In der Algebra ist ein monic Polynom ein Polynom

in dem der Hauptkoeffizient c 1 gleich ist.

Polynome von Univariate

Wenn ein Polynom nur eine Variable hat (univariate Polynom), dann werden die Begriffe gewöhnlich irgendein vom höchsten Grad bis niedrigsten Grad geschrieben ("Mächte hinuntersteigend",) oder vom niedrigsten Grad bis höchsten Grad ("Mächte" ersteigend). Ein univariate Polynom in x des Grads n nimmt dann die allgemeine Form an, die oben, wo gezeigt ist

: c  0, c..., c, c und c

sind Konstanten, die Koeffizienten des Polynoms.

Hier wird der Begriff cx den Hauptbegriff und seinen Koeffizienten c der Hauptkoeffizient genannt; wenn der Hauptkoeffizient, das univariate Polynom monic genannt wird.

Beispiele

• Monic quadratische Polynome

Eigenschaften

Multiplicatively hat geschlossen

Der Satz aller monic Polynome (über einen gegebenen (einheitlichen) Ring A und für eine gegebene Variable wird x) unter der Multiplikation seit dem Produkt der Hauptbegriffe von zwei monic Polynomen geschlossen, ist der Hauptbegriff ihres Produktes. So formen sich die monic Polynome eine multiplicative Halbgruppe des Polynoms klingeln [x]. Wirklich, da das unveränderliche Polynom 1 monic ist, ist diese Halbgruppe sogar ein monoid.

Polynomische Gleichungslösungen

In anderer Hinsicht hängen die Eigenschaften von monic Polynomen und ihrer entsprechenden monic polynomischen Gleichungen entscheidend vom mitwirkenden RingA ab. Wenn A ein Feld ist, dann hat jedes Nichtnullpolynom p genau ein hat monic Polynom q vereinigt; wirklich ist q mit seinem Hauptkoeffizienten geteilter p. Auf diese Weise, dann, kann jede nichttriviale polynomische Gleichung p (x) = 0 durch eine gleichwertige monic Gleichung q (x) = 0 ersetzt werden. Z.B, die allgemeine echte zweite Grad-Gleichung

: (wo)

kann durch ersetzt werden

:

durch das Stellen p = b/a und q = c/a. So ist die Gleichung zur monic Gleichung gleichwertig.

Integrality

Andererseits, wenn der mitwirkende Ring nicht ein Feld ist, gibt es wesentlichere Unterschiede. Z.B kann eine monic polynomische Gleichung mit Koeffizienten der ganzen Zahl nicht andere vernünftige Lösungen haben als Lösungen der ganzen Zahl. So, die Gleichung

vielleicht könnte eine vernünftige Wurzel haben, die nicht eine ganze Zahl, ist (und beiläufig sie wirklich unter anderem die Wurzel −1/2 hat); während die Gleichungen

und

nur kann Lösungen der ganzen Zahl oder vernunftwidrige Lösungen haben.

Die Lösungen monic polynomischer Gleichungen über ein integriertes Gebiet sind in der Theorie von integrierten Erweiterungen und integriert geschlossenen Gebieten, und folglich für die Theorie der algebraischen Zahl wichtig. Nehmen Sie im Allgemeinen an, dass A ein integriertes Gebiet und auch ein Subring des integrierten Gebiets B ist. Denken Sie die Teilmenge C B, aus jenen B Elementen bestehend, die monic polynomische Gleichungen über A befriedigen:

Der Satz C enthält A, seit irgendwelchem, der ein  A die Gleichung x  = 0 befriedigt. Außerdem ist es möglich zu beweisen, dass C unter der Hinzufügung und Multiplikation geschlossen wird. So ist C ein Subring von B. Der Ring C wird den integrierten Verschluss in B genannt; oder gerade der integrierte Verschluss von A, wenn B das Bruchteil-Feld von A ist; und, wie man sagt, sind die Elemente von C über A integriert. Wenn hier (der Ring von ganzen Zahlen) und (das Feld von komplexen Zahlen), dann ist C der Ring von algebraischen ganzen Zahlen.

Polynome von Multivariate

Normalerweise wird der Begriff monic für Polynome von mehreren Variablen nicht verwendet. Jedoch kann ein Polynom in mehreren Variablen als ein Polynom in nur "der letzten" Variable, aber mit Koeffizienten betrachtet werden, die Polynome in anderen sind. Das kann auf mehrere Weisen getan werden, abhängig von denen der Variablen als "die letzte" gewählt wird. Z.B, das echte Polynom

ist monic, betrachtet als ein Element in R [y] [x], d. h., als ein univariate Polynom in der Variable x mit Koeffizienten, die selbst univariate Polynome in y sind:

:;

aber p (x, y) ist nicht monic als ein Element in R [x] [y], seitdem sind der höchste Grad-Koeffizient (d. h., der y Koeffizient) dann 2x − 1.

Es gibt eine alternative Tagung, die z.B in Basiszusammenhängen von Gröbner nützlich sein kann: Ein Polynom wird monic genannt, wenn sein Hauptkoeffizient (als ein multivariate Polynom) 1 ist. Nehmen Sie mit anderen Worten an, dass p = p (x..., x) ein Nichtnullpolynom in n Variablen ist, und dass es eine gegebene Monom-Ordnung auf dem Satz aller ("monic") Monome in diesen Variablen, d. h., ein Gesamtbezug des freien auswechselbaren monoid gibt, der durch x..., x, mit der Einheit als niedrigstes Element und Respektieren-Multiplikation erzeugt ist. In diesem Fall definiert diese Ordnung einen höchsten nichtverschwindenden Begriff in p, und p kann monic genannt werden, wenn dieser Begriff Koeffizienten ein hat.

"Polynome von Monic multivariate" gemäß beiden Definitionen teilen einige Eigenschaften mit dem "Üblichen" (univariate) monic Polynome. Namentlich ist das Produkt von monic Polynomen wieder monic.