typ der sich fortpflanzenden Welle-Funktion ebenso, dass die sinusoids von Fourier (im x-y Flugzeug) Flugzeug-Welle-Funktionen in drei Dimensionen entsprechen. Jedoch sind die FTs von den meisten Elementarwellen weithin bekannt und konnten vielleicht gezeigt werden, zu einem nützlichen Typ gleichwertig zu sein, Feld fortzupflanzen.

Andererseits fungiert Sinc und Luftfunktionen - die nicht nur die Punkt-Ausbreitungsfunktionen von rechteckigen und kreisförmigen Öffnungen beziehungsweise sind, aber auch grundsätzliche Funktionen sind, die allgemein für die funktionelle Zergliederung in der Theorie der Interpolation/Stichprobenerhebung [Scott verwendet sind, entspricht 1990] - wirklich dem Zusammenlaufen oder den abweichenden Kugelwellen, und konnte deshalb als Ganzes neue funktionelle Zergliederung der Gegenstand-Flugzeug-Funktion potenziell durchgeführt werden, dadurch zu einem anderen Gesichtspunkt führend, der in der Natur zur Optik von Fourier ähnlich ist. Das würde dasselbe als herkömmliche Strahl-Optik, aber mit eingeschlossenen Beugungseffekten grundsätzlich sein. In diesem Fall würde jede Punkt-Ausbreitungsfunktion ein Typ des "glatten Pixels sein," auf die ziemlich gleiche Weise, wie ein soliton auf einer Faser ein "glatter Puls ist."

Vielleicht würde eine Linse-Zahl des Verdiensts in diesem "Punkt Ausbreitung" Funktionsgesichtspunkt sein zu fragen, wie gut eine Linse eine Luftfunktion im Gegenstand-Flugzeug in eine Luftfunktion im Bildflugzeug, als eine Funktion der radialen Entfernung von der Sehachse, oder als eine Funktion der Größe des Gegenstand-Flugzeugs Luftfunktion umgestaltet. Das ist Art von ähnlichen die Punkt-Ausbreitungsfunktion, außer jetzt schauen uns wirklich darauf als eine Art Flugzeug-Übertragungsfunktion des Eingangs zur Produktion (wie MTF), und nicht so viel in absoluten Ausdrücken hinsichtlich eines vollkommenen Punkts. Ähnlich konnten Gaussian Elementarwellen, die der Taille eines sich fortpflanzenden Balkens von Gaussian entsprechen würden, auch in noch einer anderen funktionellen Zergliederung des Gegenstand-Flugzeug-Feldes potenziell verwendet werden.

Fernbereich-Reihe und der 2. / λ Kriterium

In der Zahl oben, den Fourier illustrierend, der Eigentum von Linsen umgestaltet, ist die Linse in fast Feld der Gegenstand-Flugzeug-Durchsichtigkeit, deshalb kann das Gegenstand-Flugzeug-Feld an der Linse als eine Überlagerung von Flugzeug-Wellen betrachtet werden, von denen jede sich in einem Winkel in Bezug auf die Z-Achse fortpflanzt. In dieser Beziehung wird das Fernbereich-Kriterium als lose definiert: Reihe = 2 D / λ, wo D das maximale geradlinige Ausmaß der optischen Quellen und des λ ist, ist die Wellenlänge (Scott [1998]). Der D der Durchsichtigkeit ist auf der Ordnung des Cm (10 m), und die Wellenlänge des Lichtes ist auf der Ordnung von 10 M, deshalb ist D/λ für die ganze Durchsichtigkeit auf der Ordnung 10. Das Zeiten D ist auf der Ordnung von 10 M oder Hunderten von Metern. Andererseits ist die weite Feldentfernung von einem PSF-Punkt auf der Ordnung von λ. Das ist, weil D für den Punkt auf der Ordnung von λ ist, so dass D/λ auf der Ordnung der Einheit ist; das Zeiten D (d. h. λ) ist auf der Ordnung von λ (10 m).

Da die Linse im weiten Feld jedes PSF-Punkts ist, kann das Feldereignis auf der Linse vom Punkt betrachtet werden als, eine Kugelwelle, als in eqn zu sein. (2.2), nicht als ein Flugzeug-Welle-Spektrum, als in eqn. (2.1). Andererseits ist die Linse in fast Feld der kompletten Eingangsflugzeug-Durchsichtigkeit, deshalb eqn. (2.1) - das volle Flugzeug-Welle-Spektrum - vertritt genau das Feldereignis auf der Linse von der größere, verlängerte Quelle.

