Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die in der Form gestellt werden kann, wo und reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit, wo genannt wird. In diesem Ausdruck, wird den echten Teil und den imaginären Teil der komplexen Zahl genannt. Komplexe Zahlen erweitern die Idee vom eindimensionalen Zahlenstrahl zum zweidimensionalen komplizierten Flugzeug durch das Verwenden der horizontalen Achse für den echten Teil und der vertikalen Achse für den imaginären Teil. Die komplexe Zahl kann mit dem Punkt identifiziert werden. Wie man sagt, ist eine komplexe Zahl, deren echter Teil Null ist, rein imaginär, wohingegen eine komplexe Zahl, deren imaginärer Teil Null ist, eine reelle Zahl ist. Auf diese Weise enthalten die komplexen Zahlen die gewöhnlichen reellen Zahlen, während sie sie erweitern, um Probleme zu beheben, die mit nur reellen Zahlen nicht gelöst werden können.

Komplexe Zahlen werden in vielen wissenschaftlichen Feldern, einschließlich Technik, Elektromagnetismus, Quant-Physik, angewandter Mathematik und Verwirrungstheorie verwendet. Italienischer Mathematiker Gerolamo Cardano ist das erste, das bekannt ist, komplexe Zahlen eingeführt zu haben. Er hat sie "frei erfunden" während seiner Versuche genannt, Lösungen von kubischen Gleichungen im 16. Jahrhundert zu finden.

Übersicht

Komplexe Zahlen berücksichtigen Lösungen bestimmter Gleichungen, die keine echte Lösung haben: die Gleichung

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hat keine echte Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl entweder 0 oder positiv ist. Komplexe Zahlen stellen eine Lösung dieses Problems zur Verfügung. Die Idee ist, die reellen Zahlen mit der imaginären Einheit zu erweitern, wo, so dass Lösungen von Gleichungen wie die vorhergehende gefunden werden können. In diesem Fall sind die Lösungen. Tatsächlich nicht nur können quadratische Gleichungen, aber alle polynomischen Gleichungen in einer einzelnen Variable mit komplexen Zahlen gelöst werden.

Definition

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die in der Form ausgedrückt werden kann

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wo a und b reelle Zahlen sind und ich die imaginäre Einheit bin, i = 1 befriedigend. Zum Beispiel, 3.5 + 2i ist eine komplexe Zahl. Es ist üblich, für + 0i und bi dafür zu schreiben. Außerdem, wenn der imaginäre Teil negativ ist, ist es üblich, einen  bi mit b> 0 statt + (b) ich, zum Beispiel 3  4i statt 3 + (4) ich zu schreiben.

Der Satz aller komplexen Zahlen wird durch angezeigt oder.

Die reelle Zahl der komplexen Zahl z = + bi wird den echten Teil von z genannt, und die reelle Zahl b wird häufig den imaginären Teil genannt. Durch diese Tagung ist der imaginäre Teil eine reelle Zahl - nicht einschließlich der imaginären Einheit: Folglich ist b, nicht bi, der imaginäre Teil. Der echte Teil wird von Re (z) oder  (z) angezeigt, und der imaginäre Teil b wird von Im (z) oder  (z) angezeigt. Zum Beispiel,

::

Einige Autoren schreiben a+ib statt a+bi (Skalarmultiplikation zwischen b, und ich bin auswechselbar). In einigen Disziplinen, im besonderen Elektromagnetismus und der Elektrotechnik, wird j statt meiner verwendet, da ich oft für den elektrischen Strom verwendet werde. In diesen Fällen werden komplexe Zahlen als + bj oder + jb geschrieben.

Eine reelle Zahl eine Dose, gewöhnlich als eine komplexe Zahl mit einem imaginären Teil der Null, das heißt, + 0i betrachtet werden. Jedoch werden die Sätze verschieden definiert und ließen ein bisschen verschiedene Operationen definieren, zum Beispiel werden Vergleich-Operationen für komplexe Zahlen nicht definiert. Eine reine imaginäre Zahl ist eine komplexe Zahl, deren echter Teil Null, das heißt, der Form 0 + bi ist.

Kompliziertes Flugzeug

Eine komplexe Zahl kann als ein Punkt angesehen werden, oder der Positionsvektor in einem zweidimensionalen Kartesianischen Koordinatensystem hat das komplizierte Flugzeug oder Diagramm von Argand genannt (sieh und), genannt nach Jean-Robert Argand. Die Zahlen werden mit dem echten Teil als der horizontale Bestandteil und imaginäre Teil als vertikal herkömmlich geplant (sieh Abbildung 1). Diese zwei Werte haben gepflegt sich zu identifizieren eine gegebene komplexe Zahl werden deshalb seine Kartesianische, rechteckige oder algebraische Form genannt.

Die Definieren-Eigenschaft eines Positionsvektoren ist, dass er Umfang und Richtung hat. Diese werden in einer polaren Form einer komplexen Zahl betont, und es stellt sich namentlich heraus, dass die Operationen der Hinzufügung und Multiplikation einen sehr natürlichen geometrischen Charakter übernehmen, wenn komplexe Zahlen als Positionsvektoren angesehen werden: Hinzufügung entspricht Vektor-Hinzufügung, während Multiplikation dem Multiplizieren ihrer Umfänge und Hinzufügen ihrer Argumente entspricht (d. h. die Winkel, machen sie mit der x Achse). Angesehen auf diese Weise die Multiplikation einer komplexen Zahl durch entspreche mich dem Drehen einer komplexen Zahl gegen den Uhrzeigersinn durch 90 ° über den Ursprung:.

Geschichte kurz gesagt

:Main-Abteilung: Geschichte

Die Lösung in Radikalen (ohne trigonometrische Funktionen) einer allgemeinen kubischen Gleichung enthält die Quadratwurzeln von negativen Zahlen, wenn alle drei Wurzeln reelle Zahlen, eine Situation sind, die durch das durch den vernünftigen Wurzeltest geholfene Factoring nicht berichtigt werden kann, wenn das kubische (der so genannte casus irreducibilis) nicht zu vereinfachend ist. Dieses Rätsel hat italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano dazu gebracht, komplexe Zahlen ungefähr 1545 zu empfangen, obwohl sein Verstehen rudimentär war.

Die Arbeit am Problem von allgemeinen Polynomen hat schließlich zum Hauptsatz der Algebra geführt, die zeigt, dass mit komplexen Zahlen eine Lösung zu jeder polynomischen Gleichung des Grads ein oder höher besteht. Komplexe Zahlen bilden so ein algebraisch geschlossenes Feld, wo jede polynomische Gleichung eine Wurzel hat.

