Filter von Tschebyscheff sind analoge oder digitale Filter, die eine steilere Rolle - von und mehr Passband-Kräuselung (Typ I) oder Stopband-Kräuselung (Typ II) haben als Filter von Butterworth. Filter von Tschebyscheff haben das Eigentum, dass sie den Fehler zwischen dem idealisierten und der wirklichen Filtereigenschaft über die Reihe des Filters, aber mit Kräuselungen im passband minimieren.

Dieser Typ des Filters wird zu Ehren von Pafnuty Tschebyscheff genannt, weil seine mathematischen Eigenschaften aus Polynomen von Tschebyscheff abgeleitet werden.

Wegen der Passband-Kräuselung, die Filtern von Tschebyscheff, diejenigen innewohnend ist, die eine glattere Antwort im passband haben, aber eine unregelmäßigere Antwort im stopband wird für einige Anwendungen bevorzugt.

Typ I Filter von Tschebyscheff

Das sind die allgemeinsten Filter von Tschebyscheff. Der Gewinn (oder Umfang) Antwort als eine Funktion der winkeligen Frequenz des Filters des niedrigen Passes der n-ten Ordnung ist

:

wo der Kräuselungsfaktor ist, die Abkürzungsfrequenz ist und ein Polynom von Tschebyscheff der Th-Ordnung ist.

Der passband stellt equiripple Verhalten mit der durch den Kräuselungsfaktor bestimmten Kräuselung aus. Im passband, den Polynom-Stellvertretern von Tschebyscheff zwischen 0 und 1 so wird der Filtergewinn zwischen Maxima an G = 1 und Minima daran abwechseln. An der Abkürzungsfrequenz hat der Gewinn wieder den Wert, aber setzt fort, ins Halt-Band hereinzuschauen, als die Frequenz zunimmt. Dieses Verhalten wird im Diagramm rechts gezeigt. Die übliche Praxis, die Abkürzungsfrequenz an 3 DB zu definieren, wird gewöhnlich auf Filter von Tschebyscheff nicht angewandt; stattdessen wird die Abkürzung als der Punkt genommen, an dem der Gewinn zum Wert der Kräuselung für die letzte Zeit fällt.

Die Ordnung eines Filters von Tschebyscheff ist der Zahl von reaktiven Bestandteilen gleich (zum Beispiel, Induktoren) musste den Filter mit der analogen Elektronik begreifen.

Die Kräuselung wird häufig im DB gegeben:

:Ripple im DB =

so dass ein Kräuselungsumfang von 3-DB-Ergebnissen

Eine noch steilere Rolle - davon kann erhalten werden, wenn wir Kräuselung im Halt-Band berücksichtigen, indem wir zeroes auf - Achse im komplizierten Flugzeug erlauben. Das wird jedoch auf weniger Unterdrückung auf das Halt-Band hinauslaufen. Das Ergebnis wird einen elliptischen Filter, auch bekannt als Filter von Cauer genannt.

Pole und zeroes

Für die Einfachheit, nehmen Sie an, dass die Abkürzungsfrequenz der Einheit gleich ist. Die Pole des Gewinns des Filters von Tschebyscheff werden der zeroes des Nenners des Gewinns sein. Das Verwenden der komplizierten Frequenz s:

:

Das Definieren und das Verwenden der trigonometrischen Definition der Polynom-Erträge von Tschebyscheff:

:

Das Lösen für

:

wo die vielfachen Werte der Arcuscosinus-Funktion das ausführliche Verwenden des Index der ganzen Zahl M gemacht werden. Die Pole der Gewinn-Funktion von Tschebyscheff sind dann:

:

::::

Mit den Eigenschaften der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen kann das in der ausführlich komplizierten Form geschrieben werden:

:

::::

</Mathematik>

wo M = 1, 2..., n und

:

Das kann als eine Gleichung angesehen werden, die darin parametrisch ist, und sie demonstriert, dass die Pole auf einer Ellipse im S-Raum lügen, der an s = 0 mit einer echten Halbachse der Länge und einer imaginären Halbachse der Länge von in den Mittelpunkt gestellt ist

Die Übertragungsfunktion

Der obengenannte Ausdruck gibt die Pole des Gewinns G nach. Für jeden komplizierten Pol gibt es einen anderen, der der Komplex verbunden ist, und für jedes verbundene Paar es noch zwei gibt, die die Negative des Paares sind. Die Übertragungsfunktion muss stabil sein, so dass seine Polen diejenigen des Gewinns sein werden, die negative echte Teile haben und deshalb in der linken Hälfte des Flugzeugs des komplizierten Frequenzraums lügen. Die Übertragungsfunktion wird dann durch gegeben

:

wo nur jene Pole mit einem negativen Zeichen vor dem echten Begriff in der obengenannten Gleichung für die Pole sind.

Die Gruppenlaufzeit

Die Gruppenlaufzeit wird als die Ableitung der Phase in Bezug auf die winkelige Frequenz definiert und ist ein Maß der Verzerrung im Signal, das durch Phase-Unterschiede für verschiedene Frequenzen eingeführt ist.

