In der Philosophie der Mathematik ist intuitionism oder neointuitionism (entgegengesetzt preintuitionism), eine Annäherung an die Mathematik als die konstruktive Geistestätigkeit von Menschen. D. h. Mathematik besteht aus analytischen Tätigkeiten nicht, worin tiefe Eigenschaften der Existenz offenbart und angewandt werden. Statt dessen sind Logik und Mathematik die Anwendung innerlich konsequenter Methoden, kompliziertere geistige Konstruktionen zu begreifen.

Wahrheit und Beweis

Die grundsätzliche unterscheidende Eigenschaft von intuitionism ist seine Interpretation dessen, was es für eine mathematische Behauptung bedeutet, wahr zu sein. Im ursprünglichen intuitionism von Brouwer ist die Wahrheit einer mathematischen Behauptung ein subjektiver Anspruch: Eine mathematische Behauptung entspricht einem geistigen Aufbau, und ein Mathematiker kann die Wahrheit einer Behauptung behaupten, indem nur er die Gültigkeit dieses Aufbaus durch die Intuition nachprüft. Die Zweideutigkeit des intuitionistic Begriffs der Wahrheit führt häufig zu Missdeutungen über seine Bedeutung. Kleene hat formell intuitionistic Wahrheit von einer Realist-Position definiert, noch würde Brouwer wahrscheinlich diese Formalisierung als sinnlos in Anbetracht seiner Verwerfung der realist/Platonist Position zurückweisen. Wahrheit von Intuitionistic bleibt deshalb etwas krank definiert. Unabhängig von wie es interpretiert wird, gleicht intuitionism die Wahrheit einer mathematischen Behauptung mit seinem provability nicht aus. Jedoch, weil der intuitionistic Begriff der Wahrheit einschränkender ist als diese der klassischen Mathematik, muss der intuitionist einige Annahmen der klassischen Logik zurückweisen, um sicherzustellen, dass alles, was er beweist, tatsächlich intuitionistically wahr ist. Das verursacht intuitionistic Logik.

Zu einem intuitionist ist der Anspruch, dass ein Gegenstand mit bestimmten Eigenschaften besteht, ein Anspruch, dass ein Gegenstand mit jenen Eigenschaften gebaut werden kann. Wie man betrachtet, ist jeder mathematische Gegenstand ein Produkt eines Aufbaus einer Meinung, und deshalb, die Existenz eines Gegenstands ist zur Möglichkeit seines Aufbaus gleichwertig. Das hebt sich von der klassischen Annäherung ab, die feststellt, dass die Existenz einer Entität durch die Widerlegung seines Nichtseins bewiesen werden kann. Für den intuitionist ist das nicht gültig; die Widerlegung des Nichtseins bedeutet nicht, dass es möglich ist, einen Aufbau für den vermeintlichen Gegenstand zu finden, wie erforderlich ist, um seine Existenz zu behaupten. Als solcher ist intuitionism eine Vielfalt von mathematischem constructivism; aber es ist nicht die einzige Art.

Die Interpretation der Ablehnung ist in der intuitionist Logik verschieden als in der klassischen Logik. In der klassischen Logik behauptet die Ablehnung einer Behauptung, dass die Behauptung falsch ist; zu einem intuitionist bedeutet es, dass die Behauptung widerlegbar ist (z.B, dass es ein Gegenbeispiel gibt). Es gibt so eine Asymmetrie zwischen einer positiven und negativen Behauptung in intuitionism. Wenn eine Behauptung P nachweisbar ist, dann ist es sicher unmöglich zu beweisen, dass es keinen Beweis von P gibt. Aber selbst wenn es gezeigt werden kann, dass keine Widerlegung von P möglich ist, können wir nicht aus dieser Abwesenheit beschließen, dass es einen Beweis von P gibt. So ist P eine stärkere Behauptung als not-not-P.