Viele Mathematiker haben zur vollen Entwicklung von komplexen Zahlen beigetragen. Die Regeln für Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung von komplexen Zahlen wurden vom italienischen Mathematiker Rafael Bombelli entwickelt. Ein abstrakterer Formalismus für die komplexen Zahlen wurde weiter vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton entwickelt, der diese Abstraktion zur Theorie von quaternions erweitert hat.

Elementare Operationen

Konjugation

Der Komplex, der der komplexen Zahl z = x + yi verbunden ist, wird definiert, um x &minus zu sein; yi. Es wird angezeigt oder. Geometrisch, ist das "Nachdenken" von z über die echte Achse. Insbesondere das Konjugieren gibt zweimal die ursprüngliche komplexe Zahl:.

Die echten und imaginären Teile einer komplexen Zahl können mit dem verbundenen herausgezogen werden:

::

Außerdem ist eine komplexe Zahl echt, wenn, und nur wenn sie seinem verbundenen gleichkommt.

Konjugation verteilt über die arithmetischen Standardoperationen:

:::

Das Gegenstück einer komplexen Nichtnullzahl z = x + yi wird durch gegeben

:

Diese Formel kann verwendet werden, um das multiplicative Gegenteil einer komplexen Zahl zu schätzen, wenn es in rechteckigen Koordinaten gegeben wird. Umkehrende Geometrie, ein Zweig der Geometrie, die allgemeineres Nachdenken studiert als über eine Linie, kann auch in Bezug auf komplexe Zahlen ausgedrückt werden.

Hinzufügung und Subtraktion

Komplexe Zahlen werden durch das Hinzufügen der echten und imaginären Teile des summands hinzugefügt. Das heißt:

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Ähnlich wird Subtraktion durch definiert

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Mit der Vergegenwärtigung von komplexen Zahlen im komplizierten Flugzeug hat die Hinzufügung die folgende geometrische Interpretation: Die Summe von zwei komplexen Zahlen A und B, der als Punkte des komplizierten Flugzeugs interpretiert ist, ist der Punkt X erhalten durch das Gebäude eines Parallelogramms drei sind deren Scheitelpunkte O, A und B. Gleichwertig, X ist der solcher Punkt, dass die Dreiecke mit Scheitelpunkten O, A, B, und X, B, A, kongruent sind.

Multiplikation und Abteilung

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen wird durch die folgende Formel definiert:

:

Insbesondere das Quadrat der imaginären Einheit ist

−1: :

Die vorhergehende Definition der Multiplikation von allgemeinen komplexen Zahlen folgt natürlich von diesem grundsätzlichen Eigentum der imaginären Einheit. Tatsächlich, wenn ich als eine Zahl behandelt werde, so dass di d Zeiten i bedeutet, ist die obengenannte Multiplikationsregel zur üblichen Regel identisch, um zwei Summen von zwei Begriffen zu multiplizieren.

: (verteilendes Gesetz)

::: (das Ersatzgesetz der Hinzufügung - die Ordnung des summands kann geändert werden)

::: (das Ersatzgesetz der Multiplikation - die Ordnung des multiplicands kann geändert werden)

::: (grundsätzliches Eigentum der imaginären Einheit).

Die Abteilung von zwei komplexen Zahlen wird in Bezug auf die komplizierte Multiplikation definiert, die oben, und echte Abteilung beschrieben wird:

:

Abteilung kann auf diese Weise wegen der folgenden Beobachtung definiert werden:

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Wie gezeigt, früher, ist der des Nenners verbundene Komplex. Der echte Teil c und der imaginäre Teil d des Nenners müssen nicht Null für die zu definierende Abteilung beide sein.

Quadratwurzel

Die Quadratwurzeln + bi (mit b  0), sind wo

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und

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wo sgn die Signum-Funktion ist. Wie man sehen kann, herrscht das durch das Quadrieren + bi vor. Hier wird das Modul + bi genannt, und die Quadratwurzel mit dem nichtnegativen echten Teil wird die Hauptquadratwurzel genannt.

Polare Form

Absoluter Wert und Argument

Eine andere Weise, Punkte im komplizierten Flugzeug außer dem Verwenden des x- und der Y-Koordinaten zu verschlüsseln, soll die Entfernung eines Punkts P zu O, der Punkt verwenden, dessen Koordinaten (0, 0) (der Ursprung), und der Winkel der Linie durch P und O sind. Diese Idee führt zur polaren Form von komplexen Zahlen.

Der absolute Wert (oder Modul oder Umfang) einer komplexen Zahl ist

:

Wenn z eine reelle Zahl (d. h., y = 0), dann r = |x ist. Im Allgemeinen, durch den Lehrsatz von Pythagoras, ist r die Entfernung des Punkts P das Darstellen der komplexen Zahl z zum Ursprung.

Das Argument oder die Phase von z sind der Winkel des Radius OP mit der positiven echten Achse, und werden als geschrieben. Als mit dem Modul kann das Argument von der rechteckigen Form gefunden werden:

:

\begin {Fälle }\

\arctan (\frac {y} {x}) & \mbox {wenn} x> 0 \\

\arctan (\frac {y} {x}) + \pi & \mbox {wenn} x

- \frac {\\Pi} {2} & \mbox {wenn} x = 0 \mbox {und} y

Der Wert von φ muss immer in radians ausgedrückt werden. Es kann sich durch jedes Vielfache 2π ändern und noch denselben Winkel geben. Folglich wird die Arg-Funktion manchmal, wie mehrgeschätzt, betrachtet. Normalerweise, wie gegeben, oben, wird der Hauptwert im Zwischenraum gewählt. Werte in der Reihe werden durch das Hinzufügen erhalten, ob der Wert negativ ist. Der polare Winkel für die komplexe Zahl 0 ist unbestimmte aber willkürliche Wahl des Winkels 0 ist üblich.

Der Wert von φ kommt dem Ergebnis von atan2 gleich:.

