In der komplizierten Analyse sind die Räume von Hardy (oder Klassen von Hardy) H bestimmte Räume von Holomorphic-Funktionen auf der Einheitsplatte oder oberen Hälfte des Flugzeugs. Sie wurden von Frigyes Riesz eingeführt, der sie nach G. H. Hardy wegen des Papiers genannt hat. In der echten Analyse sind Räume von Hardy bestimmte Räume des Vertriebs auf der echten Linie, der (im Sinne des Vertriebs) Grenzwerte der holomorphic Funktionen des Komplexes Räume von Hardy ist, und mit den L Räumen der Funktionsanalyse verbunden ist. Für 1 ≤ p ≤ ∞ diese echten Räume von Hardy H sind bestimmte Teilmengen von L, während für p Räume einige unerwünschte Eigenschaften haben, und die Räume von Hardy viel besser erzogen sind.

Es gibt auch höhere dimensionale Generalisationen, aus bestimmten Holomorphic-Funktionen auf Tube-Gebieten im komplizierten Fall oder bestimmten Räumen des Vertriebs auf R im echten Fall bestehend.

Zähe Räume haben mehrere Anwendungen in der mathematischen Analyse selbst, sowie in der Steuerungstheorie (wie H-Methoden) und in der sich zerstreuenden Theorie.

Zähe Räume für die Einheitsplatte

Für Räume von Holomorphic-Funktionen auf der offenen Einheitsplatte besteht der Raum von Hardy H aus den Funktionen ƒ wessen Mittelquadratwert auf dem Kreis des Radius r begrenzt als r  1 von unten bleibt.

Mehr allgemein, der Raum von Hardy H für 0

Diese Klasse H ist ein Vektorraum. Die Zahl auf der linken Seite der obengenannten Ungleichheit ist die RaumP-Norm von Hardy für f, angezeigt Dadurch ist eine Norm wenn p ≥ 1, aber nicht, wenn 0 als der Vektorraum von begrenzten Holomorphic-Funktionen auf der Platte, mit der Norm definiert wird

:

Für 0 ist eine Teilmenge von H, und die H-Norm nimmt mit p zu (es ist eine Folge der Ungleichheit von Hölder, dass die L-Norm für Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen zunimmt, d. h. mit der Gesamtmasse 1 misst).

Zähe Räume auf dem Einheitskreis

Die Zähen in der vorhergehenden Abteilung definierten Räume können auch als bestimmte geschlossene Vektor-Subräume des Komplexes L Räume auf dem Einheitskreis angesehen werden. Diese Verbindung wird durch den folgenden Lehrsatz zur Verfügung gestellt: Gegebener f ∈ H, mit p > 0, die radiale Grenze

:

\lim_ {r\to 1} f\left (r \mathrm {e} ^ {\\mathrm {ich }\\theta }\\Recht) </Mathematik>

besteht für fast jeden θ. Die Funktion gehört dem L Raum für den Einheitskreis, und man hat das

:Wenn man

den Einheitskreis durch T, und durch H (T) der Vektor-Subraum von L (T) anzeigt, aus allen Grenze-Funktionen bestehend, wenn sich f in H ändert, hat man dann das für p  1,

:

wo die ĝ (n) die Koeffizienten von Fourier einer Funktion g integrable auf dem Einheitskreis, sind

:

g\left (\mathrm {e} ^ {i\phi }\\Recht) \mathrm {e} ^ {-in\phi} \, \mathrm {d }\\phi. </math>

Der Raum H (T) ist ein geschlossener Subraum von L (T). Seitdem L ist (T) ein Banachraum (für 1  p &le; ), auch ist H (T).

Der obengenannte kann umgedreht werden. In Anbetracht einer Funktion  L (T), mit p &ge; 1 kann man eine (harmonische) Funktion f auf der Einheitsplatte mittels des Kerns von Poisson P wiedergewinnen:

:

\frac {1} {2\pi} \int_0^ {2\pi} P_r\left (\theta-\phi\right)

\tilde f\left (\mathrm {e} ^ {\\mathrm {ich }\\phi }\\Recht) \, \mathrm {d }\\phi, \\\r

und f gehört H genau, wenn in H (T) ist. Angenommen, dass in H (T) ist. d. h. das hat Koeffizienten von Fourier (a) mit = 0 für jeden n, der dazu vereinigt ist, ist die Holomorphic-Funktion

:

In Anwendungen werden jene Funktionen mit verschwindenden negativen Koeffizienten von Fourier als die kausalen Lösungen allgemein interpretiert. So, wie man sieht, sitzt der Raum H natürlich innerhalb des L Raums, und wird durch unendliche durch N mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folgen vertreten; wohingegen L aus bi-infinite durch Z mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Folgen besteht.

