In der speziellen Relativität, dem Elektromagnetismus und der Wellentheorie, der Maschinenbediener von D'Alembert (vertreten durch einen Kasten:), auch genannt den d'Alembertian oder den Welle-Maschinenbediener, ist der Maschinenbediener von Laplace des Raums von Minkowski. Der Maschinenbediener wird für den französischen Mathematiker und Physiker Jean le Rond D'Alembert genannt. Im Raum von Minkowski in Standardkoordinaten (t, x, y, z) hat es die Form:

:

\begin {richten }\aus

\Box & = \partial^\\mu \partial_\mu = g^ {\\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac {1} {c^ {2}} \frac {\\partial^2} {\\teilweiser t^2} - \frac {\\partial^2} {\\teilweiser x^2} - \frac {\\partial^2} {\\teilweiser y^2} - \frac {\\partial^2} {\\teilweiser z^2} \\

& = \frac {1} {c^2} {\\Partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = \frac {1} {c^2} {\\Partial^2 \over \partial t^2} - \Delta.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Hier ist das Gegenteil Minkowski, der mit, dafür metrisch ist. Bemerken Sie, dass sich der μ und die ν Summierungsindizes von 0 bis 3 erstrecken: Sieh Notation von Einstein. Wir haben solche Einheiten dass die Geschwindigkeit des Lichtes angenommen. Einige Autoren verwenden auch die negative metrische Unterschrift [ + + +] damit.

Transformationen von Lorentz verlassen den Minkowski metrischen invariant, so ist der d'Alembertian ein Skalar von Lorentz. Die obengenannten Koordinatenausdrücke bleiben gültig für die Standardkoordinaten in jedem Trägheitsrahmen.

Abwechselnde Notationen

Es gibt eine Vielfalt von Notationen für den d'Alembertian. Das allgemeinste ist das Symbol: Die vier Seiten des Kastens, der die vier Dimensionen der Raum-Zeit und vertritt, der das Skalareigentum durch den karierten Begriff (viel wie Laplacian) betont. Dieses Symbol wird manchmal den quabla (vgl nabla Symbol) genannt. In Übereinstimmung mit der Dreiecksnotation für Laplacian wird manchmal verwendet.

Eine andere Weise, dem d'Alembertian in flachen Standardkoordinaten zu schreiben, ist. Diese Notation wird umfassend in der Quant-Feldtheorie verwendet, wo partielle Ableitungen gewöhnlich mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden: So gibt der Mangel an einem Index mit der karierten partiellen Ableitung der Anwesenheit vom D'Alembertian Zeichen.

Manchmal wird verwendet, um den vierdimensionalen Levi-Civita kovariante Ableitung zu vertreten. Das Symbol wird dann verwendet, um die Raumableitungen zu vertreten, aber das ist Koordinatenkarte-Abhängiger.

Anwendungen

Die Gleichung von Klein-Gordon hat die Form

Die Wellengleichung für das elektromagnetische Feld im Vakuum ist

:where ist der elektromagnetische vier-Potenziale-.

Die Wellengleichung für kleine Vibrationen ist von der Form

:where ist die Versetzung.

Die Funktion des Grüns

Die Funktion des Grüns für den d'Alembertian wird durch die Gleichung definiert

wo die Delta-Funktion von Dirac ist und und zwei Punkte im Raum von Minkowski sind.

Ausführlich haben wir

wo die Schritt-Funktion von Heaviside ist.

Siehe auch

• Gleichung von Klein-Gordon
• Relativistische Hitzeleitung

Links