In der Zahlentheorie ist ein erster Wieferich eine Primzahl p solch, dass sich p 2 &minus teilt; 1, deshalb diese Blüte mit dem kleinen Lehrsatz von Fermat verbindend, der feststellt, dass sich jeder sonderbare erste p 2 &minus teilt; 1. Blüte von Wieferich wurde zuerst von Arthur Wieferich 1909 in Arbeiten beschrieben, die dem letzten Lehrsatz von Fermat gehören, an der Zeit beide der Lehrsätze von Fermat bereits Mathematikern weithin bekannt waren.

Trotz mehrerer umfassender Suchen ist die einzige bekannte Blüte von Wieferich bis heute 1093 und 3511.

Erklärung des Eigentums von Wieferich

Die stärkere Version des kleinen Lehrsatzes von Fermat, den erster Wieferich befriedigt, wird gewöhnlich als eine Kongruenz-Beziehung, nämlich die Kongruenz ausgedrückt. Aus der Definition der Kongruenz-Beziehung auf ganzen Zahlen, hieraus folgt dass dieses Eigentum zur am Anfang gegebenen Definition gleichwertig ist. So, wenn ein erster p diese Kongruenz befriedigt, teilt diese Blüte den Quotienten von Fermat. Der folgende ist zwei veranschaulichende Beispiele mit der Blüte 11 und 1093:

Für 11 kommen wir, der 93 ist und einen Rest 5 verlässt, nachdem Abteilung durch 11, folglich 11 nicht erster Wieferich ist. Für 1093 kommen wir oder 530585362.... 3096656895 (haben 320 Zwischenziffern für die Klarheit weggelassen), der einen Rest 0 verlässt, nachdem ist Abteilung durch 1093 und so 1093 erster Wieferich.

Geschichte und Suchstatus

1902 hat W. F. Meyer einen Lehrsatz über Lösungen der Kongruenz &equiv bewiesen; 1 (mod p). Später in diesem Jahrzehnt hat Arthur Wieferich spezifisch dass gezeigt, wenn der Erste Fall des Letzten Lehrsatzes von Fermat Lösungen für eine sonderbare Haupthochzahl hat, dann muss diese Blüte diese Kongruenz für = 2 und r = 2 befriedigen. Mit anderen Worten, wenn dort Lösungen von x + y + z = 0 in ganzen Zahlen x, y, z und p eine sonderbare Blüte mit p &#x2224 bestehen; xyz, dann p befriedigt 2 ≡ 1 (mod p). 1913 hat Bachmann die Rückstände dessen untersucht. Er hat die Frage gestellt, wenn dieser Rückstand verschwindet und versucht, um Ausdrücke zu finden, um auf diese Frage zu antworten.

Wie man

fand, waren die ersten 1093 Wieferich, der durch W. Meissner 1913 durch das Entdecken der Kongruenz 2 &equiv erst ist; 1 (mod 1093) und hat bestätigt, um das einzige solche Blüte unter 2000 zu sein. Wie man fand, waren die ersten 3511 Wieferich, der durch N. G. W. H. Beeger 1922 erst ist. 1960 hat Kravitz einen vorherigen von Fröberg gebrochenen Rekord verdoppelt, und 1961 hat Riesel die Suche zu 500000 mithilfe von BESK erweitert. 1980 ist Lehmer im Stande gewesen, die Suchgrenze 6 zu erreichen. Diese Grenze wurde zu mehr als 2.5 2006 erweitert, schließlich 3 reichend. Es ist jetzt bekannt, dass, wenn eine andere Blüte von Wieferich besteht, sie größer sein müssen als 6.7. Die Suche nach neuer Blüte von Wieferich wird zurzeit durch das verteilte Rechenprojekt Wieferich@Home durchgeführt. Eine andere Suche wird durch das Projekt von PrimeGrid durchgeführt. PrimeGrid hat die Suchgrenze zu 11 erweitert und macht weiter.

Es ist vermutet worden, dass nur begrenzt viele Blüte von Wieferich besteht. Es ist auch vermutet worden (bezüglich der Blüte von Wilson), dass ungeheuer viele Blüte von Wieferich besteht, und dass die Zahl der Blüte von Wieferich unter x ungefähr Klotz-Klotz x ist, der ein heuristisches Ergebnis ist, das aus der plausiblen Annahme das für einen ersten p, folgt (p − 1) werden-Th-Grad-Wurzeln der Einheit modulo p in der multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen modulo p gleichförmig verteilt.