Zusammen geben r und φ einen anderen weg, komplexe Zahlen, die polare Form zu vertreten, weil die Kombination des Moduls und Arguments völlig die Position eines Punkts auf dem Flugzeug angibt. Besserung der ursprünglichen rechteckigen Koordinaten von der polaren Form wird durch die genannte trigonometrische Form der Formel getan

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Mit der Formel von Euler kann das als geschrieben werden

:

Mit der Cis-Funktion wird das manchmal zu abgekürzt

:

In der Winkelnotation, die häufig in der Elektronik verwendet ist, um einen Operator mit dem Umfang r und der Phase φ es zu vertreten, wird als geschrieben

:

Multiplikation, Abteilung und exponentiation in der polaren Form

Formeln für die Multiplikation, Abteilung und exponentiation sind in der polaren Form einfacher als die entsprechenden Formeln in Kartesianischen Koordinaten. In Anbetracht zwei komplexer Zahlen z = r (weil φ + isin φ) und z =r (weil φ + isin φ) ist die Formel für die Multiplikation

:

Mit anderen Worten werden die absoluten Werte multipliziert, und die Argumente werden hinzugefügt, um die polare Form des Produktes nachzugeben. Zum Beispiel das Multiplizieren mit entspreche mich einer Viertel-Folge gegen den Uhrzeigersinn, die i = −1 zurückgibt. Das Bild am Recht illustriert die Multiplikation von

:

Seit dem echten und imaginären Teil 5+5i sind gleich, das Argument dieser Zahl ist 45 Grade oder π/4 (in radian). Andererseits ist es auch die Summe der Winkel am Ursprung des roten und blauen Dreiecks sind arctan (1/3) und arctan (1/2) beziehungsweise. So, die Formel

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hält. Da der Arctan-Funktion hoch effizient näher gekommen werden kann, werden Formeln wie das - bekannt als Machin ähnliche Formeln - für Annäherungen der hohen Präzision von π verwendet.

Ähnlich wird Abteilung durch gegeben

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Das bezieht auch die Formel von de Moivre für exponentiation von komplexen Zahlen mit Hochzahlen der ganzen Zahl ein:

:

Die n-ten Wurzeln von z werden durch gegeben

:

für jede ganze Zahl. Hier ist die übliche (positive) n-te Wurzel der positiven reellen Zahl r. Während die n-te Wurzel einer positiven reellen Zahl r gewählt wird, um die positive reelle Zahl c zu sein, c = x befriedigend, gibt es keine natürliche Weise, eine besondere komplizierte n-te Wurzel einer komplexen Zahl zu unterscheiden. Deshalb wird die n-te Wurzel von z als eine mehrgeschätzte Funktion (in z), im Vergleich mit einer üblichen Funktion f betrachtet, für den f (z) eine einzigartig definierte Zahl ist. Formeln wie

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(der für positive reelle Zahlen hält), halten Sie im Allgemeinen für komplexe Zahlen nicht.

Eigenschaften

Feldstruktur

Der Satz C komplexer Zahlen ist ein Feld. Kurz bedeutet das, dass die folgenden Tatsachen halten: Erstens können irgendwelche zwei komplexen Zahlen hinzugefügt und multipliziert werden, um eine andere komplexe Zahl nachzugeben. Zweitens, für jede komplexe Zahl z, ist seine Verneinung −z auch eine komplexe Zahl; und drittens hat jede komplexe Nichtnullzahl eine gegenseitige komplexe Zahl. Außerdem befriedigen diese Operationen mehrere Gesetze, zum Beispiel das Gesetz von commutativity der Hinzufügung und Multiplikation für irgendwelche zwei komplexen Zahlen z und z:

::

Diese zwei Gesetze und die anderen Voraussetzungen an ein Feld können durch die Formeln bewiesen werden, die oben mit der Tatsache gegeben sind, dass die reellen Zahlen selbst ein Feld bilden.

Verschieden vom reals ist C nicht ein bestelltes Feld, das heißt, ist es nicht möglich, eine Beziehung z zu definieren, der mit der Hinzufügung und Multiplikation vereinbar ist. Tatsächlich, in jedem bestellten Feld, ist das Quadrat jedes Elements notwendigerweise positiv, so schließe ich = −1 die Existenz einer Einrichtung auf C aus.

Wenn das zu Grunde liegende Feld für ein mathematisches Thema oder Konstruktion das Feld von komplexen Zahlen ist, wird der Name des Dings gewöhnlich modifiziert, um diese Tatsache zu widerspiegeln. Zum Beispiel: komplizierte Analyse, komplizierte Matrix, kompliziertes Polynom und komplizierte Lüge-Algebra.

Lösungen polynomischer Gleichungen

In Anbetracht irgendwelcher komplexen Zahlen (genannt Koeffizienten) a..., a, die Gleichung

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hat mindestens eine komplizierte Lösung z, vorausgesetzt, dass mindestens ein der höheren Koeffizienten, a..., a, Nichtnull sind. Das ist die Behauptung des Hauptsatzes der Algebra. Wegen dieser Tatsache wird C ein algebraisch geschlossenes Feld genannt. Dieses Eigentum hält für das Feld von rationalen Zahlen Q nicht (das Polynom hat keine vernünftige Wurzel, da  nicht eine rationale Zahl ist), noch die reellen Zahlen R (das Polynom hat keine echte Wurzel dafür, da das Quadrat von x für jede reelle Zahl x positiv ist).

Es gibt verschiedene Beweise dieses Lehrsatzes, entweder durch analytische Methoden wie der Lehrsatz von Liouville oder durch topologische wie die krumme Zahl oder ein Probekombinieren Theorie von Galois und die Tatsache, dass jedes echte Polynom des sonderbaren Grads mindestens eine Wurzel hat.

Wegen dieser Tatsache, Lehrsätze, die "für jedes algebraisch geschlossene Feld halten", gelten für C. Zum Beispiel hat jede komplizierte Matrix mindestens ein (Komplex) eigenvalue.

Algebraische Charakterisierung

Feld C hat die folgenden drei Eigenschaften: Erstens hat es Eigenschaft 0. Das bedeutet, dass 1 + 1 +... + 1  0 für jede Zahl von summands (von denen alle einem gleichkommen). Zweitens, sein Überlegenheitsgrad über Q, ist das Hauptfeld von C der cardinality des Kontinuums. Drittens wird es algebraisch geschlossen (sieh oben). Es kann gezeigt werden, dass jedes Feld, das diese Eigenschaften hat (als ein Feld) zu C isomorph ist. Zum Beispiel befriedigt der algebraische Verschluss von Q auch diese drei Eigenschaften, so sind diese zwei Felder isomorph. Außerdem ist C zum Feld der komplizierten Reihe von Puiseux isomorph. Jedoch verlangt das Spezifizieren eines Isomorphismus das Axiom der Wahl. Eine andere Folge dieser algebraischen Charakterisierung ist, dass C viele richtige Teilfelder enthält, die zu C isomorph sind.

