In der Mathematik ist eine Algebra von Hopf, genannt nach Heinz Hopf, eine Struktur, die gleichzeitig (unital assoziativ) Algebra und (counital coassociative) coalgebra mit der Vereinbarkeit dieser Strukturen ist, die es ein bialgebra macht, und das außerdem mit einem antiautomorphism Zufriedenheit eines bestimmten Eigentums ausgestattet wird. Die Darstellungstheorie einer Algebra von Hopf ist besonders nett, seit der Existenz von vereinbarem comultiplication counit, und berücksichtigt Antipode den Aufbau von Tensor-Produkten von Darstellungen, trivialen Darstellungen und Doppeldarstellungen.

Algebra von Hopf kommen natürlich in der algebraischen Topologie vor, wo sie entstanden sind und mit dem H-Raumkonzept, in der Gruppenschema-Theorie, in der Gruppentheorie (über das Konzept eines Gruppenrings), und in vielen anderen Plätzen verbunden sind, sie wahrscheinlich den vertrautesten Typ von bialgebra machend. Algebra von Hopf werden auch in ihrem eigenen Recht, mit viel Arbeit an spezifischen Klassen von Beispielen einerseits und Klassifikationsproblemen auf dem anderen studiert.

Formelle Definition

Formell ist eine Algebra von Hopf (assoziativ, und coassociative) bialgebra H über Feld K zusammen mit einer K-Linear-Karte (hat den Antipoden genannt) solch, dass das folgende Diagramm pendelt:

Hier ist Δ der comultiplication des bialgebra,  seine Multiplikation, η seine Einheit und ε sein counit. In der sumless Notation von Sweedler kann dieses Eigentum auch als ausgedrückt werden

:

Bezüglich Algebra kann man das zu Grunde liegende Feld K durch einen Ersatzring R in der obengenannten Definition ersetzen.

Die Definition der Algebra von Hopf ist (wie widerspiegelt, in der Symmetrie des obengenannten Diagramms) so Selbstdoppel-, wenn man einen Doppel-von H definieren kann (der immer möglich ist, wenn H endlich-dimensional ist), dann ist es automatisch eine Algebra von Hopf.

Eigenschaften des Antipoden

Der Antipode S ist manchmal erforderlich, ein K-linear Gegenteil zu haben, das im endlich-dimensionalen Fall automatisch ist, oder wenn H auswechselbar oder cocommutative (oder allgemein quasidreieckiger ist).

Im Allgemeinen ist S ein Antihomomorphismus, auch ist ein Homomorphismus, der deshalb ein automorphism ist, wenn S invertible war (wie erforderlich sein kann).

Wenn, dann, wie man sagt, ist die Algebra von Hopf involutive (und die zu Grunde liegende Algebra mit der Involution ist *-algebra). Wenn H halbeinfach über ein Feld der charakteristischen Null, auswechselbar, oder cocommutative endlich-dimensional ist, dann ist es involutive.

Wenn ein bialgebra B einen Antipoden S zulässt, dann ist S einzigartig ("ein bialgebra lässt höchstens 1 Algebra-Struktur von Hopf" zu).

Der Antipode ist ein Analogon zur Inversionskarte auf einer Gruppe, die daran sendet.

Subalgebra von Hopf

Eine Subalgebra K (um mit Feld K in der Notation oben nicht verwirrt zu sein), von einer Algebra von Hopf H ist eine Subalgebra von Hopf, wenn es ein subcoalgebra von H ist und der Antipode S K in K kartografisch darstellt. Mit anderen Worten ist eine Subalgebra von Hopf K eine Algebra von Hopf in seinem eigenen Recht, wenn die Multiplikation, comultiplication, counit und der Antipode von H auf K eingeschränkt werden (und zusätzlich die Identität 1 erforderlich ist, in K zu sein). Der Freikeitslehrsatz von Nichols-Zoeller hat (1989) festgestellt, dass jedes natürliches K-Modul H frei von der begrenzten Reihe ist, wenn H dimensional begrenzt ist: eine Generalisation des Lehrsatzes von Lagrange für Untergruppen. Als eine Folgeerscheinung dieser und integrierten Theorie ist eine Subalgebra von Hopf einer halbeinfachen begrenzten dimensionalen Algebra von Hopf automatisch halbeinfach.