Eigenschaften

Verbindung mit dem letzten Lehrsatz von Fermat

Das folgende Lehrsatz-Anschließen Blüte von Wieferich und der letzte Lehrsatz von Fermat wurde von Wieferich 1909 bewiesen:

:Let p, erst sein, und x, y, z solche ganze Zahlen dass x + y + z = 0 sein zu lassen. Nehmen Sie außerdem an, dass p das Produkt xyz nicht teilt. Dann ist p erster Wieferich.

Der obengenannte Fall (wo p keinen von x, y oder z teilt) ist als der erste Fall des Letzten Lehrsatzes von Fermat (FLTI) allgemein bekannt, und wir sagen, dass FLTI für einen ersten p scheitert, wenn Lösungen der Gleichung von Fermat dafür p bestehen, sonst hält FLTI für p.

1910 hat Mirimanoff den Lehrsatz ausgebreitet, indem er gezeigt hat, dass, wenn die Vorbedingungen des Lehrsatzes für einen ersten p für wahr halten, dann muss sich p auch 3 &minus teilen; 1. Granville und Monagan haben weiter bewiesen, dass p wirklich M &minus teilen muss; 1 für jede HauptM  89. Suzuki hat den Beweis zur ganzen Blüte M  113 erweitert.

Verbindung mit der Vermutung von Alphabet

Eine non-Wieferich Blüte ist ein erster p Zufriedenheit von 2  1 (mod p). J. H. Silverman hat 1988 dass gezeigt, wenn die Vermutung von Alphabet hält, dann dort bestehen ungeheuer viele non-Wieferich Blüte. Numerische Beweise weisen darauf hin, dass sehr wenige der Primzahlen in einem gegebenen Zwischenraum Blüte von Wieferich sind. Ein Beweis der Vermutung von Alphabet würde nicht automatisch beweisen, dass es nur begrenzt viele Blüte von Wieferich gibt, seitdem der Satz der Blüte von Wieferich und der Satz der non-Wieferich Blüte vielleicht beide unendlich sein konnten und die Endlichkeit oder die Unendlichheit des Satzes der Blüte von Wieferich getrennt würde bewiesen werden müssen. Die Existenz von ungeheuer vieler non-Wieferich Blüte würde auch folgen, wenn dort ungeheuer viele quadratfreie Zahlen von Mersenne bestehen.

Verbindung mit der Blüte von Mersenne und Fermat

Es ist dass die n-te Zahl von Mersenne M = 2 &minus bekannt; 1 ist nur erst, wenn n erst ist. Der kleine Lehrsatz von Fermat deutet das an, wenn p> 2, dann M erst ist (= 2 − 1) ist immer durch p teilbar. Seit Mersenne Zahlen von Hauptindizes sind M und M co-prime,

:: Ein Hauptteiler p der M, wo q erst ist, ist erster Wieferich, wenn, und nur wenn p M teilt.

So kann erster Mersenne kein erster Wieferich auch sein. Ein bemerkenswertes offenes Problem ist zu bestimmen, ob alle Zahlen von Mersenne des Hauptindex quadratfrei sind. Wenn eine Zahl von Mersenne M ist nicht quadratfrei, d. h., dort ein erster p besteht, für den p M teilt, dann ist p erster Wieferich. Deshalb, wenn es nur begrenzt viele Blüte von Wieferich gibt, dann wird es höchstens begrenzt viele Zahlen von Mersenne geben, die nicht quadratfrei sind.

Ähnlich, wenn p erst ist und p einen Fermat Nummer F = 2 + 1 teilt, dann muss p erster Wieferich sein.

Verbindung mit anderen Gleichungen

Scott und Styer haben dass gezeigt, wenn p Wieferich erst größer ist als 10, dann hat die Gleichung von Diophantine Lösungen in p, x, y, u, v mit xu. Sie sind später im Stande gewesen, dieses Ergebnis zu anderen Gleichungen zu erweitern.

Binäre Periodizität von p1

Johnson hat bemerkt, dass die zwei bekannte Blüte von Wieferich ein größerer ist als Zahlen mit periodischen Binärentwicklungen (1092 = 010001000100; 3510 = 110110110110). Wieferich@Home sucht Projekt nach Blüte von Wieferich durch die Prüfung von Zahlen, die ein größerer sind als eine Zahl mit einer periodischen Binärentwicklung, aber bis zu einer "Bit-Pseudolänge" von 3500 der geprüften Binärzahlen, die durch die Kombination von Bit-Schnuren mit wenig Länge von bis zu 24 erzeugt sind, hat es keinen neuen Wieferich erst gefunden.