Charakterisierung als ein topologisches Feld

Die vorhergehende Charakterisierung von C beschreibt die algebraischen Aspekte von C nur. Das heißt, werden die Eigenschaften der Nähe und Kontinuität, der Sache in Gebieten wie Analyse und Topologie, nicht befasst. Die folgende Beschreibung von C als ein topologisches Feld (d. h. ein Feld, das mit einer Topologie ausgestattet wird, die den Begriff der Konvergenz erlaubt) zieht wirklich die topologischen Eigenschaften in Betracht. C enthält eine Teilmenge P (nämlich der Satz von positiven reellen Zahlen) Nichtnullelemente, die die folgenden drei Bedingungen befriedigen:

• P wird unter der Hinzufügung, der Multiplikation und den Einnahme-Gegenteilen geschlossen.
• Wenn x und y verschiedene Elemente von P, dann irgendein x &minus sind; y oder y − x ist in P.
• Wenn S eine nichtleere Teilmenge von P, dann S + P = x + P für einen x in C ist.

Außerdem hat C einen nichttrivialen involutive automorphism (nämlich die komplizierte Konjugation), solch, dass xx in P für jede Nichtnull x in C ist.

Jedes Feld F mit diesen Eigenschaften kann mit einer Topologie durch die Einnahme der Sätze B (x, p) = {y | p &minus ausgestattet sein; (y − x) (y − x)  P\als eine Basis, wo sich x über das Feld und die P-Reihen über P erstreckt. Mit dieser Topologie ist F als ein topologisches Feld zu C isomorph.

Die einzigen verbundenen lokal kompakten topologischen Felder sind R und C. Das gibt eine andere Charakterisierung von C als ein topologisches Feld, da C von R bemerkenswert sein kann, weil die komplexen Nichtnullzahlen verbunden werden, während die reellen Nichtnullzahlen nicht sind.

Formeller Aufbau

Formelle Entwicklung

Oben sind komplexe Zahlen durch das Einführen i, die imaginäre Einheit als ein Symbol definiert worden. Strenger kann der Satz C komplexer Zahlen als der Satz R befohlener Paare (a, b) reeller Zahlen definiert werden. In dieser Notation lesen die obengenannten Formeln für die Hinzufügung und Multiplikation

::

Es ist dann gerade eine Sache der Notation um (a, b) als + bi auszudrücken.

Obwohl dieser auf niedriger Stufe Aufbau wirklich die Struktur der komplexen Zahlen genau beschreibt, offenbart die folgende gleichwertige Definition die algebraische Natur von C mehr sofort. Diese Charakterisierung verlässt sich auf den Begriff von Feldern und Polynomen. Ein Feld ist ein Satz, der mit einer Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilungsoperationen ausgestattet ist, die sich benehmen, wie von, sagen wir, rationalen Zahlen vertraut ist. Zum Beispiel, das verteilende Gesetz

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muss für irgendwelche drei Elemente x, y und z eines Feldes halten. Der Satz R reeller Zahlen bildet wirklich ein Feld. Ein Polynom p (X) mit echten Koeffizienten ist ein Ausdruck der Form

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wo die a..., reelle Zahlen sind. Die übliche Hinzufügung und Multiplikation von Polynomen dotieren den Satz R [X] aller dieser Polynome mit einer Ringstruktur. Dieser Ring wird polynomischen Ring genannt. Wie man zeigen kann, ist der Quotient-Ring R [X] / (X+1) ein Feld.

Dieses Erweiterungsfeld enthält zwei Quadratwurzeln −1, nämlich (der cosets) X und −X beziehungsweise. (Der cosets) 1 und X bilden eine Basis von R [X] / (X+1) als ein echter Vektorraum, was bedeutet, dass jedes Element des Erweiterungsfeldes als eine geradlinige Kombination in diesen zwei Elementen einzigartig geschrieben werden kann. Gleichwertig können Elemente des Erweiterungsfeldes als befohlene Paare (a, b) reeller Zahlen geschrieben werden. Außerdem entsprechen die obengenannten Formeln für die Hinzufügung usw. denjenigen, die durch diese abstrakte algebraische Annäherung nachgegeben sind - wie man sagt, sind die zwei Definitionen Feldes C (als Felder) isomorph. Zusammen mit der oben erwähnten Tatsache, dass C algebraisch geschlossen wird, zeigt das auch, dass C ein algebraischer Verschluss von R ist.

Matrixdarstellung von komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen a+ib können auch durch 2×2 matrices vertreten werden, die die folgende Form haben:

:

\begin {pmatrix }\

a &-b \\

b & \; \; ein

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

Hier sind die Einträge a und b reelle Zahlen. Die Summe und das Produkt von zwei solchen matrices sind wieder dieser Form, und die Summe und das Produkt von komplexen Zahlen entsprechen der Summe und dem Produkt solchen matrices. Die geometrische Beschreibung der Multiplikation von komplexen Zahlen kann auch in Bezug auf die Folge matrices durch das Verwenden dieser Ähnlichkeit zwischen komplexen Zahlen und solchem matrices ausgedrückt werden. Außerdem ist das Quadrat des absoluten Werts einer als eine Matrix ausgedrückten komplexen Zahl der Determinante dieser Matrix gleich:

:

\begin {vmatrix }\

a &-b \\

b & ein

\end {vmatrix }\

(a^2) - ((-b) (b))

a^2 + b^2.

</Mathematik>

Das verbundene entspricht dem Umstellen der Matrix.

Obwohl diese Darstellung von komplexen Zahlen mit matrices am üblichsten ist, entstehen viele andere Darstellungen aus dem matrices außer diesem Quadrat der Verneinung der Identitätsmatrix. Sieh den Artikel über 2 × 2 echte matrices für andere Darstellungen von komplexen Zahlen.

Komplizierte Analyse

Die Studie von Funktionen einer komplizierten Variable ist als komplizierte Analyse bekannt und hat enormen praktischen Nutzen in der angewandten Mathematik sowie in anderen Zweigen der Mathematik. Häufig verwenden die natürlichsten Beweise für Erklärungen in der echten Analyse oder Theorie der geraden Zahl Techniken von der komplizierten Analyse (sieh Primzahl-Lehrsatz für ein Beispiel). Verschieden von echten Funktionen, die als zweidimensionale Graphen allgemein vertreten werden, haben komplizierte Funktionen vierdimensionale Graphen und können durch die Farbe nützlich illustriert werden, die einen dreidimensionalen Graphen codiert, um vier Dimensionen, oder durch das Beleben der dynamischen Transformation der komplizierten Funktion des komplizierten Flugzeugs anzudeuten.

