In der Mathematik ist ein begrenzt erzeugtes Modul ein Modul, das einen begrenzten Erzeugen-Satz hat. Ein begrenzt erzeugtes R-Modul kann auch ein begrenztes R-Modul oder begrenzt über R genannt werden.

Zusammenhängende Konzepte schließen begrenzt cogenerated Module, begrenzt präsentierte Module, begrenzt zusammenhängende Module und zusammenhängende Module ein, von denen alle unten definiert werden. Über einen Ring von Noetherian die Konzepte begrenzt erzeugter, begrenzt zusammenhängender, begrenzt präsentierter und zusammenhängender Module fallen alle zusammen.

Ein begrenzt erzeugtes Modul über ein Feld ist einfach ein endlich-dimensionaler Vektorraum, und ein begrenzt erzeugtes Modul über die ganzen Zahlen ist einfach eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe.

Formelle Definition

Die linke R-Modul-M wird begrenzt erzeugt, wenn, und nur wenn dort a, a..., in der solcher M bestehen, dass für den ganzen x in der M, dort r, r..., r in R mit x = ra + ra +... + ra bestehen Sie.

Der Satz {a, a...,} wird einen Erzeugen-Satz für die M in diesem Fall genannt.

Im Fall, wo das Modul M ein Vektorraum über Feld R ist, und ist der Erzeugen-Satz linear unabhängig, n ist bestimmt und wird die Dimension der M genannt (bestimmt bedeutet, dass jeder linear unabhängige Erzeugen-Satz n Elemente hat: Das ist der Dimensionslehrsatz für Vektorräume).

Beispiele

• Lassen Sie R ein integriertes Gebiet mit K sein Feld von Bruchteilen sein. Dann ist jedes R-Untermodul von K ein Bruchideal. Wenn R Noetherian ist, entsteht jedes Bruchideal auf diese Weise.
• Begrenzt erzeugte Module über den Ring von ganzen Zahlen Z fallen mit den begrenzt erzeugten abelian Gruppen zusammen. Diese werden durch den Struktur-Lehrsatz völlig klassifiziert, Z als das ideale Hauptgebiet nehmend.
• Begrenzt erzeugte Module über Abteilungsringe sind genau begrenzte dimensionale Vektorräume.

Einige Tatsachen

Jedes homomorphic Image eines begrenzt erzeugten Moduls wird begrenzt erzeugt. Im Allgemeinen brauchen Untermodule begrenzt erzeugter Module nicht begrenzt erzeugt zu werden. Als ein Beispiel, denken Sie den Ring R = Z [X, X...] aller Polynome in zählbar vielen Variablen. R selbst ist ein begrenzt erzeugtes R-Modul (mit {1} als das Erzeugen des Satzes). Denken Sie das Untermodul K, aus allen jenen Polynomen ohne unveränderlichen Begriff bestehend. Da jedes Polynom nur begrenzt viele Variablen enthält, wird das R-Modul K nicht begrenzt erzeugt.

Im Allgemeinen, wie man sagt, ist ein Modul Noetherian, wenn jedes Untermodul begrenzt erzeugt wird. Ein begrenzt erzeugtes Modul über einen Ring von Noetherian ist ein Modul von Noetherian (und tatsächlich charakterisiert dieses Eigentum Ringe von Noetherian). Das ähnelt, aber ist nicht genau der Basislehrsatz von Hilbert, der feststellt, dass der polynomische Ring R [X] über Noetherian klingelt, ist R Noetherian. Beide Tatsachen deuten an, dass eine begrenzt erzeugte Algebra über einen Ring von Noetherian wieder ein Ring von Noetherian ist.

Mehr allgemein ist eine Algebra (z.B, Ring), der ein begrenzt erzeugtes Modul ist, eine begrenzt erzeugte Algebra. Umgekehrt, wenn eine begrenzt erzeugte Algebra integriert ist (über den mitwirkenden Ring), dann ist es begrenzt erzeugtes Modul. (Sieh integriertes Element für mehr.)

Lassen

Lassen Sie B ein Ring und sein solcher Subring sein, dass B ein treu flaches richtiges A-Modul ist. Dann wird ein linkes A-Modul F begrenzt erzeugt (resp. begrenzt präsentiert), wenn, und nur wenn das B-Modul (resp. begrenzt präsentiert) begrenzt erzeugt wird.