Gleichwertige Kongruenzen

Blüte von Wieferich kann durch andere Kongruenzen definiert werden, die zu gewöhnlich verwendeter derjenigen gleichwertig sind. Wenn p erster Wieferich ist, kann man beide Seiten der Kongruenz 2  1 (mod p) mit 2 multiplizieren, um 2  2 (mod p) zu bekommen. So befriedigt erster Wieferich 2  2 (mod p), da er 2  2 (mod p) für alle ganzen Zahlen k  1 befriedigen muss.

Verbindung mit der Pseudoblüte

Es wurde bemerkt, dass die zwei bekannte Blüte von Wieferich die Quadratfaktoren der ganzen freien Nichtquadratpseudoblüte bis zu 25 ist.

Generalisationen

Nahe - Wieferich Blüte

Ein erster p Zufriedenheit der Kongruenz 2  ±1 + AFP (mod p) mit kleinem |A wird eine Nähe - Wieferich erst allgemein genannt. Nahe - Wieferich Blüte mit = 0 vertreten Blüte von Wieferich. Neue Suchen, zusätzlich zu ihrer primären Suche nach Blüte von Wieferich, auch versucht, um nahe - Wieferich Blüte zu finden. Der folgende Tisch verzeichnet die ganze Nähe - Wieferich Blüte mit |A  10 im Zwischenraum [1, 3]. Diese gebundene Suche wurde 2006 in einer Suchanstrengung von P. Carlisle, R. Crandall und M. Rodenkirch erreicht.

Dorais und Klyve haben eine verschiedene Definition einer Nähe - Wieferich erst verwendet, es als ein erster p mit dem kleinen Wert dessen definierend, wo der Quotient von Fermat 2 in Bezug auf p modulo p ist (die modulo Operation hier gibt den Rückstand mit dem kleinsten absoluten Wert). Der folgende Tisch verzeichnet die ganze Blüte p  6.7 × 10 damit.

Blüte des Grund-A Wieferich

Eine Wieferich Hauptbasis eines ersten p zu sein, der befriedigt

: ein  1 (mod p).

Solch eine Blüte kann a nicht teilen, seitdem würde es sich auch 1 teilen.

Paare von Wieferich

Ein Wieferich Paar ist ein Paar der Blüte p und q, die befriedigen

: p  1 (mod q) und q  1 (mod p)

so dass Wieferich erster p  1 (mod 4) solch ein Paar (p, 2) bilden wird: Das einzige bekannte Beispiel ist in diesem Fall p = 1093. Es gibt 6 bekannte Paare von Wieferich.

Zahlen von Wieferich

Eine Wieferich Zahl ist eine sonderbare ganze Zahl w  3 Zufriedenheit der Kongruenz 2  1 (mod w), wo φ (·) zeigt die Funktion von Euler an. Wenn Wieferich Nummer w erst ist, dann ist es erster Wieferich. Die ersten paar Zahlen von Wieferich sind:

: 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, …

Es kann dass gezeigt werden, wenn es nur begrenzt viele Blüte von Wieferich gibt, dann gibt es nur begrenzt viele Zahlen von Wieferich. Insbesondere wenn die einzige Blüte von Wieferich 1093 und 3511 ist, dann dort bestehen genau 104 Zahlen von Wieferich, der die Zahl von zurzeit bekannten Zahlen von Wieferich vergleicht.

Eine andere Definition gibt eine Zahl von Wieferich als positive sonderbare ganze Zahl q solch an, dass q und nicht coprime sind, wo M die multiplicative Ordnung von 2 modulo q ist. Die ersten von diesen Zahlen sind:

: 21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, …

Als oben, wenn q erst ist, dann ist es erster Wieferich.

Siehe auch

• Sonne-Sonne des Wand-erst - ein hypothetischer Typ der Primzahl, die in der Studie des Letzten Lehrsatzes von Fermat (FLT) definiert ist
• Wolstenholme erst - ein anderer Typ der Primzahl, die sich im weitesten Sinn auch aus der Studie von FLT ergeben

hat

Weiterführende Literatur

Außenverbindungen

• Fermat-/Euler-quotients (− 1)/p mit willkürlichem k
• Ein Zeichen auf der zwei bekannten Blüte von Wieferich