Wie man

sagt, ist eine Hopf Subalgebra K normal in einer Algebra von Hopf H richtig, wenn sie die Bedingung der Stabilität, für den ganzen h in H, befriedigt

wo das Recht adjoint kartografisch darstellend durch für den ganzen k in K, h in H definiert wird. Ähnlich wird eine Subalgebra von Hopf K normal in H wenn verlassen

es ist unter dem linken adjoint stabil definiert dadurch kartografisch darzustellen. Die zwei Bedingungen der Normalität sind gleichwertig, wenn der Antipode S bijektiv ist, in welchem Fall, wie man sagt, K eine normale Subalgebra von Hopf ist.

Eine normale Subalgebra von Hopf K in H befriedigt die Bedingung (von der Gleichheit von Teilmengen von H): Wo den Kern des counit auf K anzeigt. Diese Normalitätsbedingung deutet an, dass das ein Ideal von Hopf von H (d. h. ein Algebra-Ideal im Kern des counit, ein coalgebra coideal und stabil unter dem Antipoden) ist. Demzufolge hat man einen Quotienten Algebra von Hopf und epimorphism, eine Theorie, die dieser von normalen Untergruppen und Quotient-Gruppen in der Gruppentheorie analog ist.

Darstellungstheorie

Lassen Sie A eine Algebra von Hopf sein, und zu lassen und A-Module zu sein.

Dann, ist auch ein A-Modul mit

:

für, und.

Außerdem können wir die triviale Darstellung als das Grundfeld K mit definieren

:

dafür.

Schließlich kann die Doppeldarstellung von A definiert werden:

wenn M ein A-Modul ist und sein Doppelraum, dann ist

:

wo und.

Die Beziehung zwischen, und S stellt sicher, dass der bestimmte natürliche Homomorphismus von Vektorräumen tatsächlich Homomorphismus von A-Modulen ist.

Zum Beispiel ist der natürliche Isomorphismus von Vektorräumen und auch Isomorphismus von A-Modulen.

Außerdem ist die Karte von Vektorräumen damit auch ein Homomorphismus von A-Modulen. Jedoch ist die Karte nicht notwendigerweise ein Homomorphismus von A-Modulen.