Verbindung zu echten Räumen von Hardy auf dem Kreis

Als 1  p weiter unten in diesem Artikel besprochen hat, sind leicht, im gegenwärtigen Zusammenhang zu beschreiben. Eine echte Funktion f auf dem Einheitskreis gehört dem echten Raum von Hardy H ('T), wenn es der echte Teil einer Funktion in H (T) ist, und eine komplizierte Funktion f dem echten Raum von Hardy iff Re f&thinsp gehört; und Im f&thinsp; gehören Sie dem Raum (sieh die Abteilung auf echten Räumen von Hardy unten).

Für p

Die Funktion F ist in H für jeden p ('T), aber sein echter Teil Re f ist 0 fast überall. Es ist nicht mehr möglich, F von Re f wieder zu erlangen, und man kann echt-H (T) auf die einfache Weise oben nicht definieren.

Für dieselbe Funktion F, lassen Sie f (e) = F (r e). Die Grenze wenn r &rarr; 1 Re f, im Sinne des Vertriebs auf dem Kreis, ist ein Nichtnullvielfache des Vertriebs von Dirac an z = 1. Der Dirac Vertrieb an jedem Punkt des Einheitskreises gehört dem echten-H (T) für jeden p kann als das Produkt &fnof geschrieben werden; = ist Gh, wo G eine Außenfunktion und h ist, eine innere Funktion, wie definiert, unten. Dieser "Beurling factorization" erlaubt dem Raum von Hardy, durch die Räume von inneren und Außenfunktionen völlig charakterisiert zu werden.

Man sagt, dass G (z) eine (äußerliche) Außenfunktion ist, wenn er die Form annimmt

:

\frac {\\mathrm {e} ^ {i\theta} +z} {\\mathrm {e} ^ {i\theta}-z} \log \varphi (\mathrm {e} ^ {i\theta}) \, \mathrm {d }\\theta \right] </Mathematik>

für eine komplexe Zahl kreisen c mit |c = 1, und etwas positive messbare Funktion φ auf der Einheit solch, dass Klotz φ integrable auf dem Kreis ist. Insbesondere wenn φ integrable auf dem Kreis ist, ist G in H, weil der obengenannte die Form des Kerns von Poisson annimmt. Das bezieht das ein

:

für fast jeden θ.

Man sagt, dass h (z) eine innere (innen)-Funktion wenn und nur wenn ist

|h (z) |  1 auf der Einheitsplatte und der Grenze

:

besteht für fast den ganzen θ, und sein Modul ist 1 gleich. Insbesondere h ist in H. Die innere Funktion kann weiter factored in eine Form sein, die ein Produkt von Blaschke einschließt.

Die Funktion f, zersetzt als f = Gh, ist in H, wenn, und nur wenn die positive Funktion φ L (T) gehört, wo φ die Funktion in der Darstellung der Außenfunktion G ist.

Lassen Sie G eine Außenfunktion vertreten als oben von einer Funktion φ auf dem Kreis sein. φ durch φ, α> 0 ersetzend, wird eine Familie (G) Außenfunktionen mit den Eigenschaften erhalten:

:: G = G, G = G G und |G = |G fast überall auf dem Kreis.

Hieraus folgt dass, wann auch immer 0 als das Produkt einer Funktion in H und einer Funktion in H ausgedrückt werden kann. Zum Beispiel: Jede Funktion in H ist das Produkt von zwei Funktionen in H; jede Funktion in H, p, q> 1.

Echt-variable Techniken auf dem Einheitskreis

Echt-variable Techniken, die hauptsächlich zur Studie von echten Räumen von Hardy vereinigt sind, die auf R (sieh unten) definiert sind, werden auch im einfacheren Fachwerk des Kreises verwendet. Es ist eine übliche Praxis, um komplizierte Funktionen (oder Vertrieb) in diesen "echten" Räumen zu berücksichtigen. Die Definition, die folgt, unterscheidet zwischen dem echten oder komplizierten Fall nicht.

Lassen Sie P den Kern von Poisson auf dem Einheitskreis T anzeigen. Für einen Vertrieb f auf dem Einheitskreis, Satz

:

wo der Stern Gehirnwindung zwischen dem Vertrieb f und der Funktion e &rarr anzeigt; P (θ) auf dem Kreis. Nämlich, (f &lowast; P) ist (e) das Ergebnis der Handlung von f auf der C-Funktion, die auf dem Einheitskreis durch definiert ist

:

Für 0 (T) besteht aus dem Vertrieb f solch dass M f  ist in L (T).

Die Funktion F definiert auf der Einheitsplatte durch F (r e) = (f &lowast; P) ist (e), und M f&thinsp harmonisch; ist die radiale maximale Funktion von F. Wenn M f  gehört L (T) und p &ge; 1, der Vertrieb f&thinsp; "ist" eine Funktion in L (T), nämlich der Grenzwert von F. Für p &ge; 1 ist der echte Raum von Hardy H (T) eine Teilmenge von L (T).

