Eine quadratische Funktion, in der Mathematik, ist eine polynomische Funktion der Form

:

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, deren Achse der Symmetrie zur Y-Achse parallel ist.

Der Ausdruck in der Definition einer quadratischen Funktion ist ein Polynom des Grads 2 oder die zweite Ordnung oder ein 2. Grad-Polynom, weil die höchste Hochzahl von x 2 ist.

Wenn die quadratische Funktion gleich der Null gesetzt wird, dann ist das Ergebnis eine quadratische Gleichung. Die Lösungen der Gleichung werden die Wurzeln der Gleichung genannt.

Ursprung des Wortes

Das quadratische Adjektiv kommt aus dem lateinischen Wort ("Quadrat"). Ein Begriff wie x wird ein Quadrat in der Algebra genannt, weil es das Gebiet eines Quadrats mit der Seite x ist.

Im Allgemeinen zeigt ein Präfix quadr (i) - die Nummer 4 an. Beispiele sind Vierseit und Quadrant. Quadratum ist das lateinische Wort für das Quadrat, weil ein Quadrat vier Seiten hat.

Wurzeln

Die Wurzeln (Nullen) der quadratischen Funktion

:

sind die Werte von x für der f (x) = 0.

Wenn die Koeffizienten a, b, und c, echt oder kompliziert sind, sind die Wurzeln

:

wo der discriminant als definiert wird

:

Formen einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion kann in drei Formaten ausgedrückt werden:

• wird die Standardform, genannt

• wird die Factored-Form genannt, wo und die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind, wird sie in der logistischen Karte verwendet

• wird die Scheitelpunkt-Form genannt, wo h und k der x und die y Koordinaten des Scheitelpunkts beziehungsweise sind.

Um die Standardform zur Factored-Form umzuwandeln, braucht man nur die quadratische Formel, um die zwei Wurzeln zu bestimmen, und. Um die Standardform zur Scheitelpunkt-Form umzuwandeln, braucht man genannte Vollendung eines Prozesses des Quadrats. Um die Factored-Form (oder Scheitelpunkt-Form) zur Standardform umzuwandeln, muss man multiplizieren, ausbreiten und/oder die Faktoren verteilen.

Graph

Unabhängig vom Format ist der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel (wie gezeigt, oben).

• Wenn (oder ist eine positive Zahl), sich die Parabel aufwärts öffnet.
• Wenn

Der Koeffizient Steuerungen die Geschwindigkeit der Zunahme (oder Abnahme) der quadratischen Funktion vom Scheitelpunkt, größer positiv ein Lassen die Funktion schneller und der Graph zunehmen scheint mehr geschlossen.

Die Koeffizienten b und kontrollieren zusammen die Achse der Symmetrie der Parabel (auch die X-Koordinate des Scheitelpunkts), der daran ist.

Der Koeffizient b allein ist die Abschüssigkeit der Parabel als Y-Achse-Abschnitte.

Der Koeffizient c kontrolliert die Höhe der Parabel mehr spezifisch, es ist der Punkt wo der Parabel-Abschnitt die Y-Achse.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Platz, wo es sich folglich dreht, hat es auch den Wendepunkt genannt. Wenn die quadratische Funktion in der Scheitelpunkt-Form ist, ist der Scheitelpunkt. Durch die Methode, das Quadrat zu vollenden, kann man die allgemeine Form drehen

:

in

:

so ist der Scheitelpunkt der Parabel in der Scheitelpunkt-Form

:

Wenn die quadratische Funktion in factored Form ist

:

der Durchschnitt der zwei Wurzeln, d. h.,

:

ist die X-Koordinate des Scheitelpunkts, und folglich ist der Scheitelpunkt

:

Der Scheitelpunkt ist auch der maximale Punkt wenn

Die vertikale Linie

:

das geht durch der Scheitelpunkt ist auch die Achse der Symmetrie der Parabel.

Maximale und minimale Punkte

Mit der Rechnung kann der Scheitelpunkt-Punkt, ein Maximum oder Minimum der Funktion seiend, durch die Entdeckung der Wurzeln der Ableitung erhalten werden:

:

das Geben

:

mit der entsprechenden Funktion schätzen

:

so wieder können die Scheitelpunkt-Punkt-Koordinaten ausgedrückt werden wie

:

Die Quadratwurzel einer quadratischen Funktion

Die Quadratwurzel einer quadratischen Funktion führt entweder zu einer Ellipse oder zu einer Hyperbel. Wenn dann die Gleichung eine Hyperbel beschreibt. Die Achse der Hyperbel wird durch die Ordinate des minimalen Punkts der entsprechenden Parabel.If bestimmt die Ordinate ist dann negativ die Achse der Hyperbel ist horizontal. Wenn die Ordinate positiv ist, dann ist die Achse der Hyperbel vertikal. Wenn

ist

dann positiv seine Quadratwurzel beschreibt eine Ellipse, aber wenn die Ordinate dann negativ ist, beschreibt sie einen leeren geometrischen Ort von Punkten.

Wiederholung

Gegeben kann man nicht die analytische Form dessen immer ableiten, was die n-te Wiederholung dessen bedeutet. (Der Exponent kann zur negativen Zahl erweitert werden, die sich auf die Wiederholung des Gegenteils dessen bezieht, wenn das Gegenteil besteht.), Aber gibt es einen leichteren Fall, in der.

In solchem Fall hat man

:

wo

: und.

So durch die Induktion,

:

kann erhalten werden, wo als leicht geschätzt werden kann

:.

Schließlich haben wir

:

im Fall davon.

Sieh Topologischen conjugacy für mehr Detail über solche Beziehung zwischen f und g. Und sieh Kompliziertes quadratisches Polynom für das chaotische Verhalten in der allgemeinen Wiederholung.

Bivariate (zwei Variable) quadratische Funktion

Eine bivariate quadratische Funktion ist ein zweiten Grades Polynom der Form

:

Solch eine Funktion beschreibt eine quadratische Oberfläche. Das der Null gleiche Setzen beschreibt die Kreuzung der Oberfläche mit dem Flugzeug, das ein geometrischer Ort von zu einer konischen Abteilung gleichwertigen Punkten ist.

Minimum/Maximum

Wenn

Wenn die Funktion ein Minimum wenn A> 0 und ein Maximum wenn wo hat:

::

Wenn und die Funktion kein Maximum oder Minimum hat, bildet sein Graph einen parabolischen Zylinder.

Wenn und die Funktion das Maximum/Minimum an einer Linie erreicht. Ähnlich ein Minimum wenn A> 0 und ein Maximum wenn A