Beispiele

1. Gruppenalgebra. Nehmen Sie an, dass G eine Gruppe ist. Das Gruppenalgebra-KG ist eine unital assoziative Algebra über K. Es verwandelt sich in eine Algebra von Hopf, wenn wir definieren
2. * Δ: KG  KG  KG durch Δ (g) = g  g für den ganzen g in G
3. * ε: KG  K durch ε (g) = 1 für den ganzen g in G
4. * S: KG  KG durch S (g) = g für den ganzen g in G.
5. :The-Algebra-KG von Hopf ist auswechselbar, wenn, und nur wenn die Gruppe auswechselbar ist; es ist immer co-commutative (sieh unten).
6. Funktionen auf einer begrenzten Gruppe. Denken Sie, jetzt wo G eine begrenzte Gruppe ist. Dann ist der Satz K aller Funktionen von G bis K mit der pointwise Hinzufügung und Multiplikation eine unital assoziative Algebra über K, und K  K ist zu K natürlich isomorph (für das G Unendliche, K  ist K eine richtige Teilmenge von K). Der Satz K wird eine Algebra von Hopf, wenn wir definieren
7. * Δ: K  K durch Δ (f) (x, y) = f (xy) für den ganzen f in K und den ganzen x, y in G
8. * ε: K  K durch ε (f) = f (e) für jeden f in K [hier ist e das Identitätselement von G]
9. * S: K  K durch S (f) (x) = f (x) für den ganzen f in K und den ganzen x in G.
10. :The Algebra von Hopf K ist immer auswechselbar; es ist co-commutative, wenn, und nur wenn die Gruppe auswechselbar ist.
11. :Note, der auf einer begrenzten Gruppe fungiert, kann mit dem Gruppenring identifiziert werden, obwohl von diesen als Doppel-natürlicher gedacht wird - besteht der Gruppenring aus begrenzten Summen von Elementen, und so Paaren mit Funktionen auf der Gruppe durch das Auswerten der Funktion auf den summierten Elementen.
12. Regelmäßige Funktionen auf einer algebraischen Gruppe. Das vorherige Beispiel verallgemeinernd, können wir dieselben Formeln verwenden, um zu zeigen, dass für eine gegebene algebraische Gruppe G über K der Satz aller regelmäßigen Funktionen auf G eine Algebra von Hopf bildet.
13. Tensor-Algebra. Denken Sie V ist ein Vektorraum über Feld K, und T (V) ist seine Tensor-Algebra, dann T (V) wird eine Algebra von Hopf mit
14. * Δ: T (V)  T (V)  T (V) durch Δ (x) = x  1 + 1  x für jeden x in T (V) und erweitern es dann geradlinig zur höheren Tensor-Macht,
15. * ε: T (V)  K durch ε (x) = 0 für den ganzen x in T (V) mit n> 0 (und ε ist die Identität auf K),
16. * S: T (V)  T (V) durch S (x) =-x für den ganzen x in T (V) (und erweitern es zur höheren Tensor-Macht).
17. : Bemerken Sie, dass die symmetrische Algebra und Außenalgebra (die Quotienten der Tensor-Algebra sind) auch Algebra von Hopf mit dieser Definition des comultiplication, counit und Antipoden sind.
18. Universale Einschlagen-Algebra. Nehmen Sie an, dass g eine Lüge-Algebra über Feld K ist und U seine universale Einschlagen-Algebra ist. U wird eine Algebra von Hopf, wenn wir definieren
19. * Δ: U  U  U durch Δ (x) = x  1 + 1  x für jeden x in g (ist diese Regel mit Umschaltern vereinbar und kann deshalb zu allen U einzigartig erweitert werden).
20. * ε: U  K durch ε (x) = 0 für den ganzen x in g (wieder, erweitert zu U)
21. * S: U  U durch S (x) =-x für den ganzen x in g.
22. Die 4-dimensionale Algebra von Hopf von Sweedler. Nehmen Sie an, dass K ein Feld mit der Eigenschaft ist, die von 2 verschieden ist. Lassen Sie H die K-Algebra sein, die durch c und x Zufriedenheit der Beziehungen erzeugt ist: c = 1, x = 0 und xc = - cx. Dann wird H eine Algebra von Hopf, wenn wir definieren
23. * Δ: H  H  H durch Δ (c) = c  c und Δ (x) = c  x + x  1 (natürlich Δ (1) = 1  1)
24. *ε: H  K durch ε (c) = 1 und ε (x) = 0
25. * S: H  H durch S (c) = c = c und S (x) =-cx.
26. :The-Unterliegen-Vektorraum wird durch {1, c, x, cx} erzeugt, und haben Sie so Dimension 4. Das ist das kleinste Beispiel einer Algebra von Hopf, die sowohl nichtauswechselbar ist als auch non-cocommutative.

Cohomology von Lüge-Gruppen

Die cohomology Algebra einer Lüge-Gruppe ist eine Algebra von Hopf: Die Multiplikation wird durch das Tasse-Produkt und den comultiplication zur Verfügung gestellt

:

durch die Gruppenmultiplikation.

