In der mathematischen Disziplin der geradlinigen Algebra ist eine Matrixzergliederung ein factorization einer Matrix in eine kanonische Form. Es gibt viele verschiedene Matrixzergliederungen; jeder findet Gebrauch unter einer besonderen Klasse von Problemen.

Beispiel

In der numerischen Analyse werden verschiedene Zergliederungen verwendet, um effiziente Matrixalgorithmen durchzuführen.

Zum Beispiel, wenn man ein System von geradlinigen Gleichungen löst, kann die Matrix A über die LU Zergliederung zersetzt werden. Die LU Zergliederung faktorisiert eine Matrix in eine niedrigere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U. Die Systeme und verlangen, dass weniger Hinzufügungen und Multiplikationen im Vergleich zum ursprünglichen System lösen, obwohl man bedeutsam mehr Ziffern in der ungenauen Arithmetik wie Schwimmpunkt verlangen könnte.

Ähnlich drückt die QR Zergliederung als QR mit Q eine einheitliche Matrix und R eine obere Dreiecksmatrix aus. Das System Q (Rx) = b wird von Rx = Qb = c, und das System gelöst Rx = c wird durch 'das Rückwartseinsetzen' gelöst. Die Zahl von Hinzufügungen und erforderlichen Multiplikationen ist ungefähr zweimal mehr als das, den LU solver zu verwenden, aber keine Ziffern mehr sind in der ungenauen Arithmetik erforderlich, weil die QR Zergliederung numerisch stabil ist.

Zergliederungen haben sich auf das Lösen von Systemen von geradlinigen Gleichungen bezogen

Zergliederung von LU

• Anwendbar auf: Quadratmatrix Ein
• Zergliederung: wo L dreieckig niedriger ist und U oberer dreieckiger ist
• Verbunden: Die LDU Zergliederung ist, wo L dreieckig mit auf der Diagonale niedriger ist, ist U dreieckig mit auf der Diagonale ober, und D ist eine Diagonalmatrix.
• Verbunden: Die LUP Zergliederung ist, wo L dreieckig niedriger ist, ist U dreieckig ober, und P ist eine Versetzungsmatrix.
• Existenz: Eine LUP Zergliederung besteht für jede Quadratmatrix A. Wenn P eine Identitätsmatrix ist, nimmt die LUP Zergliederung zur LU Zergliederung ab. Wenn die LU Zergliederung besteht, tut die LDU Zergliederung auch.
• Anmerkungen: Der LUP und die LU Zergliederungen sind im Lösen eines n-by-n Systems von geradlinigen Gleichungen nützlich. Diese Zergliederungen fassen den Prozess der Beseitigung von Gaussian in der Matrixform zusammen. Matrix P vertritt jeden im Prozess der Beseitigung von Gaussian ausgeführten Reihe-Austausch. Wenn Gaussian Beseitigung die Reihe-Staffelstellungsform erzeugt, ohne einen Reihe-Austausch zu verlangen, dann P=I, so besteht eine LU Zergliederung.

Die Verminderung von LU

Blockieren Sie LU Zergliederung

Reihe factorization

Zergliederung von Cholesky

• Anwendbar auf: quadratische, symmetrische, positive bestimmte Matrix Ein
• Zergliederung: wo U dreieckig mit positiven diagonalen Einträgen ober ist
• Anmerkung: Die Zergliederung von Cholesky ist ein spezieller Fall der symmetrischen LU Zergliederung, damit.
• Anmerkung: Die Zergliederung von Cholesky ist einzigartiger
• Anmerkung: Die Zergliederung von Cholesky ist auch für den Komplex hermitian positiver bestimmter matrices anwendbar
• Anmerkung: Eine Alternative ist die LDL Zergliederung, die vermeiden kann, Quadratwurzeln herauszuziehen.

QR Zergliederung

• Anwendbar auf: M-By-N-Matrix Ein
• Zergliederung: Wo Q eine orthogonale Matrix der Größe M-für-M ist, und R eine obere Dreiecksmatrix der Größe m-by-n ist
• Anmerkung: Die QR Zergliederung stellt eine alternative Weise zur Verfügung, das Gleichungssystem zu lösen, ohne die Matrix A umzukehren. Die Tatsache, dass Q orthogonal ist, bedeutet, dass, so dass dazu gleichwertig ist, der leichter ist zu lösen, da R dreieckig ist.

RRQR factorization

Einzigartige Wertzergliederung

• Anwendbar auf: M-By-N-Matrix A.
• Zergliederung: wo D eine nichtnegative Diagonalmatrix ist, und U und V einheitlicher matrices sind, und anzeigt, dass die verbundenen V umstellen (oder einfach das Umstellen, wenn V reelle Zahlen enthält nur).
• Anmerkung: Die diagonalen Elemente von D werden die einzigartigen Werte von A genannt.
• Anmerkung: Wie der eigendecomposition unten schließt die einzigartige Wertzergliederung Entdeckung von Basisrichtungen ein, entlang denen Matrixmultiplikation zur Skalarmultiplikation gleichwertig ist, aber es hat größere Allgemeinheit, da die Matrix unter der Rücksicht nicht quadratisch zu sein braucht.