Linse als ein Filter des niedrigen Passes

Eine Linse ist grundsätzlich ein Flugzeug-Welle-Filter des niedrigen Passes (sieh Filter des Niedrigen Passes). Betrachten Sie eine "kleine" leichte Quelle als gelegen auf der Achse im Gegenstand-Flugzeug der Linse. Es wird angenommen, dass die Quelle klein genug ist, dass, durch das Fernbereich-Kriterium, die Linse im weiten Feld der "kleinen" Quelle ist. Dann ist das von der kleinen Quelle ausgestrahlte Feld eine Kugelwelle, die durch den FT des Quellvertriebs, als in eqn abgestimmt wird. (2.2), Dann, die Linse-Pässe - vom Gegenstand-Flugzeug auf das Bildflugzeug - nur dass ein Teil der ausgestrahlten Kugelwelle, die innerhalb des Rand-Winkels der Linse liegt. In diesem Fernbereich-Fall ist die Stutzung der ausgestrahlten Kugelwelle zur Stutzung des Flugzeug-Welle-Spektrums der kleinen Quelle gleichwertig. Also, die Flugzeug-Welle-Bestandteile in dieser Fernbereich-Kugelwelle, die außer dem Rand-Winkel der Linse liegen, werden durch die Linse nicht gewonnen und werden dem Bildflugzeug nicht übertragen. Bemerken Sie: diese Logik ist nur für kleine Quellen gültig, solch, dass die Linse im weiten Feldgebiet der Quelle, gemäß den 2 D / λ Kriterium erwähnt vorher ist. Wenn eine Gegenstand-Flugzeug-Durchsichtigkeit als eine Summierung über kleine Quellen vorgestellt wird (als in der Interpolationsformel von Whittaker-Shannon, Scott [1990]), von denen jeder sein auf diese Mode gestutztes Spektrum hat, dann erträgt jeder Punkt der kompletten Gegenstand-Flugzeug-Durchsichtigkeit dieselben Effekten dieser niedrigen Pass-Entstörung.

Verlust des hohen (räumlichen) Frequenzinhalt-Ursache-Verschmierens und Verlust der Schärfe (sieh Diskussion, die mit der Punkt-Ausbreitungsfunktion verbunden ist). Bandbreite-Stutzung veranlasst (frei erfunden, mathematisch, ideal) Punkt-Quelle im Gegenstand-Flugzeug, verschmiert (oder, ausgedehnt zu werden) im Bildflugzeug, den Begriff verursachend, "spitzen Sie ausgebreitete Funktion an." Wann auch immer Bandbreite ausgebreitet oder zusammengezogen wird, wird Bildgröße normalerweise zusammengezogen oder entsprechend auf solche Art und Weise ausgebreitet, dass das Raumbandbreite-Produkt unveränderlich, durch den Grundsatz von Heisenberg (Scott [1998] und Sinus-Bedingung von Abbe) bleibt.

Kohärenz und Fourier, der sich verwandelt

Während

man im Frequenzgebiet, mit einem angenommenen e (Technik) Zeitabhängigkeit arbeitet, wird zusammenhängendes (laser)-Licht implizit angenommen, der eine Delta-Funktionsabhängigkeit im Frequenzgebiet hat. Licht am verschiedenen (Delta-Funktion) Frequenzen werden das Flugzeug-Welle-Spektrum in verschiedenen Winkeln "zerstäuben", und infolgedessen werden diese Flugzeug-Welle-Bestandteile an verschiedenen Plätzen im Produktionsflugzeug eingestellt. Der Fourier, der Eigentum von Linsen umgestaltet, arbeitet am besten mit dem zusammenhängenden Licht, wenn es einen speziellen Grund nicht gibt, Licht von verschiedenen Frequenzen zu verbinden, einen speziellen Zweck zu erreichen.

