Der Grundsatz oder HP von Hume — die Begriffe wurden von George Boolos ins Leben gerufen — sagt, dass die Zahl von Fs der Zahl von Gs wenn und nur gleich ist, wenn es eine isomorphe Ähnlichkeit (eine Bijektion) zwischen Fs und Gs gibt. HP kann formell in Systemen der Logik der zweiten Ordnung festgesetzt werden. Der Grundsatz von Hume wird für den schottischen Philosophen David Hume genannt.

HP spielt eine Hauptrolle in der Philosophie von Gottlob Frege der Mathematik. Frege zeigt, dass HP und passende Definitionen von arithmetischen Begriffen alle Axiome dessen zur Folge haben, was wir jetzt Arithmetik der zweiten Ordnung nennen. Dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz von Frege bekannt, der das Fundament für eine Philosophie der Mathematik bekannt als neo-logicism ist.

Ursprünge

Der Grundsatz von Hume erscheint in den Fundamenten von Frege der Arithmetik, die vom Teil III des Buches I von David Hume Eine Abhandlung der Menschlichen Natur ansetzt. Hume dort legt sieben grundsätzliche Beziehungen zwischen Ideen dar. Bezüglich einen von diesen, Verhältnis in der Menge oder Zahl, behauptet Hume, dass unser Denken über das Verhältnis in der Menge, wie vertreten, durch die Geometrie, "vollkommene Präzision und Genauigkeit" nie erreichen kann, da seine Grundsätze aus Sinnäußerem abgeleitet werden. Er stellt dem mit dem Denken über die Zahl oder Arithmetik gegenüber, in der solch eine Präzision erreicht werden kann:

Bemerken Sie den Gebrauch von Hume der Wortzahl im alten Sinn, um einen Satz oder Sammlung von Dingen aber nicht den allgemeinen modernen Begriff der "positiven ganzen Zahl" zu bedeuten. Der alte griechische Begriff der Zahl (arithmos) ist einer begrenzten aus Einheiten zusammengesetzten Mehrzahl. Sieh Aristoteles, Metaphysik, 1020a14 und Euklid, Elemente, Buch VII, Definition 1 und 2. Die Unähnlichkeit zwischen der alten und modernen Vorstellung der Zahl wird im Detail in Mayberry (2000) besprochen. Der Kredit, den Frege versucht, Hume zu geben, wird deshalb wahrscheinlich nicht verdient, und Hume hätte sicher mindestens einige der Folgen zurückgewiesen, die Frege vom HP, insbesondere die Folge zieht, dass es unendliche Sätze gibt.

Einfluss auf die Mengenlehre

Der Grundsatz, dass Grundzahl in Bezug auf die isomorphe Ähnlichkeit charakterisiert werden sollte, war vorher zur großen Wirkung von Georg Cantor verwendet worden, dessen Schriften Frege gewusst hat. Der Vorschlag ist deshalb gemacht worden, dass der Grundsatz von Hume "den Grundsatz von Cantor" besser genannt werden sollte. Aber Frege hat Cantor kritisiert mit der Begründung, dass Cantor Grundzahlen in Bezug auf Ordinalzahlen definiert, wohingegen Frege eine Charakterisierung von Kardinälen hat geben wollen, die der Ordnungszahlen unabhängig war. Der Gesichtspunkt von Cantor ist jedoch derjenige, der in zeitgenössischen Theorien von transfiniten Zahlen, wie entwickelt, in der axiomatischen Mengenlehre eingebettet ist.

• Anderson, D. und Edward Zalta (2004) "Frege, Boolos und Logische Gegenstände," Zeitschrift der Philosophischen Logik 33: 1-26.
• George Boolos, 1998. Logik, Logik und Logik. Harvard Univ. Drücken. Besonders Abschnitt II, "Frege-Studien."
• Bürger, John, 2005. Befestigen Frege. Princeton Univ. Drücken.
• Gottlob Frege, Fundamente der Arithmetik.
• David Hume. Eine Abhandlung der menschlichen Natur.
• Mayberry, John P., 2000. Die Fundamente der Mathematik in der Theorie von Sätzen. Cambridge. Online-Exzerpte.

Außenverbindungen

• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: "Die Logik von Frege, Lehrsatz und Fundamente für die Arithmetik" - durch Edward Zalta.
• "Die logischen und metaphysischen Fundamente der klassischen Mathematik,"
• Arche: Das Zentrum für die Philosophie von Logik, Sprache, Mathematik und Meinung an der Universität von St. Andreas.