Begrenzt erzeugte Module über einen Ersatzring

Für begrenzt erzeugte Module über einen Ersatzring R ist das Lemma von Nakayama grundsätzlich. Manchmal erlaubt das Lemma, begrenzte dimensionale Vektorraum-Phänomene für begrenzt erzeugte Module zu beweisen. Zum Beispiel, wenn ein surjective R-Endomorphismus eines begrenzt erzeugten Moduls M ist, dann ist f auch injective, und ist folglich ein automorphism von M. This sagt einfach, dass M ein Modul von Hopfian ist. Ähnlich ist ein Modul von Artinian M coHopfian: Jeder injective Endomorphismus f ist auch ein surjective Endomorphismus.

Jedes R-Modul ist eine induktive Grenze begrenzt erzeugter R-Untermodule. Das ist nützlich, für eine Annahme zum begrenzten Fall zu schwächen (z.B, die Charakterisierung der Flachheit mit dem Felsturm functor.)

Ein Beispiel einer Verbindung zwischen der begrenzten Generation und den integrierten Elementen kann in Ersatzalgebra gefunden werden. Zu sagen, dass eine Ersatzalgebra A ein begrenzt erzeugter Ring über R ist, bedeutet, dass dort eine Reihe von Elementen G = {x. besteht.. x\Eines solchen, dass der kleinste Subring von A, der G und R enthält, selbst ist. Weil das Ringprodukt verwendet werden kann, um Elemente zu verbinden, mehr als gerade R Kombinationen von Elementen von G werden erzeugt. Zum Beispiel wird ein polynomischer Ring R [x] durch {1, x} als ein Ring, aber nicht als ein Modul begrenzt erzeugt. Wenn A eine Ersatzalgebra (mit der Einheit) über R ist, dann sind die folgenden zwei Behauptungen gleichwertig:

• A ist ein begrenzt erzeugtes R Modul.
• A ist sowohl ein begrenzt erzeugter Ring über R als auch eine integrierte Erweiterung von R.

Gleichwertige Definitionen und begrenzt cogenerated Module

Die folgenden Bedingungen sind zur M gleichwertig (f.g) begrenzt erzeugt zu werden.:

• Für jede Familie von Untermodulen in der M, wenn, dann für eine begrenzte Teilmenge F meiner.
• Für jede Kette von Untermodulen in der M, wenn, dann für einige ich in mir.
• Wenn ein epimorphism ist, dann ist die Beschränkung ein epimorphism für eine begrenzte Teilmenge F von mir.

Von diesen Bedingungen ist es leicht zu sehen, dass begrenzt erzeugt zu werden, ein durch die Gleichwertigkeit von Morita bewahrtes Eigentum ist. Die Bedingungen sind auch günstig, um einen Doppelbegriff begrenzt cogenerated Modul M zu definieren. Die folgenden Bedingungen sind zu einem Modul gleichwertig, das begrenzt cogenerated (f.cog) ist.:

Für jede Familie von Untermodulen in der M, wenn, dann für eine begrenzte Teilmenge F meiner.Für jede Kette von Untermodulen in der M, wenn, dann für einige ich in mir.

• Wenn ein monomorphism ist, dann ein monomorphism für eine begrenzte Teilmenge F von mir ist.

Sowohl F.g.-Module als auch f.cog. Module haben interessante Beziehungen zu Modulen von Noetherian und Artinian und den Jacobson radikaler J (M) und Sockel soc (M) von einem Modul. Die folgenden Tatsachen illustrieren die Dualität zwischen den zwei Bedingungen.