Verbundene Funktion

Zu jedem echten trigonometrischen Polynom u auf dem Einheitskreis vereinigt man das echte verbundene Polynom v solch, dass sich u + iv bis zu eine Holomorphic-Funktion in der Einheitsplatte, ausstreckt

:

Das, u &rarr kartografisch darstellend; v streckt sich bis zu einen begrenzten geradlinigen Maschinenbediener H auf L (T), wenn 1 (T) zum schwachen-L (T) aus. Wenn 1 &le; p ('T)

• die Funktion f und sein verbundener H (f) gehören L (T)
• die radiale maximale Funktion M f  gehört L (T).

Wenn 1 ('T) wenn f &isin; L (T) folglich fällt der echte Raum von Hardy H (T) mit L (T) in diesem Fall zusammen. Für p = 1 ist der echte Raum von Hardy H (T) ein richtiger Subraum von L (T).

Der p =  Fall wurde von der Definition von echten Räumen von Hardy, weil die maximale Funktion M f&thinsp ausgeschlossen; eines L wird Funktion immer begrenzt, und weil es dass echt-H nicht wünschenswert ist, L gleich sein. Jedoch sind die zwei im Anschluss an Eigenschaften für eine echte geschätzte Funktion f gleichwertig

• die Funktion f&thinsp; ist der echte Teil von etwas Funktion g &isin; H (T)
• die Funktion f&thinsp; und seine verbundenen H (f) gehören L (T).

Echte Zähe Räume, wenn 0 vom echten Teil seiner Grenzgrenze-Funktion auf dem Kreis wegen des Mangels an der Konvexität von L in diesem Fall nicht wieder aufgebaut werden kann. Konvexität scheitert, aber eine Art "komplizierte Konvexität", bleibt nämlich die Tatsache das z &rarr; z ist für jeden q> 0 subharmonisch. Demzufolge, wenn

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ist in H, es kann dass c = O (n) gezeigt werden. Hieraus folgt dass die Reihe von Fourier

:

läuft im Sinne des Vertriebs zu einem Vertrieb f auf dem Einheitskreis und F (r e) = zusammen (f &lowast; P) (θ). Die Funktion F &isin; H kann vom echten Vertrieb Re f auf dem Kreis wieder aufgebaut werden, weil die Koeffizienten von Taylor c F von den Koeffizienten von Fourier von Re f geschätzt werden können: Der Vertrieb auf dem Kreis ist allgemein genug, um Räume von Hardy zu behandeln, wenn p (für |z, wenn 0 ('T) iff es der Grenzwert des echten Teils von einem F &isin ist; H. Ein Dirac Vertrieb δ, an jedem Punkt x des Einheitskreises, gehört dem echten-H (T) für jeden p gehören, wenn p, wenn p auf dem oberen Halbflugzeug definiert wird, um der Raum von Holomorphic-Funktionen f auf mit dem begrenzten (quasi-) Norm, die Norm zu sein, die durch wird gibt

:

Das Entsprechen wird als Funktionen der begrenzten Norm mit der durch gegebenen Norm definiert

:

Obwohl die Einheitsplatte und das obere Halbflugzeug zu einander mittels Transformationen von Möbius kartografisch dargestellt werden können, sind sie als Gebiete für Räume von Hardy nicht austauschbar. Das Beitragen zu diesem Unterschied ist die Tatsache, dass der Einheitskreis begrenzten (eindimensionalen) Lebesgue messen lässt, während die echte Linie nicht tut. Jedoch, für H, kann man noch den folgenden Lehrsatz festsetzen: In Anbetracht der Transformation von Möbius mit

:

dann gibt es einen isometrischen Isomorphismus

:

mit

:

Echte Zähe Räume für R

In der Analyse auf den echten Vektorraum R, der Zähe Raum H (für 0

ist in L(R), wo &lowast; ist Gehirnwindung und &Phi; (x) = t&Phi; (x/t).

Die H-Quasinorm ||&fnof;|| eines Vertriebs &fnof; H wird definiert, um die L Norm M&fnof zu sein; (das hängt von der Wahl &Phi ab; aber verschiedene Wahlen von Schwartz fungieren &Phi; geben Sie gleichwertige Normen). Die H-Quasinorm ist eine Norm wenn p &ge; 1, aber nicht, wenn p derselbe Vektorraum wie L mit der gleichwertigen Norm ist. Wenn p = 1, der Raum von Hardy H ein richtiger Subraum von L ist. Man kann Folgen in H finden, die in L begrenzt, aber in H, zum Beispiel auf der Linie unbegrenzt werden

:

Der L und die H Normen sind auf H nicht gleichwertig, und H wird in L nicht geschlossen. Der Doppel-von H ist der Raum-BMO von Funktionen der begrenzten Mittelschwingung. Der Raum-BMO enthält unbegrenzte Funktionen (Beweis wieder, dass H in L nicht geschlossen wird).