:

Der Gewinn und die Gruppenlaufzeit für einen Filter des Typs I Chebyshev der fünften Ordnung mit ε = 0.5 werden im Graphen links geplant. Es kann gesehen werden, dass es Kräuselungen im Gewinn und die Gruppenlaufzeit im passband, aber nicht im stopband gibt.

Typ II Filter von Tschebyscheff

Auch bekannt als Gegenteil Tschebyscheff, dieser Typ ist weniger üblich, weil es von so schnell wie dem Typ I nicht rollt, und mehr Bestandteile verlangt. Es hat keine Kräuselung im passband, aber hat wirklich equiripple im stopband. Der Gewinn ist:

:

Im stopband wird das Polynom von Tschebyscheff zwischen 0 und 1 schwingen, so dass der Gewinn zwischen Null und schwingen wird

:

und die kleinste Frequenz, an der dieses Maximum erreicht wird, wird die Abkürzungsfrequenz sein. Der Parameter ε ist so mit der stopband Verdünnung γ in Dezibel verbunden durch:

:

Für eine stopband Verdünnung von 5 DB, ε = 0.6801; für eine Verdünnung von 10 DB, ε = 0.3333. Die Frequenz f = ω/2π ist die Abkürzungsfrequenz. Die 3-DB-Frequenz f ist mit f verbunden durch:

:

Pole und zeroes

Wieder annehmend, dass die Abkürzungsfrequenz der Einheit gleich ist, werden die Pole des Gewinns des Filters von Tschebyscheff der zeroes des Nenners des Gewinns sein:

:

Die Pole des Gewinns des Filters des Typs II Chebyshev werden das Gegenteil der Pole des Typs sein, den ich filtere:

:

\pm \sinh\left (\frac {1} {n }\\mathrm {arsinh }\\ist (\frac {1} {\\varepsilon }\\Recht) \right) abgereist, \sin (\theta_m) </Mathematik>

:</Mathematik>

wo M = 1, 2..., n. Der zeroes des Filters des Typs II Chebyshev wird der zeroes des Zählers des Gewinns sein:

:

Der zeroes des Filters des Typs II Chebyshev wird so das Gegenteil des zeroes des Polynoms von Tschebyscheff sein.

:

für die M = 1, 2..., n.

Die Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion wird von den Polen in der linken Hälfte des Flugzeugs der Gewinn-Funktion gegeben, und wird denselben zeroes haben, aber diese zeroes werden einzeln sein aber nicht zeroes verdoppeln.

Die Gruppenlaufzeit

Der Gewinn und die Gruppenlaufzeit für einen Filter des Typs II Chebyshev der fünften Ordnung mit ε = 0.1 werden im Graphen links geplant. Es kann gesehen werden, dass es Kräuselungen im Gewinn im Halt-Band, aber nicht im Pass-Band gibt.

Durchführung

Topologie von Cauer

Ein passiver Filter des niedrigen Passes von LC Tschebyscheff kann mit einer Topologie von Cauer begriffen werden. Induktor oder Kondensatorwerte einer n-ten Ordnung Filter von Tschebyscheff können von den folgenden Gleichungen berechnet werden:

::

:G, G sind die Kondensator- oder Induktor-Element-Werte.

:f, die 3-DB-Frequenz wird berechnet mit:

:The-Koeffizienten A, Y, β, A, und B können von den folgenden Gleichungen berechnet werden:

::::::::

:: wo R die Passband-Kräuselung in Dezibel ist.

Die berechneten G-Werte können dann in Rangieren-Kondensatoren und Spitzeninduktoren, wie gezeigt, rechts umgewandelt werden, oder sie können in Spitzenkondensatoren und Rangieren-Induktoren umgewandelt werden.

• Zum Beispiel, C = G, L = G...
• oder L = G, C = G...

Der resultierende Stromkreis ist ein normalisierter Filter des niedrigen Passes. Mit Frequenztransformationen und Scheinwiderstand-Schuppen kann der normalisierte Filter des niedrigen Passes in den hohen Pass, den Band-Pass und die Filter des Band-Halts jeder gewünschten Abkürzungsfrequenz oder Bandbreite umgestaltet werden.

Digital

Als mit den meisten analogen Filtern kann der Tschebyscheff zu einem digitalen (diskrete Zeit) umgewandelt werden die rekursive Form über das bilineare verwandelt sich. Jedoch, weil Digitalfilter eine begrenzte Bandbreite haben, wird die Ansprechgestalt von umgestaltetem Tschebyscheff verzogen. Wechselweise kann die Verglichene Z-transform Methode verwendet werden, der die Antwort nicht verzieht.

Vergleich mit anderen geradlinigen Filtern

Hier ist ein Image, die Filter von Tschebyscheff neben anderer allgemeiner Art von Filtern zeigend, die mit derselben Zahl von Koeffizienten erhalten sind (alle Filter sind die fünfte Ordnung):

Wie vom Image klar ist, sind Filter von Tschebyscheff schärfer als der Filter von Butterworth; sie sind nicht so scharf wie der elliptische, aber sie zeigen weniger Kräuselungen über die Bandbreite.

Siehe auch

:Filter-Design

• Filter von Bessel
• Filter von Butterworth
• Kamm-Filter
• Elliptischer Filter

:Mathematics

• Knoten von Tschebyscheff
• Polynom von Tschebyscheff