Diese Beobachtung war wirklich eine Quelle des Begriffs der Algebra von Hopf. Mit dieser Struktur hat Hopf einen Struktur-Lehrsatz für die cohomology Algebra von Lüge-Gruppen bewiesen.

Lehrsatz (Hopf) hat A ein endlich-dimensionaler, sortiert auswechselbar, abgestufter sein

lassen

cocommutative Algebra von Hopf über ein Feld der Eigenschaft 0. Dann (als eine Algebra) ist eine freie Außenalgebra mit Generatoren des sonderbaren Grads.

Quant-Gruppen und Nichtersatzgeometrie

Alle Beispiele sind irgendein oben auswechselbar (d. h. die Multiplikation ist auswechselbar) oder co-commutative (d. h. Δ = T Δ wo T: H  H  H  wird H durch T (x  y) = y  x) definiert. Andere interessante Algebra von Hopf sind bestimmte "Deformierungen" oder "quantizations" von denjenigen vom Beispiel 3, die weder auswechselbar sind noch co-commutative. Diese Hopf Algebra werden häufig Quant-Gruppen, ein Begriff genannt, der bis jetzt nur lose definiert wird. Sie sind in der Nichtersatzgeometrie, die Idee wichtig, die der folgende ist: Eine algebraische Standardgruppe wird durch seine Standardalgebra von Hopf von regelmäßigen Funktionen gut beschrieben; wir können dann an die verformte Version dieser Algebra von Hopf als das Beschreiben eines bestimmten "umgangssprachlichen" denken oder haben algebraische Gruppe "gequantelt" (der nicht eine algebraische Gruppe überhaupt ist). Während es nicht scheint, eine direkte Weise zu geben, diese Sondergegenstände zu definieren oder zu manipulieren, kann man noch mit ihren Algebra von Hopf arbeiten, und tatsächlich identifiziert man sie mit ihren Algebra von Hopf. Folglich der Name "Quant-Gruppe".

Zusammenhängende Konzepte

Sortierte Hopf Algebra werden häufig in der algebraischen Topologie verwendet: Sie sind die natürliche algebraische Struktur auf der direkten Summe der ganzen Homologie oder den cohomology Gruppen eines H-Raums.

Lokal kompakte Quant-Gruppen verallgemeinern Algebra von Hopf und tragen eine Topologie. Die Algebra aller dauernden Funktionen auf einer Lüge-Gruppe ist eine lokal kompakte Quant-Gruppe.

Quasi-Hopf Algebra sind Generalisationen von Algebra von Hopf, wo coassociativity nur bis zu einer Drehung hält.

Schwache Hopf Algebra oder Quant groupoids, sind Generalisationen von Algebra von Hopf. Wie Hopf Algebra bilden schwache Algebra von Hopf eine Selbstdoppelklasse von Algebra; d. h. wenn H eine (schwache) Algebra von Hopf ist, auch ist H *, der Doppelraum von geradlinigen Formen auf H (in Bezug auf die Struktur der Algebra-coalgebra, die bei der natürlichen Paarung mit H und seiner Coalgebra-Algebra-Struktur erhalten ist). Eine schwache Algebra von Hopf H wird gewöhnlich genommen, um ein zu sein

• begrenzte dimensionale Algebra und coalgebra mit coproduct Δ: H  H  H und counit ε: H  k, alle Axiome der Algebra von Hopf außer vielleicht oder für einen a, b in H befriedigend. Stattdessen verlangt man den folgenden:

::

::

für den ganzen a, b, und c in H.

• H hat einen geschwächten Antipoden S: H  H Zufriedenheit der Axiome:

(a) für alle in H (ist die Rechte der interessante Vorsprung, der gewöhnlich durch oder mit dem Image eine trennbare Subalgebra angezeigt ist, die durch H oder H angezeigt ist);

(b) für alle in H (ein anderer interessanter Vorsprung, der gewöhnlich durch oder mit dem Image eine trennbare Algebra H oder H angezeigt ist, der zu H über S antiisomorph ist);

(c) für alle in H.

