In der Mathematik ist die Modulgruppe Γ ein grundsätzlicher Gegenstand der Studie in Zahlentheorie, Geometrie, Algebra und vielen anderen Gebieten der fortgeschrittenen Mathematik. Die Modulgruppe kann als eine Gruppe von geometrischen Transformationen oder als eine Gruppe von matrices vertreten werden.

Definition

Die Modulgruppe Γ ist die Gruppe von geradlinigen Bruchtransformationen der oberen Hälfte des komplizierten Flugzeugs, die die Form haben

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wo a, b, c, und d ganze Zahlen und Anzeige &minus sind; bc = 1. Die Gruppenoperation ist Funktionszusammensetzung.

Diese Gruppe von Transformationen ist zur projektiven speziellen geradlinigen Gruppe PSL isomorph (2, Z), der der Quotient der 2-dimensionalen speziellen geradlinigen Gruppe SL (2, Z) über die ganzen Zahlen durch sein Zentrum {ich, −I} ist. Mit anderen Worten besteht PSL (2, Z) aus dem ganzen matrices

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wo a, b, c, und d ganze Zahlen, Anzeige &minus sind; wie man betrachtet, sind bc = 1, und Paare von matrices A und −A identisch. Die Gruppenoperation ist die übliche Multiplikation von matrices.

Einige Autoren definieren die Modulgruppe, um PSL (2, Z) zu sein, und dennoch definieren andere die Modulgruppe, um die größere Gruppe SL (2, Z) zu sein. Jedoch verwenden sogar diejenigen, die die Modulgruppe definieren, um PSL zu sein (2, Z) die Notation von SL (2, Z) mit dem Verstehen, dass matrices nur bis zum Zeichen bestimmt werden.

Einige mathematische Beziehungen verlangen die Rücksicht der Gruppe SL (2, Z) von matrices mit der Determinante plus oder minus eine. (SL (2, Z) ist eine Untergruppe dieser Gruppe.) Ähnlich ist PSL (2, Z) die Quotient-Gruppe SL (2, Z) / {ich, −I}. 2x2 ist die Matrix mit der Einheitsdeterminante eine symplectic Matrix, und so SL (2, Z) =Sp (2, Z), die symplectic Gruppe 2x2 matrices.

Man kann auch die Notation GL (2, Z) für SL verwenden (2, Z), weil eine Matrix der ganzen Zahl invertible ist, wenn, und nur wenn es Determinante hat, die ±1 gleich ist. Wechselweise kann man die ausführliche Notation SL (2, Z) verwenden.

Mit der Zahl theoretische Eigenschaften

Die Einheitsdeterminante von

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deutet an, dass die Bruchteile a/b, a/c, c/d und b/d alle nicht zu vereinfachend sind, der ist, haben keine gemeinsamen Faktoren (vorausgesetzt dass die Nenner Nichtnull, natürlich sind). Mehr allgemein, wenn p/q ein nicht zu vereinfachender Bruchteil, dann ist

: (ein p+b q) / (c p+d q)

ist

auch nicht zu vereinfachend (wieder, hat den Nenner zur Verfügung gestellt, Nichtnull sein). Jedes Paar von nicht zu vereinfachenden Bruchteilen kann auf diese Weise verbunden werden, d. h.: Für jedes Paar p/q und r/s von nicht zu vereinfachenden Bruchteilen, dort bestehen Sie Elemente

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solch dass

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Elemente der Modulgruppe stellen eine Symmetrie auf dem zweidimensionalen Gitter zur Verfügung. Lassen Sie und seien Sie zwei komplexe Zahlen, deren Verhältnis nicht echt ist. Dann ist der Satz von Punkten ein Gitter von Parallelogrammen auf dem Flugzeug. Ein verschiedenes Paar von Vektoren und wird genau dasselbe Gitter wenn und nur wenn erzeugen

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\begin {pmatrix} a & b \\c & d \end {pmatrix }\

\begin {pmatrix} \omega_1 \\\omega_2 \end {pmatrix} </Mathematik>

für eine Matrix darin. Es ist aus diesem Grund, dass doppelt periodische Funktionen, wie elliptische Funktionen, eine Modulgruppensymmetrie besitzen.