Ähnlich zu behaupten, dass A oder B zu einem intuitionist halten, soll behaupten, dass entweder A oder B bewiesen werden können. Insbesondere das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, "A oder nicht", wird als ein gültiger Grundsatz nicht akzeptiert. Zum Beispiel, wenn A eine mathematische Behauptung ist, dass ein intuitionist noch nicht bewiesen oder dann widerlegt hat, dass intuitionist die Wahrheit "A oder nicht" nicht behaupten wird. Jedoch wird der intuitionist akzeptieren, dass "A und nicht" nicht wahr sein kann. So befriedigen die Bindewörter "und" und "oder" der intuitionistic Logik die Gesetze von de Morgan nicht, wie sie in der klassischen Logik tun.

Logik von Intuitionistic wechselt gegen constructability die abstrakte Wahrheit aus und wird mit einem Übergang vom Beweis bis Mustertheorie der abstrakten Wahrheit in der modernen Mathematik vereinigt. Die logische Rechnung bewahrt Rechtfertigung, aber nicht Wahrheit über Transformationen, die abgeleitete Vorschläge nachgeben. Es ist als unterstützend zu mehreren Schulen der Philosophie, am meisten namentlich des Antirealismus von Michael Dummett genommen worden. So gegen den ersten Eindruck könnte sein Name, und wie begriffen, in spezifischen Annäherungen und Disziplinen (z.B Unscharfe Mengen und Systeme) befördern, intuitionist Mathematik ist strenger als herkömmlich gegründete Mathematik, wo, ironisch, die foundational Elemente, die Intuitionism versucht, zu bauen zu/widerlegen/wiederzufinden, wie intuitiv gegeben, genommen werden.

Intuitionism und Unendlichkeit

Unter den verschiedenen Formulierungen von intuitionism gibt es mehrere verschiedene Positionen auf der Bedeutung und Wirklichkeit der Unendlichkeit.

Die Begriff-Potenzial-Unendlichkeit bezieht sich auf ein mathematisches Verfahren, in dem es eine unaufhörliche Reihe von Schritten gibt. Nachdem jeder Schritt vollendet worden ist, gibt es immer einen anderen Schritt, durchgeführt zu werden. Denken Sie zum Beispiel den Prozess des Zählens:

Wirkliche Unendlichkeit des Begriffes bezieht sich auf einen vollendeten mathematischen Gegenstand, der eine unendliche Zahl von Elementen enthält. Ein Beispiel ist der Satz von natürlichen Zahlen,

In der Formulierung des Kantoren der Mengenlehre gibt es viele verschiedene unendliche Sätze, von denen einige größer sind als andere. Zum Beispiel ist der Satz aller reellen Zahlen R größer als N, weil jedes Verfahren, das Sie versuchen zu verwenden, um die natürlichen Zahlen in die isomorphe Ähnlichkeit mit den reellen Zahlen zu stellen, immer scheitern wird: Es wird immer eine unendliche Zahl von reellen Zahlen geben, die "über verlassen sind". Wie man sagt, ist jeder unendliche Satz, der in die isomorphe Ähnlichkeit mit den natürlichen Zahlen gelegt werden kann, "zählbar" oder "denumerable". Wie man sagt, sind unendliche Sätze, die größer sind als das, "unzählbar".

Die Mengenlehre des Kantoren hat zum axiomatischen System von ZFC, jetzt das allgemeinste Fundament der modernen Mathematik geführt. Intuitionism wurde teilweise als eine Reaktion zur Mengenlehre des Kantoren geschaffen.

Moderne konstruktive Mengenlehre schließt wirklich das Axiom der Unendlichkeit von der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (oder eine revidierte Version dieses Axioms) ein, und schließt den Satz N von natürlichen Zahlen ein. Die meisten modernen konstruktiven Mathematiker akzeptieren die Wirklichkeit zählbar unendlicher Sätze (jedoch, sieh Alexander Esenin-Volpin für ein Gegenbeispiel).

Brouwer hat das Konzept der wirklichen Unendlichkeit zurückgewiesen, aber hat die Idee von der potenziellen Unendlichkeit zugelassen.