Komplizierte zusammenhängende und Exponentialfunktionen

Die Begriffe der konvergenten Reihe und dauernden Funktionen in (der echten) Analyse haben natürliche Analoga in der komplizierten Analyse. Wie man sagt, läuft eine Folge von komplexen Zahlen zusammen, wenn, und nur wenn seine echten und imaginären Teile tun. Das ist zu gleichwertig (ε, δ)-Definition von Grenzen, wo der absolute Wert von reellen Zahlen durch diejenige von komplexen Zahlen ersetzt wird. Aus einem abstrakteren Gesichtspunkt, C, ausgestattet mit dem metrischen

:

ist ein ganzer metrischer Raum, der namentlich die Dreieck-Ungleichheit einschließt

:

für irgendwelche zwei komplexen Zahlen z und z.

Wie in der echten Analyse wird dieser Begriff der Konvergenz verwendet, um mehrere Elementarfunktionen zu bauen: Die Exponentialfunktion exp (z), auch schriftlicher e, wird als die unendliche Reihe definiert

:

und die Reihen, die den echten trigonometrischen Funktionssinus und den Kosinus, sowie die Hyperbelfunktionen wie sinh auch definieren, tragen zu komplizierten Argumenten ohne Änderung vor. Die Identitätsstaaten von Euler:

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für jede reelle Zahl &phi; in besonderem

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Unterschiedlich in der Situation von reellen Zahlen gibt es eine Unendlichkeit von komplizierten Lösungen z von der Gleichung

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für jede komplexe Zahl. Es kann dass jede solche Lösung z-called komplizierter Logarithmus von a-satisfies gezeigt werden

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wo arg das Argument ist, das oben, und ln der (echte) natürliche Logarithmus definiert ist. Da arg eine mehrgeschätzte Funktion, einzigartig nur bis zu einem Vielfache 2π ist, wird Klotz auch mehrgeschätzt. Der Hauptwert des Klotzes wird häufig durch das Einschränken des imaginären Teils auf den Zwischenraum genommen (&minus;,].

Komplex exponentiation z wird als definiert

:

Folglich werden sie im Allgemeinen mehrgeschätzt. Für ω = 1 / n, für eine natürliche Zahl n, erlangt das den non-unicity der n-ten Wurzeln wieder, die oben erwähnt sind.

Komplexe Zahlen, verschieden von reellen Zahlen, befriedigen die unmodifizierte Macht und Logarithmus-Identität, besonders wenn naiv behandelt, als einzeln geschätzte Funktionen nicht im Allgemeinen; sieh Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität. Zum Beispiel befriedigen sie nicht

:

Beide Seiten der Gleichung werden durch die Definition des Komplexes exponentiation gegeben hier mehrgeschätzt, und die Werte sind links eine Teilmenge von denjenigen rechts.

Funktionen von Holomorphic

Eine Funktion f&thinsp;: C  wird C holomorphic genannt, wenn es die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigt. Zum Beispiel kann jede R-linear Karte C  C in der Form geschrieben werden

:

mit komplizierten Koeffizienten a und b. Diese Karte ist holomorphic wenn und nur wenn b = 0. Der zweite summand ist echt-differentiable, aber befriedigt die Gleichungen von Cauchy-Riemann nicht.

Komplizierte Analyse zeigt einige in der echten Analyse nicht offenbare Eigenschaften. Zum Beispiel, irgendwelche zwei holomorphic fungiert f und g, die sich über eine willkürlich kleine offene Teilmenge von C einigen, notwendigerweise stimmen überall zu. Funktionen von Meromorphic, Funktionen, die als f (z) / lokal geschrieben werden können (z &minus; z) mit einer Holomorphic-Funktion f (z), teilen Sie noch einige der Eigenschaften von Holomorphic-Funktionen. Andere Funktionen haben wesentliche Eigenartigkeiten, wie Sünde (1/z) an z = 0.

Anwendungen

Einige Anwendungen von komplexen Zahlen sind:

Steuerungstheorie

In der Steuerungstheorie werden Systeme häufig vom Zeitabschnitt bis das Frequenzgebiet mit Laplace umgestaltet verwandeln sich. Die Pole und Nullen des Systems werden dann im komplizierten Flugzeug analysiert. Der geometrische Wurzelort, der Anschlag von Nyquist und die Anschlag-Techniken von Nichols machen alle vom komplizierten Flugzeug Gebrauch.

In der Wurzelmethode des geometrischen Orts ist es besonders wichtig, ob die Pole und Nullen im verlassenen oder der richtigen Hälfte von Flugzeugen sind, d. h. echten Teil haben, der größer ist als oder weniger als Null. Wenn ein System Pole hat, die sind

• in der richtigen Hälfte des Flugzeugs wird es, nicht stabil sein
• alle in der linken Hälfte des Flugzeugs wird es, stabil sein
• auf der imaginären Achse wird es Randstabilität haben.

Wenn ein System Nullen in der richtigen Hälfte des Flugzeugs hat, ist es ein nichtminimales Phase-System.

Unpassende Integrale

In angewandten Feldern werden komplexe Zahlen häufig verwendet, um bestimmte reellwertige unpassende Integrale mittels Komplex-geschätzter Funktionen zu schätzen. Mehrere Methoden bestehen, um das zu tun; sieh Methoden der Kontur-Integration.

Flüssige Dynamik

In der flüssigen Dynamik werden komplizierte Funktionen verwendet, um potenziellen Fluss in zwei Dimensionen zu beschreiben.

Dynamische Gleichungen

In Differenzialgleichungen ist es üblich, zuerst zu finden, dass der ganze Komplex r der charakteristischen Gleichung einer linearen Differenzialgleichung oder Gleichungssystems einwurzeln lässt und dann versuchen Sie, das System in Bezug auf Grundfunktionen der Form f (t) = e zu lösen. Ebenfalls, in Unterschied-Gleichungen, wurzelt der Komplex ein r der charakteristischen Gleichung des Unterschied-Gleichungssystems werden verwendet, um zu versuchen, das System in Bezug auf Grundfunktionen der Form f (t) = r zu lösen.

Elektromagnetismus und Elektrotechnik

In der Elektrotechnik verwandelt sich der Fourier wird verwendet, um unterschiedliche Stromspannungen und Ströme zu analysieren. Die Behandlung von Widerständen, Kondensatoren und Induktoren kann dann durch das Einführen imaginärer, frequenzabhängiger Widerstände für die letzten zwei vereinigt werden, und das Kombinieren aller drei in einer einzelnen komplexen Zahl hat den Scheinwiderstand genannt. Diese Annäherung wird Operator-Rechnung genannt.