Bemerken Sie das, wenn Δ (1) = 1  1, diese Bedingungen zu den zwei üblichen Bedingungen auf dem Antipoden einer Algebra von Hopf abnehmen.

Die Axiome werden teilweise gewählt, so dass die Kategorie von H-Modulen eine starre monoidal Kategorie ist. Das EinheitsH-Modul ist die trennbare Algebra H erwähnt oben.

Zum Beispiel ist eine begrenzte groupoid Algebra eine schwache Algebra von Hopf. Insbesondere die groupoid Algebra auf [n] mit einem Paar von invertible Pfeilen und zwischen sind mir und j in [n] zur Algebra H n x n matrices isomorph. Die schwache Algebra-Struktur von Hopf auf diesem besonderen H wird durch coproduct, counit und Antipoden gegeben. Die trennbaren Subalgebra H und H fallen zusammen und sind Nichthauptersatzalgebra in diesem besonderen Fall (die Subalgebra von Diagonalmatrizen).

Früh sollen theoretische Beiträge zu schwachen Algebra von Hopf in sowie gefunden werden

Hopf algebroids durch J.-H eingeführt. Lu 1996 infolgedessen auf der Arbeit an groupoids in der Geometrie von Poisson (später gezeigt gleichwertig auf die nichttriviale Weise zu einem Aufbau von Takeuchi von den 1970er Jahren und einem anderen durch Xu ungefähr dem Jahr 2000): Hopf algebroids verallgemeinern schwache Algebra von Hopf, und sicher verdrehen Algebra von Hopf. Von ihnen kann als Algebra von Hopf über einen Nichtersatzgrundring lose gedacht werden, wo schwache Algebra von Hopf Algebra von Hopf über eine trennbare Algebra werden. Es ist ein Lehrsatz, dass Hopf algebroid, der eine begrenzte projectivity Bedingung über eine trennbare Algebra befriedigt, eine schwache Algebra von Hopf ist, und umgekehrt eine schwache Algebra von Hopf H Hopf algebroid über seine trennbare Subalgebra H ist. Die Antipode-Axiome sind von G. Böhm und K. Szlachanyi geändert worden (J. Algebra) 2004 für den Tensor haben kategorische Gründe und Beispiele anzupassen, zur Tiefe zwei Algebra-Erweiterungen von Frobenius vereinigt.

Linker Hopf algebroid (H, R) ist ein linker bialgebroid zusammen mit einem Antipoden: Der bialgebroid (H, R) besteht aus einer Gesamtalgebra H und einer Grundalgebra R und zwei mappings, ein Algebra-Homomorphismus s: R  hat H eine Quellkarte, ein Algebra-Antihomomorphismus t genannt: R  hat H eine Zielkarte, solch genannt, dass die commutativity Bedingung für alle zufrieden ist. Die Axiome ähneln denjenigen einer Algebra von Hopf, aber werden durch die Möglichkeit kompliziert, dass R eine Nichtersatzalgebra oder seine Images unter s ist und t nicht im Zentrum von H sind. Insbesondere hat ein linker bialgebroid (H, R) eine R-R-bimodule Struktur auf H, der die linke Seite wie folgt bevorzugt: für den ganzen h in H. Es gibt einen coproduct Δ: H  H  H und counit ε: H  R, die (H, R, Δ, ε) ein R-Entkernen machen (mit Axiomen wie das eines solchen coalgebra, dass alle mappings R-R-bimodule Homomorphismus und der ganze Tensor über R sind). Zusätzlich muss der bialgebroid (H, R) Δ (ab) = Δ (a) Δ (b) für den ganzen a, b in H und einer Bedingung befriedigen sicherzustellen, dass diese letzte Bedingung Sinn hat: Jeder Bildpunkt Δ (a) befriedigt für den ganzen r in R. Auch Δ (1) = 1  1. Der counit ist erforderlich zu befriedigen und die Bedingung.