Die Handlung der Modulgruppe auf den rationalen Zahlen kann am leichtesten verstanden werden, indem sie einen Quadratbratrost, mit dem Bratrost-Punkt (p, q) entsprechend dem Bruchteil p/q vorgestellt wird (sieh den Obstgarten von Euklid). Ein nicht zu vereinfachender Bruchteil ist derjenige, der vom Ursprung sichtbar ist; die Handlung der Modulgruppe auf einem Bruchteil nimmt nie einen sichtbaren, der zu einem verborgenen (reduzierbaren), und umgekehrt (nicht zu vereinfachend) ist.

Wenn und zwei aufeinander folgende convergents eines fortlaufenden Bruchteils, dann die Matrix sind

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gehört dem. Insbesondere wenn bc &minus; Anzeige = 1 für positive ganze Zahlen a, b, c und d mit einem  und  wird Nachbarn in der Folge von Farey der Ordnungsminute (b, d) sein. Wichtige spezielle Fälle des fortlaufenden Bruchteils convergents schließen die Fibonacci-Zahlen und Lösungen der Gleichung von Pell ein. In beiden Fällen können die Zahlen eingeordnet werden, um eine Halbgruppenteilmenge der Modulgruppe zu bilden.

Gruppentheoretische Eigenschaften

Präsentation

Wie man

zeigen kann, wird die Modulgruppe durch die zwei Transformationen erzeugt

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so dass jedes Element in der Modulgruppe (auf eine nichteinzigartige Weise) durch die Zusammensetzung von Mächten von S und T vertreten werden kann. Geometrisch vertritt S Inversion im Einheitskreis, der vom Nachdenken über die Linie Re (z) =0 gefolgt ist, während T eine Einheitsübersetzung nach rechts vertritt.

Die Generatoren S und T folgen den Beziehungen S = 1 und (ST) = 1. Es kann gezeigt werden, dass das ein ganzer Satz von Beziehungen ist, so hat die Modulgruppe die Präsentation:

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Diese Präsentation beschreibt die Modulgruppe als die Rotationsdreieck-Gruppe (2,3, ) (, weil es keine Beziehung auf T gibt), und es so auf alle Dreieck-Gruppen (2,3, n) durch das Hinzufügen der Beziehung T = 1 kartografisch darstellt, der zum Beispiel in der Kongruenz-Untergruppe Γ (n) vorkommt.

Mit den Generatoren S und ST statt S und T zeigt das, dass die Modulgruppe zum freien Produkt der zyklischen Gruppen C und C isomorph ist:

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Flechte-Gruppe

Die Flechte-Gruppe B ist die universale Haupterweiterung der Modulgruppe, mit diesen, als Gitter innerhalb der (topologischen) universalen Bedeckungsgruppe sitzend. Weiter hat die Modulgruppe triviales Zentrum, und so ist die Modulgruppe zur Quotient-Gruppe von B modulo sein Zentrum isomorph; gleichwertig, zur Gruppe von innerem automorphisms von B.

Die Flechte-Gruppe B ist der Reihe nach zur Knoten-Gruppe des Klee-Knotens isomorph.

Quotienten

Die Quotienten durch Kongruenz-Untergruppen sind von bedeutendem Interesse.

Andere wichtige Quotienten sind (2,3, n) Dreieck-Gruppen, die geometrisch zum Absteigen zu einem Zylinder entsprechen, quotienting der x koordinieren mod n, als T = (z  z+n). (2,3,5) ist die Gruppe der icosahedral Symmetrie, und (2,3,7) Dreieck-Gruppe (und vereinigt mit Ziegeln zu decken), ist der Deckel für alle Oberflächen von Hurwitz.

Beziehung zur Hyperbelgeometrie

Die Modulgruppe ist wichtig, weil sie eine Untergruppe der Gruppe von Isometrien des Hyperbelflugzeugs bildet. Wenn wir das obere Halbflugzeug-Modell H der Hyperbelflugzeug-Geometrie, dann die Gruppe des ganzen denken

Orientierung bewahrende Isometrien von H bestehen aus allen Transformationen von Möbius der Form

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wo a, b, c, und d reelle Zahlen und Anzeige &minus sind; bc = 1. Gestellt verschieden die Gruppe folgt PSL (2, R) dem oberen Halbflugzeug H gemäß der folgenden Formel:

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Diese (nach links) Handlung ist treu. Da PSL (2, Z) eine Untergruppe von PSL ist (2, R), ist die Modulgruppe eine Untergruppe der Gruppe von Orientierung bewahrenden Isometrien von H.