In der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit durch j angezeigt, um Verwirrung mit mir zu vermeiden, der allgemein im Gebrauch bin, um elektrischen Strom anzuzeigen.

Da die Stromspannung in einem AC Stromkreis schwingt, kann sie als vertreten werden

:

Um die messbare Menge zu erhalten, wird der echte Teil genommen:

:

Sieh zum Beispiel.

Signalanalyse

Komplexe Zahlen werden in der Signalanalyse und den anderen Feldern für eine günstige Beschreibung verwendet, um Signale regelmäßig zu ändern. Für gegebene echte Funktionen, die wirkliche physische Mengen, häufig in Bezug auf Sinus und Kosinus vertreten, werden entsprechende komplizierte Funktionen betrachtet, von denen die echten Teile die ursprünglichen Mengen sind. Für eine Sinus-Welle einer gegebenen Frequenz ist der absolute Wert |z des entsprechenden z der Umfang und das Argument arg (z) die Phase.

Wenn Analyse von Fourier verwendet wird, um ein gegebenes reellwertiges Signal als eine Summe von periodischen Funktionen zu schreiben, werden diese periodischen Funktionen häufig geschrieben, weil Komplex Funktionen der Form geschätzt

hat:

wo ω die winkelige Frequenz vertritt und die komplexe Zahl z die Phase und den Umfang, wie erklärt, oben verschlüsselt.

Dieser Gebrauch wird auch in die Digitalsignalverarbeitung und Digitalbildverarbeitung erweitert, die Digitalversionen der Analyse von Fourier (und Elementarwelle-Analyse) verwerten, um Digitalaudiosignale, noch Images und Videosignale zu übersenden, zusammenzupressen, wieder herzustellen, und sonst zu bearbeiten.

Ein anderes Beispiel, das für die zwei Seitenbänder der Umfang-Modulation des Radios von AM wichtig ist, ist:

:

\begin {richten }\aus

\cos ((\omega +\alpha) t) + \cos\left ((\omega-\alpha) t\right) & = \operatorname {hat Re }\\(e^ {ich (\omega +\alpha) t} + e^ {mich (\omega-\alpha) t }\\Recht) \\verlassen

& = \operatorname {hat Re }\\((e^ {i\alpha t} + e^ {-i\alpha t}) \cdot e^ {i\omega t }\\Recht) \\verlassen

& = \operatorname {hat Re }\\(2\cos (\alpha t) \cdot e^ {i\omega t }\\Recht) \\verlassen

& = 2 \cos (\alpha t) \cdot \operatorname {ist Re }\\(e^ {i\omega t }\\Recht) \\abgereist

& = 2 \cos (\alpha t) \cdot \cos\left (\omega t\right) \.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Quant-Mechanik

Das Feld der komplexen Zahl ist zu den mathematischen Formulierungen der Quant-Mechanik inner, wo komplizierte Räume von Hilbert den Zusammenhang für eine solche Formulierung zur Verfügung stellen, die günstig und vielleicht am meisten normal ist. Die ursprünglichen Fundament-Formeln der Quant-Mechanik - die Gleichung von Schrödinger und die Matrixmechanik von Heisenberg - machen von komplexen Zahlen Gebrauch.

Relativität

In der speziellen und allgemeinen Relativität werden einige Formeln für das metrische auf der Raum-Zeit einfacher, wenn man die Zeitvariable nimmt, um imaginär zu sein. (Das ist in der klassischen Relativität nicht mehr normal, aber wird auf eine wesentliche Weise in der Quant-Feldtheorie verwendet.) Sind komplexe Zahlen für spinors notwendig, die eine Generalisation des in der Relativität verwendeten Tensor sind.

Geometrie

Fractals

Bestimmte fractals werden im komplizierten Flugzeug, z.B der Satz von Mandelbrot und die Sätze von Julia geplant.

Dreiecke

Jedes Dreieck hat einen einzigartigen Steiner inellipse — eine Ellipse innerhalb des Dreiecks und der Tangente zu den Mittelpunkten der drei Seiten des Dreiecks. Die Fokusse von Steiner eines Dreiecks inellipse können wie folgt gemäß dem Lehrsatz von Marden gefunden werden: Zeigen Sie die Scheitelpunkte des Dreiecks im komplizierten Flugzeug als a=x+yi, b=x+yi, und c=x+yi an. Schreiben Sie die kubische Gleichung, nehmen Sie seine Ableitung, und gleichen Sie die (quadratische) Ableitung zur Null aus. Der Lehrsatz von Marden sagt, dass die Lösungen dieser Gleichung die komplexen Zahlen sind, die die Positionen der zwei Fokusse des Steiners inellipse anzeigen.

Theorie der algebraischen Zahl

Wie oben erwähnt hat jede nichtunveränderliche polynomische Gleichung (in komplizierten Koeffizienten) eine Lösung in C. Ein fortiori, dasselbe ist wahr, wenn die Gleichung vernünftige Koeffizienten hat. Die Wurzeln solcher Gleichungen werden algebraische Zahlen genannt - sie sind ein Hauptgegenstand der Studie in der Theorie der algebraischen Zahl. Im Vergleich zu ist der algebraische Verschluss von Q, der auch alle algebraischen Zahlen, C enthält, im Vorteil, in geometrischen Begriffen leicht verständlich zu sein. Auf diese Weise können algebraische Methoden verwendet werden, um geometrische Fragen und umgekehrt zu studieren. Mit algebraischen Methoden, mehr spezifisch die Maschinerie der Feldtheorie zum numerischen Feld anwendend, das Wurzeln der Einheit enthält, kann es gezeigt werden, dass es nicht möglich ist, einen regelmäßigen nonagon das Verwenden nur des Kompasses und Haarlineals - ein rein geometrisches Problem zu bauen.

Ein anderes Beispiel ist Pythagoreer verdreifacht sich (a, b, c), das heißt ganze Zahlen, die befriedigen

:

(der andeutet, dass das Dreieck, das sidelengths a, b, und c hat, ein rechtwinkliges Dreieck ist). Sie können studiert werden, indem sie ganze Zahlen von Gaussian, d. h. Zahlen der Form x + iy denken, wo x und y ganze Zahlen sind.

Analytische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie studiert Zahlen, häufig ganze Zahlen oder rationals durch das Ausnutzen die Tatsache, dass sie als komplexe Zahlen betrachtet werden können, in denen analytische Methoden verwendet werden können. Das wird durch die Verschlüsselung mit der Zahl theoretischer Information in Komplex-geschätzten Funktionen getan. Zum Beispiel ist die Zeta-Funktion von Riemann ζ (s) mit dem Vertrieb von Primzahlen verbunden.

