Im mathematischen Feld der Gruppentheorie ist eine sporadische Gruppe eine der 26 außergewöhnlichen Gruppen in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen. Eine einfache Gruppe ist eine Gruppe G, der keine normalen Untergruppen abgesehen von der Untergruppe hat, die nur aus dem Identitätselement und G selbst besteht. Der Klassifikationslehrsatz stellt fest, dass die Liste von begrenzten einfachen Gruppen aus 18 zählbar unendlichen Familien plus 26 Ausnahmen besteht, die solch einem systematischen Muster nicht folgen. Das sind die sporadischen Gruppen. Sie sind auch bekannt als die sporadischen einfachen Gruppen oder die sporadischen begrenzten Gruppen. Manchmal (solcher als durch John Conway) wird die Meise-Gruppe als eine sporadische Gruppe betrachtet (weil es nicht ausschließlich eine Gruppe des Typs Lie ist), in welchem Fall es 27 sporadische Gruppen gibt.

Die Ungeheuer-Gruppe ist von den sporadischen Gruppen am größten und enthält alle außer sechs der anderen sporadischen Gruppen als Untergruppen oder Subquotienten.

Namen der sporadischen Gruppen

Fünf der sporadischen Gruppen wurden von Mathieu in den 1860er Jahren entdeckt, und die anderen 21 wurden zwischen 1965 und 1975 gefunden. Mehrere dieser Gruppen wurden vorausgesagt, um zu bestehen, bevor sie gebaut wurden. Die meisten Gruppen werden nach dem Mathematiker (N) genannt, der zuerst ihre Existenz vorausgesagt hat. Die volle Liste ist:

• Gruppen von Mathieu M, M, M, M, M
• Gruppen von Janko J, J oder HJ, J oder HJM, J
• Gruppen von Conway Co oder F, Co, Co
• Gruppen von Fischer Fi, Fi, Fi′ oder F
• Higman-Sims Gruppe HS
• Gruppe von McLaughlin McL
• Gehaltene Gruppe Er oder F oder F
• Gruppe von Rudvalis Ru
• Suzuki sporadische Gruppe Suz oder F
• Gruppe von O'Nan O'N
• Gruppe von Harada-Norton HN oder F oder F
• Lyoner Gruppe Ly
• Meise-Gruppe T
• Gruppe von Thompson Th oder F oder F
• Baby-Ungeheuer-Gruppe B oder F oder F
• Ungeheuer-Gruppe von Fischer-Griess M oder F

Matrixdarstellungen über begrenzte Felder für alle sporadischen Gruppen sind gebaut worden.

Der frühste Gebrauch des Begriffes "sporadische Gruppe" kann darin bestehen, wo er über die Gruppen von Mathieu kommentiert: "Diese anscheinend sporadischen einfachen Gruppen würden wahrscheinlich eine nähere Überprüfung zurückzahlen, als sie noch erhalten haben".

Diagramm basiert auf dem eingereichten Diagramm. Die sporadischen Gruppen haben auch viele Untergruppen, die nicht sporadisch sind, aber diese werden auf dem Diagramm nicht gezeigt, weil sie zu zahlreich sind.

Organisation

Der 26 sporadischen Gruppen, 20 kann innerhalb der Ungeheuer-Gruppe als Untergruppen oder Quotienten von Untergruppen (Abteilungen) gesehen werden. Die sechs Ausnahmen sind J, J, J, O'N, Ru und Ly. Diese sechs Gruppen sind manchmal als die Parias bekannt.

Die restlichen zwanzig Gruppen sind die Glückliche Familie von Robert Griess genannt worden, und können in drei Generationen organisiert werden.

Die erste Generation: die Gruppen von Mathieu

Die Gruppen von Mathieu, die M (für n = 11, 12, 22, 23 und 24) ist, multiplizieren transitive Versetzungsgruppen auf N-Punkten. Sie sind alle Untergruppen der M, die eine Versetzungsgruppe auf 24 Punkten ist.

