In der Mathematik ist ein freies Modul ein freier Gegenstand in einer Kategorie von Modulen. In Anbetracht eines Satzes ist ein freies Modul darauf ein freies Modul mit der Basis.

Jeder Vektorraum ist frei, und der freie Vektorraum auf einem Satz ist ein spezieller Fall eines freien Moduls auf einem Satz.

Definition

Ein freies Modul ist ein Modul mit einer Basis: Ein linear unabhängiges Erzeugen ist untergegangen.

Für - Modul ist der Satz eine Basis für wenn:

1. ist ein Erzeugen-Satz dafür; das heißt, ist jedes Element dessen eine begrenzte Summe von Elementen von multiplizierten mit Koeffizienten darin;

1. linear unabhängig, d. h. wenn für verschiedene Elemente, dann (wo das Nullelement dessen ist und das Nullelement ist).

Wenn invariant Basiszahl hat, dann definitionsgemäß haben irgendwelche zwei Basen denselben cardinality. Der cardinality von irgendwelchem (und deshalb jeder) Basis wird die Reihe des freien Moduls genannt und wird gesagt, frei von der Reihe n, oder einfach frei von der begrenzten Reihe zu sein, wenn der cardinality begrenzt ist.

Bemerken Sie, dass eine unmittelbare Folgeerscheinung (2) ist, dass die Koeffizienten in (1) für jeden einzigartig sind.

Die Definition einer unendlichen freien Basis ist ähnlich, außer dass ungeheuer viele Elemente haben wird. Jedoch muss die Summe noch begrenzt sein, und so für jede Einzelheit nur begrenzt werden viele der Elemente dessen beteiligt.

Im Fall von einer unendlichen Basis ist die Reihe dessen der cardinality dessen.

Aufbau

In Anbetracht eines Satzes können wir einen freien - Modul bauen. Das Modul ist einfach die direkte Summe von Kopien, häufig angezeigt. Wir geben eine konkrete Verwirklichung dieser direkten Summe, die durch wie folgt angezeigt ist:

• Transportunternehmen: Enthält die Funktionen solch das für cofinitely viele (alle außer begrenzt vielen).
• Hinzufügung: Für zwei Elemente definieren wir dadurch.
• Gegenteil: Für definieren wir dadurch.
• Skalarmultiplikation: Für definieren wir dadurch.

Eine Basis dafür wird durch den Satz wo gegeben

(eine Variante des Deltas von Kronecker und ein besonderer Fall der Anzeigefunktion, für den Satz).

Definieren Sie dadurch kartografisch darzustellen. Das kartografisch darzustellen, gibt eine Bijektion zwischen und die Basisvektoren. Wir können so diese Sätze identifizieren. So kann als eine linear unabhängige Basis dafür betrachtet werden.

Universales Eigentum

Kartografisch darzustellen, der oben definiert ist, ist im folgenden Sinn universal. Wenn es einen willkürlichen - Modul gibt und willkürlich kartografisch darzustellen, dann dort besteht ein einzigartiger solcher Modul-Homomorphismus dass.

Siehe auch

• Freier Gegenstand

Referenzen

Links