Für ein Modul M:

• M ist Noetherian, wenn, und nur wenn jedes Untermodul von N der M f.g ist.
• M ist Artinian, wenn, und nur wenn jedes Quotient-Modul M/N f.cog ist.
• M ist f.g., wenn, und nur wenn J (M) ein überflüssiges Untermodul der M ist, und M/J (M) f.g ist.
• M ist f.cog., wenn, und nur wenn soc (M) ein wesentliches Untermodul der M ist, und soc (M) f.g ist.
• Wenn M ein halbeinfaches Modul ist (wie soc (N) für jedes Modul N), ist es f.g. wenn und nur wenn f.cog.
• Wenn M f.g. und Nichtnull ist, dann hat M ein maximales Untermodul und jedes Quotient-Modul M/N ist f.g.
• Wenn M f.cog. und Nichtnull ist, dann hat M ein minimales Untermodul, und jedes Untermodul N der M ist f.cog.
• Wenn N und M/N f.g. dann sind, so ist M. Dasselbe ist wenn "f.g" wahr. wird durch "f.cog" ersetzt.

Begrenzt müssen Cogenerated-Module begrenzte gleichförmige Dimension haben. Das wird durch die Verwendung der Charakterisierung mit dem begrenzt erzeugten wesentlichen Sockel leicht gesehen. Etwas asymmetrisch haben begrenzt erzeugte Module begrenzte gleichförmige Dimension nicht notwendigerweise. Zum Beispiel ist ein unendliches direktes Produkt von Nichtnullringen begrenzt erzeugt (zyklisch!) Modul über sich jedoch enthält es klar eine unendliche direkte Summe von Nichtnulluntermodulen. Begrenzt erzeugte Module haben begrenzte Co-Uniform-Dimension auch nicht notwendigerweise: Jeder Ring R mit der solcher Einheit, dass R/J(R) nicht ein halbeinfacher Ring ist, ist ein Gegenbeispiel.

Eine andere Formulierung ist das: Eine begrenzt erzeugte Modul-M ist ein, für den es einen epimorphism gibt

:f: R  M.

Denken Sie jetzt es gibt einen epimorphism,

:φ: F  M.

für ein Modul M und freies Modul F.

• Wenn der Kern von φ begrenzt erzeugt wird, dann wird M ein begrenzt zusammenhängendes Modul genannt. Da M zu F/ker (φ) isomorph ist, drückt das grundsätzlich aus, dass M durch die Einnahme eines freien Moduls und das Einführen begrenzt vieler Beziehungen innerhalb von F erhalten wird (die Generatoren von ker (φ)).
• Wenn der Kern von φ begrenzt erzeugt wird und F begrenzte Reihe hat (d. h. F=R), dann, wie man sagt, ist M ein begrenzt präsentiertes Modul. Hier wird M mit begrenzt viele Generatoren (die Images der k Generatoren von F=R) und begrenzt viele Beziehungen angegeben (die Generatoren von ker (φ)).
• Eine zusammenhängende Modul-M ist ein begrenzt erzeugtes Modul, dessen begrenzt erzeugte Untermodule begrenzt präsentiert werden.

Über jeden Ring R werden zusammenhängende Module begrenzt präsentiert, und begrenzt präsentierte Module werden sowohl begrenzt erzeugt und begrenzt verbunden. Weil Noetherian R anruft, sind alle vier Bedingungen wirklich gleichwertig.

Eine Überkreuzung kommt für projektive oder flache Module vor. Ein begrenzt erzeugtes projektives Modul wird begrenzt präsentiert, und ein begrenzt zusammenhängendes flaches Modul ist projektiv.

Es ist auch wahr, dass die folgenden Bedingungen für einen Ring R gleichwertig sind:

1. R ist ein richtiger zusammenhängender Ring.
2. Das Modul R ist ein zusammenhängendes Modul.
3. Jedes begrenzt präsentierte Recht R Modul ist zusammenhängend.

Obwohl Kohärenz einer beschwerlicheren Bedingung ähnlich ist als begrenzt erzeugt oder begrenzt präsentiert, ist es netter als sie, da die Kategorie von zusammenhängenden Modulen eine abelian Kategorie ist, während, im Allgemeinen, weder begrenzt erzeugte noch begrenzt präsentierte Module eine abelian Kategorie bilden.

Siehe auch

• Integriertes Element
• Lemma von Artin-Rees
• Zählbar erzeugtes Modul

Lehrbücher

• Bourbaki, Nicolas, Ersatzalgebra. Kapitel 1 - 7. Übersetzt aus den Franzosen. Nachdruck der englischen 1989-Übersetzung. Elemente der Mathematik (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. internationale Xxiv+625-Seiten-Standardbuchnummer 3-540-64239-0