Die Hardware-Durchführung des Systems überträgt Funktion - 4F correlator

Die Theorie über optische im Abschnitt 4 präsentierte Übertragungsfunktionen ist etwas abstrakt. Jedoch gibt es dasjenige sehr gut bekanntes Gerät, das die Systemübertragungsfunktion H in der Hardware mit nur 2 identischen Linsen und einem Durchsichtigkeitsteller - 4F correlator durchführt. Obwohl eine wichtige Anwendung dieses Geräts sicher die mathematischen Operationen der Quer-Korrelation und Gehirnwindung, dieses Geräts würde durchführen sollen - dienen 4 im Brennpunkt stehende Längen lange - wirklich einem großen Angebot an Bildverarbeitungsoperationen, die außer gut gehen, was sein Name einbezieht. Wie man zeigt, vergrößert sich ein Diagramm eines typischen 4F correlator in der Zahl unten (Klick). Dieses Gerät kann durch das Kombinieren der Flugzeug-Welle-Spektrum-Darstellung des elektrischen Feldes (Abschnitt 2) mit dem Fourier sogleich verstanden werden, der Eigentum von quadratischen Linsen (Abschnitt 5.1) umgestaltet, um die optischen im Abschnitt 4 beschriebenen Bildverarbeitungsoperationen nachzugeben.

4F basiert correlator auf dem Gehirnwindungslehrsatz von Fourier gestalten Theorie um, die feststellt, dass Gehirnwindung im räumlichen (x, y) Gebiet zur direkten Multiplikation in der Raumfrequenz (k, k) Gebiet gleichwertig ist (auch bekannt als: geisterhaftes Gebiet). Wieder ist eine Flugzeug-Welle angenommenes Ereignis vom links und eine Durchsichtigkeit, die eine 2. Funktion, f (x, y) enthält, wird ins Eingangsflugzeug des correlator gelegt, hat eine im Brennpunkt stehende Länge vor der ersten Linse ausfindig gemacht. Die Durchsichtigkeit stimmt räumlich die Ereignis-Flugzeug-Welle im Umfang und der Phase, wie auf der linken Seite eqn ab. (2.1), und auf diese Weise, erzeugt ein Spektrum von Flugzeug-Wellen entsprechend dem FT der Durchlässigkeitsgrad-Funktion, wie auf der rechten Seite eqn. (2.1). Dieses Spektrum wird dann als ein "Image" eine im Brennpunkt stehende Länge hinter der ersten Linse, wie gezeigt, gebildet. Eine Übertragungsmaske, die den FT der zweiten Funktion, g enthält (x, y), wird in dieses dasselbe Flugzeug, eine im Brennpunkt stehende Länge hinter der ersten Linse gelegt, die Übertragung durch die Maske veranlassend, dem Produkt, F (k, k) x G (k, k) gleich zu sein. Dieses Produkt liegt jetzt im "Eingangsflugzeug" der zweiten Linse (eine im Brennpunkt stehende Länge in der Vorderseite), so dass der FT dieses Produktes (d. h., die Gehirnwindung von f (x, y) und g (x, y)), wird im Rücken im Brennpunkt stehendes Flugzeug der zweiten Linse gebildet.

Wenn eine ideale, mathematische Punkt-Quelle des Lichtes auf der Achse im Eingangsflugzeug der ersten Linse gelegt wird, dann wird es ein gleichförmiges, zusammenfallen gelassenes im Produktionsflugzeug der ersten Linse erzeugtes Feld geben. Wenn dieses gleichförmige, zusammenfallen gelassene Feld mit der FT Flugzeug-Maske, und dann Fourier multipliziert wird, der durch die zweite Linse, das Produktionsflugzeug-Feld umgestaltet ist (der in diesem Fall die Impuls-Antwort des correlator ist), ist gerade unsere entsprechende Funktion, g (x, y). In praktischen Anwendungen, g (x, y) wird ein Typ der Eigenschaft sein, die identifiziert und innerhalb des Eingangsflugzeug-Feldes gelegen werden muss (sieh Scott [1998]). In militärischen Anwendungen kann diese Eigenschaft ein Panzer, Schiff oder Flugzeug sein, das innerhalb von einer komplizierteren Szene schnell identifiziert werden muss.

