In der Zahlentheorie wird ein numerisches Feld K völlig echt genannt, wenn für jedes Einbetten von K in die komplexen Zahlen das Image innerhalb der reellen Zahlen liegt. Gleichwertige Bedingungen bestehen darin, dass K über Q durch eine Wurzel eines Polynoms der ganzen Zahl P, aller Wurzeln von P erzeugt wird echt zu sein; oder dass die Tensor-Produktalgebra von K mit dem echten Feld, über Q, ein Produkt von Kopien von R ist.

Zum Beispiel sind quadratische Felder K des Grads 2 über Q irgendein echt (und dann völlig echt), oder Komplex, je nachdem ob an die Quadratwurzel einer positiven oder negativen Zahl Q angegrenzt wird. Im Fall von Kubikfeldern wird ein Kubikpolynom der ganzen Zahl P nicht zu vereinfachend über Q mindestens eine echte Wurzel haben. Wenn es einen echten hat und zwei Komplex einwurzelt, wird die entsprechende Kubikerweiterung von definiertem Q durch das Angrenzen an die echte Wurzel nicht völlig echt sein, obwohl es ein Feld von reellen Zahlen ist.

Die Felder der völlig reellen Zahl spielen eine bedeutende spezielle Rolle in der Theorie der algebraischen Zahl. Eine abelian Erweiterung von Q ist entweder völlig echt, oder enthält ein völlig echtes Teilfeld, über das es Grad zwei hat.

Siehe auch

• Feld der völlig imaginären Zahl