In der Mathematik stellt der Gelfand-Naimark Lehrsatz fest, dass ein willkürlicher C*-algebra A isometrisch *-isomorphic zu C*-algebra begrenzter Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert ist. Dieses Ergebnis wurde von Israel Gelfand und Mark Naimark 1943 bewiesen und war ein bedeutender Punkt in der Entwicklung der Theorie C*-algebras, seitdem es die Möglichkeit gegründet hat, C*-algebra als eine abstrakte algebraische Entität ohne Berücksichtigung besonderer Verwirklichungen als eine Algebra von Maschinenbedienern in Betracht zu ziehen.

Die Gelfand-Naimark Darstellung π ist die direkte Summe von Darstellungen π\

wo F-Reihen über den Satz von reinen Staaten von A und π die nicht zu vereinfachende Darstellung ist, die zu f durch den GNS Aufbau vereinigt ist. So folgt die Gelfand-Naimark Darstellung

die direkte Summe von Hilbert der Räume von Hilbert H durch

:

Bemerken Sie, dass π (x) ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener ist, da es die direkte Summe einer Familie von Maschinenbedienern, jeder ist, Norm  || x habend.

Lehrsatz. Die Gelfand-Naimark Darstellung dessen ist C*-algebra ein isometrischer *-representation.

Es genügt, um zu zeigen, dass die Karte π injective ist, da für *-morphisms C*-algebras injective isometrisch einbezieht. Lassen Sie x ein Nichtnullelement von A sein. Durch den Erweiterungslehrsatz von Krein für positiven geradlinigen functionals gibt es einen Staat f auf Einem solchem dass f (z)  0 für den ganzen nichtnegativen z in A und f (−x* x) mit dem zyklischen Vektoren ξ. Seitdem

hieraus folgt dass π  0. Injectivity von π folgt.

Der Aufbau der Gelfand-Naimark Darstellung hängt nur vom GNS Aufbau ab, und deshalb ist es für irgendwelchen C*-algebra bedeutungsvoll eine ungefähre Identität zu haben. Im Allgemeinen wird es keine treue Darstellung sein. Der Verschluss des Images von π (A) wird C*-algebra Maschinenbediener genannt C*-enveloping Algebra von A sein. Gleichwertig können wir den definieren

C*-enveloping Algebra wie folgt: Definieren Sie eine echte geschätzte Funktion auf durch

weil sich f über reine Staaten von A erstreckt. Das ist eine Halbnorm, die wir als die C* Halbnorm von A kennzeichnen. Der Satz I von Elementen, wessen Halbnorm 0 Formen ein zwei seitiges Ideal in Einem geschlossenen unter der Involution ist. So der Quotient-Vektorraum / ich bin eine involutive Algebra und die Norm

Faktoren durch eine Norm auf / ich, der abgesehen von der Vollständigkeit, bin eine C* Norm auf / ich (diese werden manchmal pre-C*-norms genannt). Wenn ich die Vollziehung / nehme, erzeuge ich hinsichtlich dessen pre-C*-norm C*-algebra B.

Durch den Krein-Milman Lehrsatz kann man ohne zu viel Schwierigkeit dass für x ein Element B*-algebra zeigen eine ungefähre Identität zu haben:

Hieraus folgt dass eine gleichwertige Form für die C* Norm auf A das obengenannte Supremum über alle Staaten nehmen soll.

Der universale Aufbau wird auch verwendet, um universal C*-algebras Isometrien zu definieren.

Bemerkung. Gelfand Isomorphismus von Darstellung oder Gelfand für einen auswechselbaren C*-algebra mit der Einheit ist ein isometrischer *-isomorphism von zur Algebra von dauernden Komplex-geschätzten Funktionen auf dem Raum von multiplicative geradlinigem functionals mit der weak* Topologie.

• (auch verfügbar aus Google-Büchern)