Der Antipode S: H  wird H gewöhnlich genommen, um eine Algebra anti-automorphism befriedigende Bedingungen zu sein, die Quelle und Zielkarten auszutauschen und zwei Axiome wie Algebra-Antipode-Axiome von Hopf zu befriedigen; sieh die Verweisungen in Lu oder in Böhm-Szlachanyi für mehr Beispiel-Kategorie freundlich, obwohl etwas mehr kompliziert, Satz von Axiomen für den Antipoden S. Der letzte Satz von Axiomen hängt von den Axiomen eines Rechts bialgebroid ebenso ab, die eine aufrichtige Schaltung von linken zum Recht, s mit t der Axiome für einen linken bialgebroid sind, der oben gegeben ist.

Als ein Beispiel von linkem bialgebroid, nehmen Sie R, um jede Algebra über ein Feld k zu sein. Lassen Sie H seine Algebra von geradlinigem self-mappings sein. Lassen Sie s (r) multication durch r auf R verlassen werden; lassen Sie t (r) richtige Multiplikation durch r auf R sein. H ist ein linker bialgebroid über R, der wie folgt gesehen werden kann. Von der Tatsache, dass man einen coproduct durch Δ (f) (r  u) = f (ru) für jede geradlinige Transformation f von R bis sich und den ganzen r, u in R. Coassociativity des coproduct definieren kann, folgt aus associativity des Produktes auf R. Ein counit wird durch ε (f) = f (1) gegeben. Die counit Axiome eines Entkernens folgen aus der Identitätselement-Bedingung auf der Multiplikation in R. Der Leser wird amüsiert, oder mindestens erbaut, um zu überprüfen, dass (H, R) ein linker bialgebroid ist. Im Falle dass R eine Algebra von Azumaya ist, in welchem Fall H zu R  R isomorph ist, kommt ein Antipode daraus, Tensor umzustellen, der H Hopf algebroid über R. macht

Vermehrer Hopf Algebra, die von Alfons Van Daele 1994 eingeführt sind, ist Generalisationen von Algebra von Hopf wo comultiplication von einer Algebra (mit oder withthout Einheit) zur Vermehrer-Algebra der Tensor-Produktalgebra der Algebra mit sich.

Gruppe von Hopf - (co) Algebra, die von V.G.Turaev 2000 eingeführt sind, ist auch Generalisationen von Algebra von Hopf.

Analogie mit Gruppen

Gruppen können axiomatized durch dieselben Diagramme (gleichwertig, Operationen) als eine Algebra von Hopf sein, wo G genommen wird, um ein Satz statt eines Moduls zu sein. In diesem Fall:

• Feld K wird durch den Satz des 1 Punkts ersetzt
• es gibt einen natürlichen counit (Karte zu 1 Punkt)
• es gibt einen natürlichen comultiplication (die diagonale Karte)
• die Einheit ist das Identitätselement der Gruppe
• die Multiplikation ist die Multiplikation in der Gruppe
• der Antipode ist das Gegenteil

In dieser Philosophie kann von einer Gruppe als eine Algebra von Hopf über das "Feld mit einem Element" gedacht werden.

Siehe auch

• Hopf Quasidreiecksalgebra
• Analogie der Algebra/Satzes
• Darstellungstheorie von Algebra von Hopf
• Zierband Hopf Algebra
• Superalgebra
• Supergruppe
• Anyonic Liegen Algebra
• Die Hopf Algebra von Sweedler

Zeichen

• .
• Pierre Cartier, Eine Zündvorrichtung von Algebra von Hopf, IHES Vorabdruck, September 2006, 81 Seiten
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0 521 48412 X
• H. Hopf, Uber sterben Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. der Mathematik. 42 (1941), 22-52. Nachgedruckt in Selecta Heinz Hopf, Seiten 119-151, Springer, Berlin (1964).

.