Die zweite Generation: das Blutegel-Gitter

Die zweite Generation ist alle Subquotienten der automorphism Gruppe eines Gitters in 24 Dimensionen genannt das Blutegel-Gitter:

• Co ist der Quotient der automorphism Gruppe durch sein Zentrum {±1 }\
• Co ist der Ausgleicher eines Typs 2 (d. h., Länge 2) Vektor
• Co ist der Ausgleicher eines Typs 3 (d. h., Länge 6) Vektor
• Suz ist die Gruppe von automorphisms Bewahrung einer komplizierten Struktur (modulo sein Zentrum)
• McL ist der Ausgleicher eines Dreiecks des Typs 2-2-3
• HS ist der Ausgleicher eines Dreiecks des Typs 2-3-3
• J ist die Gruppe von automorphisms Bewahrung einer quaternionic Struktur (modulo sein Zentrum).

Die dritte Generation: andere Untergruppen des Ungeheuers

Die dritte Generation besteht aus Untergruppen, die nah mit der Ungeheuer-Gruppe M verbunden sind:

• B oder F hat einen doppelten Deckel, der der centralizer eines Elements des Auftrags 2 in der M ist
• Fi′ hat einen dreifachen Deckel, der der centralizer eines Elements des Auftrags 3 in der M (in der conjugacy Klasse "3A") ist

:* Fi ist eine Untergruppe

Fi′

:* Fi hat einen doppelten Deckel, der eine Untergruppe von Fi ist

• Das Produkt von Th = F und eine Gruppe des Auftrags 3 ist der centralizer eines Elements des Auftrags 3 in der M (in der conjugacy Klasse "3C")
• Das Produkt von HN = F und eine Gruppe des Auftrags 5 ist der centralizer eines Elements des Auftrags 5 in der M
• Das Produkt von ist Ihm = F und eine Gruppe des Auftrags 7 der centralizer eines Elements des Auftrags 7 in der M.
• Schließlich, wie man betrachtet, ist die Ungeheuer-Gruppe selbst in dieser Generation.

(Diese Reihe geht weiter weiter: Das Produkt der M und eine Gruppe des Auftrags 11 sind der centralizer eines Elements des Auftrags 11 in M.)

Die Meise-Gruppe gehört auch in dieser Generation: Es gibt eine Untergruppe S ×F (2) ′ das Normalisieren 2C Untergruppe von B, das Verursachen einer Untergruppe

2 · S ×F (2) ′ das Normalisieren einer bestimmten Q Untergruppe des Ungeheuers.

F (2) ′ ist auch eine Untergruppe der Gruppen von Fischer Fi, Fi und Fi′ und des Baby-Ungeheuers B.

F (2) ′ ist auch eine Untergruppe der Gruppe (des Parias) Rudvalis Ru, und hat

keine Beteiligungen an sporadischen einfachen Gruppen außer den Eindämmungen haben wir bereits erwähnt.

Tisch der sporadischen Gruppenordnungen

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</Tisch>

• Conway, J. H.: Eine vollkommene Gruppe des Auftrags 8,315,553,613,086,720,000 und die sporadischen einfachen Gruppen, Proc. Nat. Acad. Sci. Die Vereinigten Staaten 61 (1968), 398-400.
• Conway, J. H.: Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas von begrenzten Gruppen. Maximale Untergruppen und gewöhnliche Charaktere für einfache Gruppen. Mit der rechenbetonten Hilfe von J. G. Thackray. Eynsham: Presse der Universität Oxford, 1985, internationale Standardbuchnummer 0-19-853199-0
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon Die Klassifikation von Finite Simple Groups (Band 1), AMS, 1994 (Band 2), AMS.
• Griess, Robert L.: "Zwölf Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Links

• Atlas von Darstellungen von Finite Group: Sporadische Gruppen