Wenn p Elemente hat, die nicht Funktionen sind, und sein Doppel-der homogene Raum von Lipschitz des Auftrags n ist (1/p &minus; 1).

Wenn p-quasinorm nicht eine Norm ist, weil es nicht subzusätzlich ist. Die pth Macht ||&fnof;|| ist für p subzusätzlich, der die Topologie definiert und H in einen ganzen metrischen Raum macht.

Atomzergliederung

Wenn 0 wenn und nur wenn alle seine Momente

:

wessen Auftrag i + &middot;&middot;&middot; + bin ich am grössten Teil von n (1/p &minus; verschwinden Sie 1). Zum Beispiel muss das Integral von f damit f &isin verschwinden; H, 0

Wenn außerdem ƒ Unterstützung in einem Ball B hat und durch |B dann &fnof begrenzt wird; wird genannt ein H-Atom (hier zeigt |B das Euklidische Volumen von B in R an). Die H-Quasinorm eines willkürlichen H-Atoms wird durch eine Konstante begrenzt, die nur von p und von der Funktion von Schwartz Φ abhängt.

Wenn 0 eine Atomzergliederung als eine konvergente unendliche Kombination von H-Atomen, hat

:

wo H-Atome sind und die c Skalare sind.

Auf der Linie zum Beispiel, dem Unterschied des Vertriebs von Dirac f = δ &minus; δ kann vertreten werden, weil eine Reihe von Haar, konvergent in der H-Quasinorm wenn 1/2 wenn p &le fungiert; 1/2, weil ihre maximale Funktion an der Unendlichkeit zu einem x für einige ein  0) gleichwertig ist.

Martingal H

Lassen Sie (M) ein Martingal auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P), in Bezug auf eine zunehmende Folge von σ-fields (Σ) sein. Nehmen Sie für die Einfachheit an, dass Σ dem σ-field gleich ist, der durch die Folge (Σ) erzeugt ist. Die maximale Funktion des Martingals wird durch definiert

:

Lassen Sie 1  p) gehört dem Martingal-H wenn M &isin; L.

Wenn M &isin; L wird das Martingal (M) in L begrenzt, folglich läuft es fast sicher zu etwas Funktion f&thinsp zusammen; durch den Martingal-Konvergenz-Lehrsatz. Außerdem läuft M zu f in der L-Norm durch den beherrschten Konvergenz-Lehrsatz zusammen, folglich kann M als bedingte Erwartung f&thinsp ausgedrückt werden; auf Σ. Es ist so möglich, Martingal-H mit dem Subraum von L (Ω, Σ, P) zu identifizieren, aus jenen solchen f dass das Martingal bestehend

:

gehört dem Martingal-H.

Die maximale Ungleichheit von Doob deutet an, dass Martingal-H mit L zusammenfällt (Ω, Σ, P), wenn 1, dessen Doppel-Martingal-BMO ist.

Die Burkholder-Gundy Ungleichheit (wenn p> 1) und die Ungleichheit des Bürgers Davis (wenn p = 1) die L-Norm der maximalen Funktion zu dieser der Quadratfunktion des Martingals verbinden

:

Martingal-H kann durch den Ausspruch dass S (f)  L definiert werden.

Martingale mit dem dauernden Zeitparameter können auch betrachtet werden. Eine direkte Verbindung mit der klassischen Theorie wird über die komplizierte Brownsche Bewegung (B) im komplizierten Flugzeug erhalten, vom Punkt z = 0 in der Zeit t = 0 anfangend. Lassen Sie τ die schlagende Zeit des Einheitskreises anzeigen. Weil jeder holomorphic F in der Einheitsplatte, fungiert

:

ist ein Martingal, das dem Martingal-H iff F &isin gehört; H.

Beispiel: dyadisches Martingal-H

In diesem Beispiel, Ω = [0, 1] und Σ ist das begrenzte Feld, das durch die dyadische Teilung [0, 1] in 2 Zwischenräume der Länge 2, für jeden n &ge erzeugt ist; 0. Wenn eine Funktion f auf [0, 1] durch seine Vergrößerung auf dem System von Haar (h) vertreten wird

:

dann kann die Norm des Martingals-H von f durch die L Norm der Quadratfunktion definiert werden

:

Dieser Raum, der manchmal durch H (δ) angezeigt ist, ist zum klassischen echten H Raum auf dem Kreis isomorph. Das System von Haar ist eine vorbehaltlose Basis für H (δ).