Tessellation des Hyperbelflugzeugs

Die Modulgruppe Γ folgt H als eine getrennte Untergruppe von PSL (2, R), d. h. für jeden z in H können wir eine Nachbarschaft von z finden, der kein anderes Element der Bahn von z enthält. Das bedeutet auch, dass wir grundsätzliche Gebiete bauen können, die (grob) genau einen Vertreter aus der Bahn jedes z in H. enthalten (Sorge ist an der Grenze des Gebiets erforderlich.)

Es gibt viele Weisen, ein grundsätzliches Gebiet zu bauen, aber eine allgemeine Wahl ist das Gebiet

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begrenzt durch die vertikalen Linien Re (z) = 1/2 und Re (z) = &minus;1/2, und der Kreis |z = 1. Dieses Gebiet ist ein Hyperbeldreieck. Es hat Scheitelpunkte an 1/2 + i3/2 und &minus;1/2 + i3/2, wo der Winkel zwischen seinen Seiten π/3 und ein dritter Scheitelpunkt an der Unendlichkeit ist, wo der Winkel zwischen seinen Seiten 0 ist.

Durch das Umwandeln dieses Gebiets der Reihe nach durch jedes der Elemente der Modulgruppe wird ein regelmäßiger tessellation des Hyperbelflugzeugs durch kongruente Hyperbeldreiecke geschaffen. Bemerken Sie, dass jedes solches Dreieck einen Scheitelpunkt entweder an der Unendlichkeit oder auf der echten Achse Im (z) =0 hat. Das mit Ziegeln zu decken, kann zur Platte von Poincaré erweitert werden, wo jedes Hyperbeldreieck einen Scheitelpunkt an der Grenze der Platte hat. Der Platte von Poincaré mit Ziegeln zu decken, wird auf eine natürliche Weise durch gegeben, der invariant unter der Modulgruppe ist, und jede komplexe Zahl einmal in jedem Dreieck dieser Gebiete erreicht.

Dieser tessellation kann ein bisschen raffiniert werden, jedes Gebiet in zwei Hälften (herkömmlich gefärbter Schwarzer und Weiß), durch das Hinzufügen einer Orientierung umkehrenden Karte teilend; die Farben entsprechen dann Orientierung des Gebiets. Das Beitragen in (x, y)  (-x, y) und die Einnahme der richtigen Hälfte Gebiets R (Re (z)  0) geben den üblichen tessellation nach. Dieser tessellation erscheint zuerst im Druck darin, wo es Richard Dedekind, in der Verweisung darauf kreditiert wird.

Die Karte von Gruppen (2,3, )  (2,3, n) (von der Modulgruppe zur Dreieck-Gruppe) kann in Bezug darauf vergegenwärtigt werden mit Ziegeln zu decken (nachgebend auf der Modulkurve mit Ziegeln zu decken), wie gezeichnet, im Video am Recht.

Kongruenz-Untergruppen

Wichtige Untergruppen der Modulgruppe Γ, genannt Kongruenz-Untergruppen, werden durch eindrucksvolle Kongruenz-Beziehungen auf dem verbundenen matrices gegeben.

Es gibt einen natürlichen Homomorphismus SL (2, Z)  SL (2, Z/nZ) gegeben durch das Reduzieren der Einträge modulo N. Das veranlasst einen Homomorphismus auf der Modulgruppe PSL (2, Z)  PSL (2, Z/nZ). Der Kern dieses Homomorphismus wird die Hauptkongruenz-Untergruppe des Niveaus N genannt, hat Γ (N) angezeigt. Wir haben die folgende kurze genaue Folge:

:.

Wenn er

der Kern eines Homomorphismus Γ ist, ist (N) eine normale Untergruppe der Modulgruppe Γ. Der Gruppe Γ (N) wird als der Satz aller Modultransformationen gegeben

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für den ein  d  ±1 (mod N) und b  c  0 (mod N).

Die Hauptkongruenz-Untergruppe des Niveaus 2, Γ (2), wird auch die Modulgruppe Λ genannt. Da PSL (2, Z/2Z) zu S isomorph ist, ist Λ eine Untergruppe des Index 6. Die Gruppe Λ besteht aus allen Modultransformationen, für die a und d seltsam sind und b und c gleich sind.