: "Gemäß Weyl 1946, 'Brouwer verständlich gemacht hat, wie ich außer irgendwelchen Zweifeln denke, dass es keine Beweise gibt, die den Glauben an den existenziellen Charakter der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen... die Folge von Zahlen unterstützen, die außer jeder bereits erreichten Bühne durch den Übergang zur folgenden Zahl wächst, ist eine Sammelleitung von zur Unendlichkeit offenen Möglichkeiten; es bleibt für immer im Status der Entwicklung, aber ist nicht ein geschlossener Bereich von in sich vorhandenen Dingen. Dass wir uns blind ein zum anderen umgewandelt haben, ist die wahre Quelle unserer Schwierigkeiten, einschließlich der Antinomien - eine Quelle der grundsätzlicheren Natur als der angezeigte Teufelskreis-Grundsatz von Russell. Brouwer hat unsere Augen geöffnet und hat uns sehen lassen, wie weit klassische Mathematik, die durch einen Glauben an das 'Absolute' genährt ist, das alle menschlichen Möglichkeiten der Verwirklichung überschreitet, solche Behauptungen übertrifft, wie kann echte Bedeutung und auf Beweisen gegründete Wahrheit fordern." (Kleene (1952): Einführung in Metamathematics, p. 48-49)

Finitism ist eine äußerste Version von Intuitionism, der die Idee von der potenziellen Unendlichkeit zurückweist. Gemäß Finitism besteht ein mathematischer Gegenstand nicht, wenn es von den natürlichen Zahlen in einer begrenzten Zahl von Schritten nicht gebaut werden kann.

Geschichte von Intuitionism

Die Geschichte von Intuitionism kann zu zwei Meinungsverschiedenheiten in der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts verfolgt werden.

Der erste von diesen war die Erfindung der transfiniten Arithmetik durch Georg Cantor und seiner nachfolgenden Verwerfung durch mehrere prominente Mathematiker einschließlich am berühmtesten seines Lehrers Leopold Kronecker — ein ratifizierter finitist.

Der zweite von diesen war die Anstrengung von Gottlob Frege, die ganze Mathematik zu einer logischen Formulierung über die Mengenlehre und sein Entgleisen durch einen jungen Bertrand Russell, den Entdecker des Paradoxes von Russell zu reduzieren. Frege hatte ein drei Volumen endgültige Arbeit geplant, aber kurz nachdem das erste Volumen veröffentlicht worden war, hat Russell Frege einen Brief gesandt, der sein Paradox entwirft, das demonstriert hat, dass eine der Regierungen von Frege der Selbstverweisung widersprüchlich war.

Frege, die Geschichte, geht getaucht in Depression und hat die zweiten und dritten Volumina seiner Arbeit nicht veröffentlicht, weil er geplant hatte. Weil mehr Davis (2000) Kapitel 3 und 4 sieht: Frege: Vom Durchbruch bis Verzweiflung und Kantoren: Umweg durch die Unendlichkeit. Sieh van Heijenoort für die ursprünglichen Arbeiten und den Kommentar von van Heijenoort.

Diese Meinungsverschiedenheiten werden als die logischen Methoden stark verbunden, die vom Kantoren im Beweis verwendet sind, dass seine Ergebnisse in der transfiniten Arithmetik im Wesentlichen dasselbe als diejenigen sind, die von Russell im Konstruieren seines Paradoxes verwendet sind. Folglich, wie man beschließt aufzulösen, dass das Paradox von Russell direkte Implikationen auf dem mit der transfiniten Arithmetik des Kantoren gewährten Status hat.

Am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts hat L. E. J. Brouwer die intuitionist Position und David Hilbert vertreten die Formalist-Position — sieht van Heijenoort. Kurt Gödel hat als Platonist gekennzeichnete Meinungen angeboten (sieh verschiedene Quellen re Gödel). Alan Turing zieht in Betracht:

"nichtkonstruktive Systeme der Logik, mit der nicht alle Schritte in einem Beweis, ein mechanisch sind intuitiv seiend". (Turing 1939, der in Davis 2004, p nachgedruckt ist. 210) Später hat Stephen Cole Kleene eine vernünftigere Rücksicht von intuitionism in seiner Einführung in die Meta-Mathematik (1952) hervorgebracht.