Geschichte

Wie man

vielleicht sagen kann, kommt die frühste flüchtige Verweisung auf Quadratwurzeln von negativen Zahlen in der Arbeit des griechischen Mathematiker-Reihers Alexandrias im 1. Jahrhundert n.Chr. vor, wo in seinem Stereometrica er anscheinend irrtümlicherweise denkt, dass das Volumen eines unmöglichen frustum einer Pyramide den Begriff in seinen Berechnungen erreicht, obwohl negative Mengen von in der hellenistischen Mathematik nicht konzipiert wurden und Reiher es bloß durch sein positives ersetzt hat.

Der Impuls, um komplexe Zahlen richtig erst zu studieren, ist im 16. Jahrhundert entstanden, als algebraische Lösungen für die Wurzeln von kubischen und quartic Polynomen von italienischen Mathematikern entdeckt wurden (sieh Niccolo Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). Es wurde bald begriffen, dass diese Formeln, selbst wenn man sich nur für echte Lösungen interessiert hat, manchmal die Manipulation von Quadratwurzeln von negativen Zahlen verlangt haben. Als ein Beispiel gibt die Kubikformel von Tartaglia die Lösung der Gleichung x &minus; x = 0 als

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Auf den ersten Blick sieht das wie Quatsch aus. Jedoch zeigen formelle Berechnungen mit komplexen Zahlen, dass die Gleichung z = ich Lösungen-i habe, und. Diese der Reihe nach für in der Kubikformel und Vereinfachung von Tartaglia einsetzend, kommt man 0, 1 und &minus;1 als die Lösungen von x - x = 0. Natürlich kann diese besondere Gleichung am Anblick gelöst werden, aber es illustriert wirklich, dass, wenn allgemeine Formeln verwendet werden, um kubische Gleichungen mit echten Wurzeln dann zu lösen, weil sich spätere Mathematiker streng gezeigt haben, ist der Gebrauch von komplexen Zahlen unvermeidlich. Rafael Bombelli war erst, um diese anscheinend paradoxen Lösungen von kubischen Gleichungen ausführlich zu richten, und hat die Regeln für die komplizierte Arithmetik entwickelt, die versucht, diese Probleme aufzulösen.

Der Begriff "imaginärer" für diese Mengen wurde von René Descartes 1637 ins Leben gerufen, obwohl er sich Mühe gegeben hat, um ihre imaginäre Natur zu betonen, die Eine weitere Quelle der Verwirrung war, dass die Gleichung geschienen ist, mit der algebraischen Identität launisch inkonsequent zu sein, die für nichtnegative reelle Zahlen a und b gültig ist, und die auch in Berechnungen der komplexen Zahl mit einem von a, b positiv und die andere Verneinung verwendet wurde. Der falsche Gebrauch dieser Identität (und der zusammenhängenden Identität) im Fall, wenn sowohl a als auch b Verneinung sogar sind, hat Euler verhext. Diese Schwierigkeit hat schließlich zur Tagung geführt, das spezielle Symbol i im Platz zu verwenden, vor diesem Fehler zu schützen. Trotzdem hat Euler es als natürlich betrachtet, Studenten in komplexe Zahlen viel früher vorzustellen, als wir heute tun. In seinem elementaren Algebra-Textbuch, Elementen der Algebra, führt er diese Zahlen fast sofort ein und verwendet sie dann auf eine natürliche Weise überall.

Im 18. Jahrhundert haben komplexe Zahlen breiteren Gebrauch gewonnen, weil es bemerkt wurde, dass die formelle Manipulation von komplizierten Ausdrücken verwendet werden konnte, um Berechnungen zu vereinfachen, die mit trigonometrischen Funktionen verbunden sind. Zum Beispiel 1730 hat Abraham de Moivre bemerkt, dass die komplizierte Identität, die trigonometrische Funktionen einer ganzen Zahl verbindet, die eines Winkels zu Mächten von trigonometrischen Funktionen dieses Winkels vielfach ist, einfach durch die folgende wohl bekannte Formel wiederausgedrückt werden konnte, die seinen Namen, die Formel von de Moivre trägt:

:

1748 ist Leonhard Euler weiter gegangen und hat die Formel von Euler der komplizierten Analyse erhalten:

:

durch die formelle Manipulierung komplizierter Macht-Reihe und beobachtet, dass diese Formel verwendet werden konnte, um jede trigonometrische Identität auf die viel einfachere Exponentialidentität zu reduzieren.

Die Idee von einer komplexen Zahl als ein Punkt im komplizierten Flugzeug wurde zuerst (oben) von Caspar Wessel 1799 beschrieben, obwohl es schon in 1685 in De Algebra von Wallis tractatus vorausgesehen worden war.

Die Biografie von Wessel ist in den Verhandlungen der Kopenhagener Akademie erschienen, aber ist größtenteils unbemerkt gegangen. 1806 hat Jean-Robert Argand unabhängig eine Druckschrift auf komplexen Zahlen ausgegeben und hat einen strengen Beweis des Hauptsatzes der Algebra zur Verfügung gestellt. Gauss hatte früher einen im Wesentlichen topologischen Beweis des Lehrsatzes 1797 veröffentlicht, aber seine Zweifel zurzeit über "die wahre Metaphysik der Quadratwurzel 1" ausgedrückt. Erst als 1831, dass er diese Zweifel überwunden hat und seine Abhandlung auf komplexen Zahlen als Punkte im Flugzeug veröffentlicht hat, größtenteils moderne Notation und Fachsprache einsetzend. Der englische Mathematiker G. H. Hardy hat bemerkt, dass Gauss der erste Mathematiker war, um komplexe Zahlen auf 'eine wirklich überzeugte und wissenschaftliche Weise' zu verwenden, obwohl Mathematiker wie Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacob Jacobi sie alltäglich notwendigerweise verwendeten, bevor Gauss seine 1831-Abhandlung veröffentlicht hat. Augustin Louis Cauchy und Bernhard Riemann haben zusammen die grundsätzlichen Ideen von der komplizierten Analyse zu einem hohen Staat der Vollziehung gebracht, 1825 im Fall von Cauchy anfangend.

