In der Geometrie ist der goldene Winkel die kleineren von den zwei Winkeln, die durch sectioning der Kreisumfang eines Kreises gemäß der goldenen Abteilung geschaffen sind; d. h. in zwei solche Kreisbogen, dass das Verhältnis der Länge des größeren Kreisbogens zur Länge des kleineren Kreisbogens dasselbe als das Verhältnis des vollen Kreisumfangs zur Länge des größeren Kreisbogens ist.

Lassen Sie algebraisch a+b der Kreisumfang eines Kreises sein, der in einen längeren Kreisbogen der Länge a und einen kleineren Kreisbogen der Länge b geteilt ist, solch dass

Der goldene Winkel ist dann der Winkel, der durch den kleineren Kreisbogen der Länge b entgegengesetzt ist. Es misst etwa 137.508 ° oder ungefähr 2.39996 radians.

Der Name kommt von der Verbindung des goldenen Winkels bis das goldene Verhältnis φ; der genaue Wert des goldenen Winkels ist

:

oder

wo die Gleichwertigkeiten aus wohl bekannten algebraischen Eigenschaften des goldenen Verhältnisses folgen.

Abstammung

Das goldene Verhältnis ist &phi gleich; = a/b gegeben die Bedingungen oben.

Lassen Sie ƒ seien Sie der Bruchteil des Kreisumfangs, der durch den goldenen Winkel, oder gleichwertig, der goldene durch das winkelige Maß des Kreises geteilte Winkel entgegengesetzt ist.

Aber seitdem

hieraus folgt dass

Das ist zum Ausspruch davon &phi gleichwertig; goldene Winkel können einen Kreis einfügen.

Der Bruchteil eines durch den goldenen Winkel besetzten Kreises ist deshalb:

Dem goldenen Winkel g kann deshalb in Graden als numerisch näher gekommen werden:

oder in radians als:

Goldener Winkel in der Natur

Der goldene Winkel spielt eine bedeutende Rolle in der Theorie von phyllotaxis. Vielleicht am meisten namentlich ist der goldene Winkel der Winkel, der die Blümchen auf einer Sonnenblume trennt.

Siehe auch

• Die Spirale von Fermat