Mitwirkende zu intuitionism

• L. E. J. Brouwer
• Michael Dummett
• Arend Heyting
• Stephen Kleene

Zweige der intuitionistic Mathematik

• Logik von Intuitionistic
• Arithmetik von Intuitionistic
• Typ-Theorie Intuitionistic
• Mengenlehre von Intuitionistic
• Analyse von Intuitionistic

Siehe auch

• Antirealismus
• Benjamin Peirce
• BHK Interpretation
• Brouwer-Hilbert Meinungsverschiedenheit
• Berechenbarkeitslogik
• Konstruktive Logik
• Isomorphismus des Currys-Howard
• Fundamente der Mathematik
• Fusseln (Mathematik und Informatik)
• Spielsemantik
• Mustertheorie
• Intuition (Kenntnisse)
• Ultraintuitionism

Weiterführende Literatur

• "Analyse". Encyclopædia Britannica. 2006. Encyclopædia Britannica 2006 Äußerste Bezugsgefolge-DVD am 15. Juni 2006, "Konstruktive Analyse" (Ian Stewart, Autor)
• W. S. Anglin, Mathematik: Eine Kurze Geschichte und Philosophie, Springer-Verlag, New York, 1994.

:In-Fundamente des Kapitels 39 in Bezug auf das 20. Jahrhundert gibt Anglin sehr genaue, kurze Beschreibungen von Platonism (in Bezug auf Godel), Formalismus (in Bezug auf Hilbert), und Intuitionism (in Bezug auf Brouwer).

• Martin Davis (Hrsg.). (1965), Die Unentscheidbare, Rabe-Presse, Hewlett, New York. Kompilation von ursprünglichen Vorträgen von Gödel, Kirche, Kleene, Turing, Rosser und Posten. Neu veröffentlicht als
• John W. Dawson der Jüngere. Logische Dilemmas: Das Leben und die Arbeit von Kurt Gödel, A. K. Peters, Wellesley, Massachusetts, 1997.

:Less, der lesbar ist als Goldstein, aber, im Kapitel III Excursis, Dawson gibt einen ausgezeichneten "Eine Kapselgeschichte der Entwicklung der Logik bis 1928".

• Rebecca Goldstein, Unvollständigkeit: Der Beweis und das Paradox von Kurt Godel, Atlas-Büchern, W.W. Norton, New York, 2005.

:In-Kapitel II Hilbert und die Formalisten Goldstein gibt weiteren historischen Zusammenhang. Weil Platonist Gödel in Gegenwart vom logischen Positivismus des Wiener Kreises zurückhaltend war. Sie bespricht den Einfluss von Wittgenstein und den Einfluss der Formalisten. Goldstein bemerkt, dass die intuitionists Platonism noch mehr entgegengesetzt waren als Formalismus.

• van Heijenoort, J., Von Frege bis Gödel, Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, 1879-1931, Universität von Harvard Presse, Cambridge, Massachusetts, 1967. Nachgedruckt mit Korrekturen, 1977. Die folgenden Papiere erscheinen in van Heijenoort:

:* L.E.J. Brouwer, 1923, Auf der Bedeutung des Grundsatzes der ausgeschlossenen Mitte in der Mathematik, besonders in der Funktionstheorie [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 334, van Heijenoort]

:* Andrei Nikolaevich Kolmogorov, 1925, Auf dem Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte, [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 414, van Heijenoort]

:* L.E.J. Brouwer, 1927, Auf den Gebieten von Definitionen von Funktionen, [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 446, van Heijenoort]

:: Obwohl nicht direkt zusammenhängend in seinem (1923) Brouwer bestimmte in dieser Zeitung definierte Wörter verwendet.

:* L.E.J. Brouwer, 1927 (2), Nachdenken von Intuitionistic über den Formalismus, [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 490, van Heijenoort]

:* Jacques Herbrand, (1931b), "Auf der Konsistenz der Arithmetik", [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 618ff, van Heijenoort]

:: Aus dem Kommentar von van Heijenoort ist es unklar, ob Herbrand ein wahrer "intuitionist" war; Gödel (1963) hat das tatsächlich behauptet "... Herbrand war ein intuitionist". Aber van Heijenoort sagt, dass die Vorstellung von Herbrand im Großen und Ganzen an diesem des Wortes von Hilbert 'finitary' ('finit') das zu "intuitionistic" in Bezug auf die Doktrin von Brouwer "viel näher war".