Die in der Theorie verwendeten verbreiteten Ausdrücke sind hauptsächlich wegen der Gründer. Argand hat den Richtungsfaktor und das Modul genannt; Cauchy (1828) hat die reduzierte Form (l'expression réduite) genannt und hat anscheinend den Begriff Argument eingeführt; Gauss hat mich dafür verwendet, hat den Begriff komplexe Zahl für + bi eingeführt, und hat + b die Norm gerufen. Der Ausdruck-Richtungskoeffizient, der häufig dafür verwendet ist, ist wegen Hankel (1867), und absoluter Wert, für das Modul, ist wegen Weierstrass.

Später schließen klassische Schriftsteller auf der allgemeinen Theorie Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Schwarz, Karl Weierstrass und viele andere ein.

Generalisationen und verwandte Begriffe

Der Prozess, Feld R von reals zu C zu erweitern, ist als Aufbau von Cayley-Dickson bekannt. Es kann weiter zu höheren Dimensionen getragen werden, den quaternions H und octonions O nachgebend, die (als ein echter Vektorraum) der Dimension 4 und 8, beziehungsweise sind. Jedoch, mit der zunehmenden Dimension, verschwinden die algebraischen Eigenschaften, die von reellen Zahlen und komplexen Zahlen vertraut sind: Die quaternions sind nur ein verdrehen Feld, d. h. x · y  y · x für zwei quaternions scheitert die Multiplikation von octonions (zusätzlich dazu, auswechselbar nicht zu sein), assoziativ zu sein: (x · y) · z  x · (y · z). Jedoch sind alle von diesen normed Abteilungsalgebra über R. Durch den Lehrsatz von Hurwitz sind sie die einzigen. Der nächste Schritt im Aufbau von Cayley-Dickson, die sedenions scheitern, diese Struktur zu haben.

Der Aufbau von Cayley-Dickson ist nah mit der regelmäßigen Darstellung von C, Gedanke als eine R-Algebra (ein R-Vektorraum mit einer Multiplikation), in Bezug auf die Basis 1, ich verbunden. Das bedeutet den folgenden: Die R-linear stellen kartografisch dar

:

für eine feste komplexe Zahl kann w durch 2&times;2 Matrix vertreten werden (sobald eine Basis gewählt worden ist). In Bezug auf die Basis 1, ich, ist diese Matrix

:\begin {pmatrix }\

\operatorname {Re} (w) &-\operatorname {Im} (w) \\

\operatorname {Im} (w) & \; \; \operatorname {Re} (w)

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

d. h., derjenige, der in der Abteilung auf der Matrixdarstellung von komplexen Zahlen oben erwähnt ist. Während das eine geradlinige Darstellung von C in den 2 × 2 echte matrices ist, ist es nicht das einzige. Jede Matrix

:

hat das Eigentum, dass sein Quadrat die Verneinung der Identitätsmatrix ist: J = I. Dann

:ist

auch nach Feld C isomorph, und gibt eine alternative komplizierte Struktur auf R. Das wird durch den Begriff einer geradlinigen komplizierten Struktur verallgemeinert.

Hyperkomplexe Zahlen verallgemeinern auch R, C, H, und O. Zum Beispiel enthält dieser Begriff die komplexen Zahlen des Spalts, die Elemente des Rings R [x] / sind (x &minus; 1) (im Vergleich mit R [x] / (x + 1)). In diesem Ring hat die Gleichung = 1 vier Lösungen.

Feld R ist die Vollziehung von Q, das Feld von rationalen Zahlen in Bezug auf den üblichen absoluten metrischen Wert. Andere Wahlen der Metrik auf Q führen zu den Feldern Q p-adic Zahlen (für jede Primzahl p), die R dadurch analog sind. Es gibt keine anderen nichttrivialen Weisen, Q zu vollenden, als R und Q durch den Lehrsatz von Ostrowski. Der algebraische Verschluss von Q trägt noch eine Norm, aber (verschieden von C) sind in Bezug darauf nicht abgeschlossen. Die Vollziehung dessen erweist sich, algebraisch geschlossen zu werden. Dieses Feld wird p-adic komplexe Zahlen analog genannt.

Die Felder R und Q und ihre begrenzten Felderweiterungen, einschließlich C, sind lokale Felder.

Siehe auch

• Kreisförmige Bewegung mit komplexen Zahlen
• Komplizierte Grundsysteme
• Komplizierte Geometrie
• Komplizierte Quadratwurzel
• Gebiet, das sich färbt
• Ganze Zahl von Eisenstein
• Die Identität von Euler
• Ganze Zahl von Gaussian
• Mandelbrot setzen
• Quaternion
• Bereich von Riemann (erweitertes kompliziertes Flugzeug)
• Wurzel der Einheit

Referenzen

Mathematische Verweisungen

Historische Verweisungen

• :A sanfte Einführung in die Geschichte von komplexen Zahlen und die Anfänge der komplizierten Analyse.
• :An hat Perspektive auf der historischen Entwicklung des Konzepts der Zahl vorgebracht.

Weiterführende Literatur

• Die Straße zur Wirklichkeit: Ein Ganzes Handbuch zu den Gesetzen des Weltalls, durch Roger Penrose; Alfred A. Knopf, 2005; internationale Standardbuchnummer 0-679-45443-8. Kapitel 4-7 im besonderen Geschäft umfassend (und enthusiastisch) mit komplexen Zahlen.
• Unbekannte Menge: Eine Echte und Imaginäre Geschichte der Algebra, durch John Derbyshire; Joseph Henry Press; internationale Standardbuchnummer 0 309 09657 X (gebundene Ausgabe 2006). Eine sehr lesbare Geschichte mit der Betonung auf dem Lösen polynomischer Gleichungen und der Strukturen der modernen Algebra.
• Komplizierte Sehanalyse, durch Tristan Needham; Clarendon Press; internationale Standardbuchnummer 0-19-853447-7 (gebundene Ausgabe, 1997). Geschichte von komplexen Zahlen und komplizierter Analyse mit dem Zwingen und den nützlichen Sehinterpretationen.
• Conway, John B., Funktionen Einer Komplizierter Variable I (Absolvententexte in der Mathematik), Springer; 2 Ausgabe (am 12. September 2005). Internationale Standardbuchnummer 0387903283.

Links

• Die Arbeit von Euler an Komplizierten Wurzeln von Polynomen an der Konvergenz. MAA Mathematische Wissenschaften Digitalbibliothek.
• John und die Reise von Betty durch komplexe Zahlen
• Dimensionen: ein Mathefilm. Kapitel 5 präsentiert eine Einführung in den komplizierten arithmetischen und stereografischen Vorsprung. Kapitel 6 bespricht Transformationen des komplizierten Flugzeugs, der Sätze von Julia und des Satzes von Mandelbrot.