Eine andere wichtige Familie von Kongruenz-Untergruppen ist die Modulgruppe Γ (N) definiert als der Satz aller Modultransformationen, für den c  0 (mod N), oder gleichwertig als die Untergruppe deren matrices ober dreieckig auf die Verminderung modulo N werden. Bemerken Sie, dass Γ (N) eine Untergruppe von Γ (N) ist. Die mit diesen Gruppen vereinigten Modulkurven sind ein Aspekt des monströsen Mondscheins - für einen ersten p, die Modulkurve des normalizer ist Klasse-Null, wenn, und nur wenn p die Ordnung der Ungeheuer-Gruppe, oder gleichwertig teilt, wenn p eine supereinzigartige Blüte ist; sieh Details an der Kongruenz-Untergruppe.

Dyadischer monoid

Eine wichtige Teilmenge der Modulgruppe ist der dyadische monoid, der der monoid aller Schnuren der Form für positive ganze Zahlen k, M, n ist.... Dieser monoid kommt natürlich in der Studie von Fractal-Kurven vor, und beschreibt die Selbstähnlichkeit symmetries der Kantor-Funktion, der Fragezeichen-Funktion von Minkowski und der Kurve von Koch, jeder, ein spezieller Fall der Kurve von General de Rham seiend. Der monoid hat auch hoch-dimensionale geradlinige Darstellungen; zum Beispiel, wie man verstehen kann, beschreibt die N=3 Darstellung die Selbstsymmetrie der Pudding-Kurve.

Karten des Rings

Die Gruppe GL (2, Z) ist die geradlinigen Karten, die das Standardgitter Z ², und SL bewahren (2, Z) ist die Orientierung bewahrenden Karten, die dieses Gitter bewahren; sie steigen so zu self-homeomorphisms des Rings (SL hinunter, der zu Orientierung bewahrenden Karten kartografisch darstellt), und stellen tatsächlich isomorph zur (verlängerten) kartografisch darstellenden Klassengruppe des Rings kartografisch dar, bedeutend, dass jeder self-homeomorphism des Rings isotopic zu einer Karte dieser Form ist. Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix als ein Element von GL (2, Z) entsprechen der Dynamik der veranlassten Karte des Rings.

Gruppen von Hecke

Die Modulgruppe kann zu den Gruppen von Hecke verallgemeinert werden, die für Erich Hecke genannt sind, und hat wie folgt definiert.

Die Hecke Gruppe H ist die getrennte durch erzeugte Gruppe

: und wo

Die Modulgruppe ist genau und sie Anteilsbesitz und Anwendungen - zum Beispiel, gerade als man das freie Produkt hat

: mehr allgemein hat man

der der Dreieck-Gruppe (2, q, ) entspricht. Es gibt ähnlich einen Begriff von Hauptkongruenz-Untergruppen, die zu Hauptidealen in Für kleine Werte von q vereinigt sind, man hat:

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Geschichte

Die Modulgruppe und seine Untergruppen wurden zuerst im Detail von Richard Dedekind und von Felix Klein als ein Teil seines Programmes von Erlangen in den 1870er Jahren studiert. Jedoch wurden die nah zusammenhängenden elliptischen Funktionen von Joseph Louis Lagrange 1785 studiert, und weitere Ergebnisse auf elliptischen Funktionen wurden von Carl Gustav Jakob Jacobi und Niels Henrik Abel 1827 veröffentlicht.

Siehe auch

• Transformation von Möbius
• Gruppe von Fuchsian
• Gruppe von Bianchi
• Gruppe von Kleinian
• Hyperbolischer tilings
• Modulfunktion
• J-invariant
• Modulform
• Modulkurve
• klassische Modulkurve
• Halbflugzeug-Modell von Poincaré
• Das Fragezeichen von Minkowski fungiert
• Klassengruppe kartografisch darstellend
• Tom M. Apostol, Modulfunktionen und Dirichlet Reihe in Zahlentheorie, der Zweiten Ausgabe (1990), dem Springer, der New Yorker internationalen Standardbuchnummer 0-387-97127-0 Sehen Kapitel 2.
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