• Arend Heyting:

:In-Kapitel III Eine Kritik von Mathematic das Denken, §11. Die Paradoxe, Kleene bespricht Intuitionism und Formalismus eingehend. Während des Rests des Buches behandelt er, und vergleicht sich, sowohl Formalist (klassisch) als auch Logik von Intuitionist mit einer Betonung auf dem ersteren. Das außergewöhnliche Schreiben durch einen außergewöhnlichen Mathematiker.

• Stephen Cole Kleene und Richard Eugene Vesley, Die Fundamente der Intuistionistic Mathematik, North-Holland Publishing Co Amsterdam, 1965. Der Leitungssatz erzählt es ganz "Die konstruktive Tendenz in der Mathematik...". Ein Text für Fachmänner, aber geschrieben im wunderbar klaren Stil von Kleene.
• Hilary Putnam und Paul Benacerraf, Philosophie der Mathematik: Ausgewählte Lesungen, Englewood Klippen, N.J.: Prentice-Hall, 1964. 2. Hrsg., Cambridge: Universität von Cambridge Presse, 1983. Internationale Standardbuchnummer 0 521 29648 X

: Erster Teil. Das Fundament der Mathematik, des Symposiums auf den Fundamenten der Mathematik

:* Rudolph Carnap, Die logicist Fundamente der Mathematik, p. 41

:* Arend Heyting, Die intuitionist Fundamente der Mathematik, p. 52

:* Johann von Neumann, Die Formalist-Fundamente der Mathematik, p. 61

:* Arendt Heyting, Debatte, p. 66

:* L.E.J. Brouwer, Intuitionnism und Formalismus, p. 77

:* L.E.J. Brouwer, Bewusstsein, Philosophie und Mathematik, p. 90

• Constance Reid, Hilbert, Copernicus - Springer-Verlag, 1. Ausgabe 1970, 2. Ausgabe 1996.

: Die endgültige Lebensbeschreibung von Hilbert legt sein "Programm" in den historischen Zusammenhang zusammen mit dem nachfolgenden Kämpfen, manchmal erbittert, zwischen Intuitionists und den Formalisten.

• Paul Rosenbloom, Die Elemente der Mathematischen Logik, Dover Publications Inc, Mineola, New York, 1950.

: In einem Stil mehr von Principia Mathematica - viele Symbole, eine Antiquität, einige aus der deutschen Schrift. Sehr gute Diskussionen von intuitionism in den folgenden Positionen: Seiten 51-58 im Abschnitt 4 Viele Geschätzte Logik, Modale Logik, Intuitionism; Kapitel III der Seiten 69-73 Die Logik des Propostional-Funktionsabschnitts 1 Informelle Einführung; und p. 146-151 Abschnitt 7 das Axiom der Wahl.

Sekundäre Verweisungen

• A. A. Markov (1954) Theorie von Algorithmen. [Übersetzt von Jacques J. Schorr-Kon und PST Personal] Abdruck Moskau, Akademie von Wissenschaften der UDSSR, 1954 [d. h. Jerusalem, Programm von Israel für Wissenschaftliche Übersetzungen, 1961; verfügbar vom Büro von Technical Services, der amerikanischen Abteilung des Handels, Washington] Beschreibung 444 p. 28 Cm. Hinzugefügter t.p. in der russischen Übersetzung von Arbeiten des Mathematischen Instituts, Akademie von Wissenschaften der UDSSR, v. 42. Ursprünglicher Titel: Teoriya algorifmov. [QA248. M2943 Dartmouth Universitätsbibliothek. Amerikanische Abteilung des Handels, Büro von Technical Services, Zahl OTS 60-51085.]

:A sekundäre Verweisung für Fachmänner: Markov hat gemeint, dass "Die komplette Bedeutung für die Mathematik, genauer zu machen, das Konzept des Algorithmus, jedoch, im Zusammenhang mit dem Problem eines konstruktiven Fundaments für die Mathematik.... [p erscheint. 3 hat Kursive beigetragen.] hat Markov geglaubt, dass weitere Anwendungen seiner Arbeit "ein spezielles Buch verdienen, das der Autor hofft, in der Zukunft zu schreiben" (p. 3). Unglücklicherweise ist gesagte Arbeit anscheinend nie erschienen.

Außenverbindungen

• Zehn Fragen über Intuitionism