4F ist correlator ein ausgezeichnetes Gerät, für die "System"-Aspekte von optischen Instrumenten zu illustrieren, hat auf im Abschnitt 4 oben angespielt. Die FT Flugzeug-Maske-Funktion, G (k, k) ist die Systemübertragungsfunktion des correlator, den wir im Allgemeinen als H (k, k) anzeigen würden, und es der FT der Impuls-Ansprechfunktion des correlator, h ist (x, y), der gerade unsere entsprechende Funktion g (x, y) ist. Und, wie oben erwähnt, ist die Impuls-Antwort des correlator gerade ein Bild der Eigenschaft, die wir versuchen, im Eingangsimage zu finden. In 4F correlator wird die Systemübertragungsfunktion H (k, k) gegen das Spektrum F (k, k) der Eingangsfunktion direkt multipliziert, um das Spektrum der Produktionsfunktion zu erzeugen. Das ist, wie elektrische Signalverarbeitungssysteme auf 1D zeitliche Signale funktionieren.

Nachwort: Flugzeug-Welle-Spektrum innerhalb des breiteren Zusammenhangs der funktionellen Zergliederung

Elektrische Felder sind wirklich gerade besondere Typen von mathematischen Funktionen und, als solcher, kann häufig auf viele verschiedene Weisen vertreten werden. In den Gesichtspunkten von Huygens-Fresnel oder Stratton-Chu wird das elektrische Feld als eine Überlagerung von Punkt-Quellen vertreten, von denen jede ein Funktionsfeld eines Grüns verursacht. Das Gesamtfeld ist dann die belastete Summe von allen individuellen Grüne-Funktionsfeldern. Das scheint, die natürlichste Weise zu sein, das elektrische Feld für die meisten Menschen - zweifellos anzusehen, weil die meisten von uns irgendwann die Kreise mit dem Gradbogen und Papier, ziemlich gleiche Weise herausgezogen haben, wie Thomas Young in seiner klassischen Zeitung auf dem Experiment des Doppelten Schlitzes getan hat. Jedoch ist es keineswegs die einzige Weise, das elektrische Feld zu vertreten, das auch als ein Spektrum sinusförmig unterschiedlicher Flugzeug-Wellen vertreten werden kann. Außerdem haben Fritten Zernike noch eine andere funktionelle Zergliederung vorgeschlagen, die auf seinen Polynomen von Zernike gestützt ist, die auf der Einheitsscheibe definiert sind. Die dritte Ordnung (und tiefer) Polynome von Zernike entspricht den normalen Linse-Abweichungen. Und noch konnte eine andere funktionelle Zergliederung in Bezug auf Funktionen von Sinc und Luftfunktionen, als in der Interpolationsformel von Whittaker-Shannon und dem Abtasttheorem von Nyquist-Shannon gemacht werden. Alle diese funktionellen Zergliederungen haben Dienstprogramm in verschiedenen Verhältnissen. Der optische Wissenschaftler, der Zugang zu diesen verschiedenen Vertretungsformen hat, hat verfügbar eine reichere Scharfsinnigkeit zur Natur dieser erstaunlichen Felder und ihrer Eigenschaften. Umarmen Sie diese verschiedenen Weisen, auf das Feld zu schauen, anstatt sie anzusehen, als, in jedem Fall widerstreitend oder widersprechend zu sein.

Funktioneller Decomposition und Eigenfunctions

Die Zwillingsthemen von eigenfunction Vergrößerungen und funktioneller Zergliederung, beide haben kurz auf in diesem Artikel Wikipedia angespielt, sind nicht völlig unabhängig. Die eigenfunction Vergrößerungen bestimmten geradlinigen über ein gegebenes Gebiet definierten Maschinenbedienern, werden häufig einen zählbar unendlichen Satz von orthogonalen Funktionen nachgeben, die dieses Gebiet abmessen werden. Abhängig vom Maschinenbediener und dem dimensionality (und Gestalt und Grenzbedingungen) seines Gebiets sind viele verschiedene Typen von funktionellen Zergliederungen im Prinzip, möglich.

Siehe auch

• Sinus-Bedingung von Abbe
• Grundsatz von Huygens-Fresnel
• Spitzen Sie Ausbreitungsfunktion an
• Phase-Kontrastmikroskopie
• Beugung von Fraunhofer
• Beugung von Fresnel
• Anpassungsfähig-zusätzlicher Algorithmus
• Raum von Hilbert
• oder online hier

Außenverbindungen

• http://www.hindawi.com/journals/aot/2010/372652.html Optische Computerwissenschaft: Ein 60-jähriges Abenteuer

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