Zergliederungen, die auf eigenvalues und verwandten Konzepten gestützt sind

Eigendecomposition

• Auch genannt geisterhafte Zergliederung
• Anwendbar auf: Quadratmatrix mit verschiedenen Eigen-Werten.
• Zergliederung: wo D eine Diagonalmatrix ist, die vom eigenvalues von A gebildet ist, und die Säulen V die entsprechenden Eigenvektoren von A sind.
• Existenz: Eine n-by-n Matrix hat immer n eigenvalues, der (auf mehr als eine Weise) befohlen werden kann, eine n-by-n Diagonalmatrix D und eine entsprechende Matrix von Nichtnullsäulen V zu bilden, der befriedigt. Wenn die n eigenvalues verschieden sind (d. h. niemand ist einigen von anderen gleich), dann V ist invertible, die Zergliederung einbeziehend.
• Anmerkung: Die Bedingung, n verschiedenen eigenvalues zu haben, ist genügend, aber nicht notwendig. Die notwendige und genügend Bedingung ist für jeden eigenvalue, um geometrische seiner algebraischen Vielfältigkeit gleiche Vielfältigkeit zu haben.
• Anmerkung: Der eigendecomposition ist nützlich, für die Lösung eines Systems von geradlinigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen oder geradlinigen Unterschied-Gleichungen zu verstehen. Zum Beispiel wird die Unterschied-Gleichung, die von der anfänglichen Bedingung anfängt, dadurch gelöst, der dazu gleichwertig ist, wo V und D der matrices sind, der von den Eigenvektoren und eigenvalues von A gebildet ist. Da D diagonal ist, es erhebend, um zu rasen, gerade schließt Aufhebung jedes Elements auf der Diagonale zur Macht t ein. Das ist viel leichter, zu tun und zu verstehen, als Aufhebung, um t anzutreiben, da A gewöhnlich nicht diagonal ist.

Zergliederung von Jordan

Der Jordan normale Form und die Zergliederung des Jordans-Chevalley

Anwendbar auf: Quadratmatrix Ein

• Anmerkung: Der Jordan normale Form verallgemeinert den eigendecomposition zu Fällen, wo dort eigenvalues wiederholt werden und diagonalized, die Zergliederung des Jordans-Chevalley nicht sein kann, tut das, ohne eine Basis zu wählen.

Zergliederung von Schur

Anwendbar auf: Quadratmatrix Ein

• Anmerkung: Es gibt zwei Versionen dieser Zergliederung: die komplizierte Zergliederung von Schur und die echte Zergliederung von Schur. Eine komplizierte Matrix hat immer eine komplizierte Zergliederung von Schur. Eine echte Matrix lässt eine echte Zergliederung von Schur zu, wenn, und nur wenn alle seine eigenvalues echt sind.
• Zergliederung (komplizierte Version): wo U eine einheitliche Matrix ist, ist das verbundene stellen U um, und T ist eine obere Dreiecksmatrix genannt die komplizierte Form von Schur, die den eigenvalues entlang seiner Diagonale hat.
• Zergliederung (echte Version): wo A, V, S und matrices sind, die reelle Zahlen nur enthalten. In diesem Fall, V ist eine orthogonale Matrix, ist das Umstellen V, und S ist ein Block, den obere Dreiecksmatrix die echte Form von Schur genannt hat. Die Blöcke auf der Diagonale von S sind der Größe 1×1 (in welchem Fall sie echten eigenvalues vertreten), oder 2×2 (in welchem Fall sie aus verbundenen eigenvalue Paaren des Komplexes abgeleitet werden).

QZ Zergliederung

• Auch genannt: verallgemeinerte Zergliederung von Schur
• Anwendbar auf: Quadrat matrices A und B
• Anmerkung: Es gibt zwei Versionen dieser Zergliederung: kompliziert und echt.
• Zergliederung (komplizierte Version): Und wo Q und Z einheitlicher matrices sind, vertritt der H Exponent verbunden stellen um, und S und T sind oberer dreieckiger matrices.
• Anmerkung: In der QZ komplizierten Zergliederung sind die Verhältnisse der diagonalen Elemente von S zu den entsprechenden diagonalen Elementen von T die verallgemeinerten eigenvalues, die das verallgemeinerte eigenvalue Problem beheben (wo ein unbekannter Skalar ist und v ein unbekannter Nichtnullvektor ist).
• Zergliederung (echte Version): Und wo A, B, Q, Z, S, und T matrices sind, der reelle Zahlen nur enthält. In diesem Fall sind Q und Z orthogonaler matrices, der T Exponent vertritt Umstellung, und S und T sind Block oberer dreieckiger matrices. Die Blöcke auf der Diagonale von S und T sind der Größe 1×1 oder 2×2.

Der factorization von Takagi

• Anwendbar auf: Quadrat, komplizierte, symmetrische Matrix A.
• Zergliederung: wo D eine echte nichtnegative Diagonalmatrix ist, und V einheitlich ist. zeigt an, dass die Matrix V umstellt.
• Anmerkung: Die diagonalen Elemente von D sind die nichtnegativen Quadratwurzeln des eigenvalues dessen.
• Anmerkung: V kann kompliziert sein, selbst wenn A echt ist.

Andere Zergliederungen

• Polare Zergliederung
• Richtige orthogonale Zergliederung

Links

• Online-Matrixrechenmaschine
• Springer-Enzyklopädie der Mathematik "Matrix factorization
• GraphLab GraphLab zusammenarbeitende durchscheinende Bibliothek, in großem Umfang parallele Durchführung von Matrixzerlegungserfahren (in C ++) für den Mehrkern.