Die Icosian Rechnung ist eine algebraische Nichtersatzstruktur, die vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton 1856 entdeckt ist.

In modernen Begriffen hat er eine Gruppenpräsentation der icosahedral Folge-Gruppe durch Generatoren und Beziehungen gegeben.

Die Entdeckung von Hamilton ist auf seine Versuche zurückzuführen gewesen, eine Algebra von "Drillingen" oder 3 Tupeln zu finden, die er geglaubt hat, würde die drei Kartesianischen Äxte widerspiegeln. Die Symbole der Icosian Rechnung können zu Bewegungen zwischen Scheitelpunkten auf einem Dodekaeder ausgeglichen werden. Die Arbeit von Hamilton in diesem Gebiet hat indirekt in den Begriffen Stromkreis von Hamiltonian und Pfad von Hamiltonian in der Graph-Theorie resultiert. Er hat auch das Spiel von Icosian als ein Mittel der Veranschaulichung und des Verbreitens seiner Entdeckung erfunden.

Informelle Definition

Die Algebra basiert auf drei Symbolen, die jeder sind, welche Wurzeln der Einheit, in dieser wiederholten Anwendung von einigen von ihnen den Wert 1 nach einer besonderen Zahl von Schritten nachgibt. Sie sind:

:

\begin {richten }\aus

\iota^2 & = 1, \\

\kappa^3 & = 1, \\

\lambda^5 & = 1.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Hamilton gibt auch eine andere Beziehung zwischen den Symbolen:

:

(In modernen Begriffen ist das (2,3,5) Dreieck-Gruppe.)

Die Operation ist assoziativ, aber nicht auswechselbar. Sie erzeugen eine Gruppe des Auftrags 60, der zur Gruppe von Folgen eines regelmäßigen Ikosaeders oder Dodekaeders, und deshalb zur Wechselgruppe des Grads fünf isomorph ist.

Obwohl die Algebra als ein rein abstrakter Aufbau besteht, kann sie in Bezug auf Operationen an den Rändern und Scheitelpunkten eines Dodekaeders am leichtesten vergegenwärtigt werden. Hamilton selbst hat ein glatt gemachtes Dodekaeder als die Basis für sein Unterrichtsspiel verwendet.

Stellen Sie sich ein Kerbtier vor, das entlang einem besonderen Rand des etikettierten Dodekaeders von Hamilton in einer bestimmten Richtung kriecht, sagen Sie von dem. Wir können diesen geleiteten Rand dadurch vertreten.

• Das Icosian Symbol entspricht zur sich ändernden Richtung an jedem Rand, so Kerbtier-Kraul von zu (im Anschluss an den geleiteten Rand).
• Das Icosian Symbol entspricht zum Drehen des aktuellen Reisens des Kerbtiers gegen den Uhrzeigersinn um den Endpunkt. In unserem Beispiel würde das bedeuten, die anfängliche Richtung zu ändern, um zu werden.
• Das Icosian Symbol entspricht zum Bilden einer Biegung nach rechts am Endpunkt, sich von dazu bewegend.

Vermächtnis

Die Icosian Rechnung ist eines der frühsten Beispiele von vielen mathematischen Ideen, einschließlich:

• das Präsentieren und das Studieren einer Gruppe durch Generatoren und Beziehungen;
• eine Dreieck-Gruppe, die später zu Gruppen von Coxeter verallgemeinert ist;
• die Vergegenwärtigung einer Gruppe durch einen Graphen, der zu kombinatorischer Gruppentheorie und späterer geometrischer Gruppentheorie geführt hat;
• Stromkreise von Hamiltonian und Pfade von Hamiltonian in der Graph-Theorie;
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